Limiti notevoli
ITIS "E. Fermi" Desio
Prof.V. Scaccianoce
1
Limiti fondamentali
sin x
x
lim
 lim
1
x 0
x 0 sin x
x
x
 1
lim 1    lim 1  x   e
x  
x 0
x


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1
x
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2
Dimostrazione
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3
Funzioni goniometriche
tan x
lim
x 0
x
1  cos x
1  cos x
lim
lim
2
x

0
x 0
x
x
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4
Funzioni goniometriche
sin x
tan x
x
cos

 lim
lim
x 0
x 0
x
x
1
sin x 1
 1  1

 lim
x 0
1
x cos x
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5
Funzioni goniometriche
1- cos x ) (1+ cos x )
1- cos x
(
=
= lim
lim
x®0
x®0
x (1+ cos x )
x
1
1- cos x
=
×
= lim
x®0
1+ cos x
x
0
sin x sin x
=0
= 1×
×
= lim
x®0
1+1
x 1+ cos x
2
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6
Funzioni goniometriche

1  cos x
1  cos x 1  cos x 
lim

lim

2
2
x 0
x

0
x
x 1  cos x 
1  cos x
1
 lim


2
x 0
x
1  cos x
2
sin x
1
1
1
 lim

 1

2
x 0
x
1  cos x
11 2
2
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7
Funzioni exp e log
ln 1  x   0 
lim
 
x 0
x
0
1
 lim ln 1  x  
x 0 x
 lim ln 1  x   ln e  1
x 0
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1
x
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8
Funzioni exp e log
x  ln t  1
e 1  0 
lim
 

x
x 0
x
 0  t  e 1
x
t
1
 lim

1
t 0 ln t  1
ln e
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9
Funzioni exp e log
a x -1 é 0 ù x = log a ( t +1)
=
=ê ú=
lim
x®0
ë0û
x
posto- > a x -1 = t
t
=
= lim
= lim
t®0 ln ( t +1)
t®0 log
+1
t
)
(
a
ln a
ù
é t
t
× ln a = ln a
× ln aú = lim
= lim ê
t®0 ê ln t +1
úû t®0 ln ( t +1)
)
ë (
t
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