Sistemi di riferimento
• Si definisce sistema di
riferimento qualsiasi corpo
‘rigido’ (la cui forma e dimensioni non variano nel tempo)
che per convenzione viene
assunto come immobile.
• Il sistema di riferimento è un
sistema fisico formato da corpi
rigidamente connessi
Esempi di Sistemi di
Riferimento
• La Terra. E la scelta più ovvia
per descrivere il moto sulla
superficie del nostro pianeta.
Nella fisica aristotelica e nel
sistema dell'universo tolemaico
era considerato l'unico sistema
valido
• Il sistema eliocentrico. È il ‘corpo
rigido’ costituito dal Sole e dalle
stelle fisse.
Proposto da Copernico e il
riferimento più conveniente per
descrivere il moto dei corpi nel
sistema solare.
• La mia automobile.
Personalmente lo trovo un
eccellente sistema di riferimento.
Sistema di coordinate
• Un Sistema di Coordinate è
uno schema geometrico per
individuare un punto P, rispetto
al Sistema di Riferimento
adottato, mediante uno o più
numeri reali che prendono il
nome di coordinate.
Esempi di sistema di
coordinate
• Un'autostrada è un Sistema di
Riferimento per il quale il chilometraggio
è il sistema di coordinate (per esempio,
l'area di servizio Pinco Pallino si trova al
Km 37.400).
• In generale, nel moto a una
dimensione, l'ascissa curvilinea sulla
traiettoria è l'unica coordinata
necessaria.
• Le coordinate geografiche, latitudine e
longitudine,
individuano la posizione di un punto
sulla superficie della Terra. In generale,
per individuare un punto su una
superficie, occorrono due coordinate.
• Per individuare un punto nello spazio
occorrono tre coordinate.
Sistema di Riferimento e
Sistema di coordinate
sono completamente
differenti
La scelta di un sistema
di riferimento determina
cosa si osserva, la scelta
del sistema di coordinate
determina come si
descrive ciò che si
osserva
Coordinate nel piano
• Coordinate cartesiane
y
y
•
O
x
P(x,y)
x
Coordinate nel piano
• Coordinate polari
y
•
y
P(r,θ)
r
θ
x
O
r  x2  y2

  arctan 

y

x
x
x  r cos 
y  r sin 
Coordinate nello spazio
• Coordinate cartesiane
•Il sistema di riferimento tridimensionale è costituito da
tre rette orientate non coincidenti passanti per un punto
che è l'origine delle rette.). Quando i tre assi sono fra
loro ortogonali il sistema di riferimento si dice ortogonale
o rettangolare.
Il punto P è
individuato dalla
terna di coordinate
cartesiane (x,y,z)
y
r
x
x
 
r   y
z
 
z
Vettore posizione
Coordinate nello spazio
•
Coordinate sferiche
Il punto P è individuato
dalla terna (r,  j) dove:
r raggio vettore
 distanza zenitale
j azimut
La terna (r, , j) è legato alla terna (x, y, z)
dalle seguenti espressioni:
x=r sen  cos j
y=r sen  sen j
z=r cos 
Moto nel piano
y
Traiettoria
●P(t)
y
Ω
●
s(t )  P
 x(t ) 
r (t )  

 y (t ) 
Ascissa
curvilinea
s(t)
r (t )
x
O
Vettore
posizione
x
Coordinata x
Moto nel piano
Vettori
spostamento
P(t1) r1
P(t2)


r (t1 )
r (t2 )
r
r2
P(t3)

r3
P(t4)

r (t3 )
r (t4 )
Spostamento
totale
Vettori posizione
O
“Somma” di
spostamenti
r2
r1
r3
r
r  r1  r2  r3
Gli spostamenti
sono grandezze
vettoriali
Vettori
• Le grandezze fisiche che
hanno proprietà simili a quelle
degli spostamenti si chiamano
grandezze vettoriali o vettori
• I vettori sono caratterizzati da
modulo, direzione e verso
Verso
Modulo
Direzione
Grandezze vettoriali
• Esempi di grandezze vettoriali
sono:
•
•
•
•
•
•
•
•
Spostamento
Velocità
Accelerazione
Forza
Quantità di moto
Momento angolare
Velocità angolare
……
Notazione per un
vettore
• Il vettore si indica mettendo
una freccia sul simbolo della
grandezza fisica (o usando il
carattere grassetto)
Esempi:
vettore velocità
v
vettore accelerazione a
Vettore forza
F
Componenti cartesiane
di un vettore
y
ay
 ax   | a | cos j 
a  

 a y   | a | sin j 
|a| cosφ
a
|a| sinφ
φ
ax
Le componenti non
hanno la freccia!
x
Modulo del vettore in
componenti cartesiane
y
 ax 
a  
a
 y
ay
a
ax
| a | a  a
2
x
2
y
x
Modulo del
vettore
Il modulo di un vettore si scrive o tra barre
verticali o, in casi particolari (g, r, t), con il
simbolo senza la freccia
Scalari e vettori
• Il modulo del vettore spostamento è
uguale alla distanza tra i due punti
| r | d12
P
2

P1
 La distanza tra due punti ha un valore che non
dipende dalla orientazione del sistema di assi
cartesiani
 Ogni grandezza fisica il cui valore non dipende
dalla orientazione degli assi cartesiani si dice
scalare
 Le quantità scalari si indicano con il simbolo
senza la freccia
 La distanza tra due punti è una quantità scalare
 Il modulo di un vettore è una quantità scalare.
Scalari e vettori
• Le componenti di un vettore non
sono quantità scalari né sono
vettori!
• Esse cambiano in una rotazione
degli assi cartesiani secondo la
legge “ortogonale”
ax  ax '  ax cos   a y sin 

a y  a y '  ax sin   a y cos 
Gli assi x’ e y’ sono ruotati di un angolo θ
in senso antiorario rispetto agli assi x e y.
Definizione alternativa di vettore: una
grandezza fisica è vettoriale se e solo se può
essere definita da due (o più) componenti, che
in una rotazione del sistema di assi cartesiani
si trasformano in modo “ortogonale”
Operazioni con i vettori
1.
2.
3.
4.
5.
Somma
Il risultatoper
di queste
Moltiplicazione
uno scalare
operazione è o un
Combinazione
lineare
vettore o uno scalare
Prodotto scalare
Prodotto vettoriale
1) c  a  b
2) c   a
3) c   a   b
4) s  a  b
5) c  a  b
Operazioni con i vettori in
termini delle componenti
 ax  bx 


1) c  a  b   a y  by 
a b 
 z z
  ax 


2) c   a    a y 
 a 
 z
  ax   bx 


3) c   a   b    a y   by 
 a   b 
 z
z 
4) s  a  b  axbx  a y by  az bz
 a y bz  az by 


5) c  a  b   az bx  axbz 
a b a b 
y x
 x y
Operazioni con i vettori
• Le operazioni indicate nella diapositiva
precedente sono le sole operazioni
definibili sui vettori
• I risultati di queste operazioni sono o
scalari o vettori
• Così, per esempio, è impossibile
introdurre il rapporto tra vettori
 ax
b
a  x

b  ay

 by






ERRORE!
ax/bx e ay/by sono due
quantità che non si
trasformano con la legge
ortogonale in una rotazione
del sistema di riferimento.
ax/bx e ay/by non sono
né scalari né le
componenti di un
vettore
Prodotti scalare e vettoriale in
termini di angolo e moduli
ab sinα
a
α
a b
b
ab cosα
a  b | a || b | cos 
| a  b || a || b | sin 