Geometria descrittiva dinamica
Introduzione
Presentazione
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge
Si propone una metodologia di lavoro didattico che pone al centro dell’insegnamento non
tanto il “disegno come strumento grafico” quanto il “disegno come pensiero” e, quindi,
come linguaggio scientifico della comunicazione iconica e della rappresentazione
descrittiva. La metodologia propone l’approccio ad una “Geometria descrittiva dinamica”
intesa come supporto concettuale propedeutico alla rappresentazione geometrica
cercando una relazione interdisciplinare con le materie scientifiche come esplicita il
sottotitolo “Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge”.
Questa metodologia attualizza il rapporto docente-discente in un lavoro didattico di
condivisione in cui la verifica va fatta sul processo e quindi sulle singole e diverse capacità
degli studenti di codificare e/o decodificare un medesimo messaggio.
La disciplina della rappresentazione geometrica non è trattata come momento grafico ma
come sostegno concettuale propedeutico alla rappresentazione stessa, in collegamento
alle operatività digitali con supporto informatico.
L’elemento grafico viene presentato come un insieme di singole entità geometriche
distribuite seguendo precise e definite leggi ed operazioni geometriche che costituiscono
la “grammatica” e la “sintassi” della comunicazione descrittiva per definire, al termine del
processo dinamico del lavoro di rappresentazione, un messaggio grafico chiaro quale
inequivocabile e rigorosa simulazione del pensiero creativo.
Al sommario
Geometria descrittiva dinamica
Ritorno a Introduzione
Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di
Monge
DEFINIZIONI INSIEMISTICA,
DINAMICA E DESCRITTIVA DEGLI
ELEMENTI PRIMITIVI
PUNTO, RETTA, PIANO
Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s. 1992/93 da Vanina
Facciolà della classe 5°A
dell’Istituto Statale d’Arte “G. Mazara” di Sulmona
per la materia : “Teoria ed applicazioni di Geometria Descrittiva”
La revisione delle formalizzazioni è stata
curata dalla dott.ssa Gabriella Mostacci
IL materiale può essere riprodotto citando la fonte
Autore
Prof. Elio Fragassi
Sommario
Copertina
Sfogliare
Titolo dell’argomento
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Gli elementi geometrici fondamentali:punto, retta, piano
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Aspetto dinamico degli elementi fondamentali della geometria descrittiva
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Codifica e decodifica degli elementi geometrici
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Dall'analisi degli elementi alla sintesi della forma
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Il punto geometrico
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Caratteristiche fisiche: punto reale e punto improprio
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La linea
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La linea retta: caratteristiche geometriche e descrittive
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La semiretta:caratteristiche dinamiche
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Il segmento: caratteristiche dinamiche
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La superficie rigata piana o piano geometrico
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Il semipiano: caratteristiche geometriche e descrittive
Vai a
Tipologia piano geometrico
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Caratterizzazioni dimensionali e formali del piano geometrico
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Abaco delle formalizzazioni
Sommario
Gli elementi geometrici fondamentali:
punto, retta, piano (1)
Ambiente
Le foto sono state estratte da “Ville
e Giardini” nn° 269 – 280 –Editore
Elemond s.p.a. Milano
L’ambiente
in
cui
viviamo,
sia
esso
naturale
che
artificiale, è costituito
da elementi e forme
fisiche
che
hanno
consistenza
bidimensionale
e/o
tridimensionale; esse
possono
essere
ricondotte, comunque,
a forme geometriche
elementari sia solide
che piane. Per fare
questo è necessario
scomporre
ogni
elemento negli enti
fondamentali:
punto,
retta e piano.
Scomposizione
Gli elementi geometrici fondamentali
Punto,Retta,Piano (2)


Le forme geometriche fondamentali si compongono ed articolano
nello spazio in modo vario e diverso dando vita ad elementi più o
meno complessi che costituiscono l'ambiente e caratterizzano il
luogo ove si collocano, sia per generazione naturale che per
produzione manuale ed artificiale .
Riveste perciò particolare importanza acquisire la capacità di leggere ed
analizzare gli elementi che ci circondano per ricondurli a figure geometriche
piane e/o forme geometriche solide .

Operata questa prima lettura è possibile analizzare le forme individuate
scomponendole negli elementi geometrici primari.

Questa operazione di scomposizione ci dà l'opportunità di individuare le leggi
e le strutture elementari, ma fondamentali, delle figure e delle forme
geometriche che, poi, trattate sulla superficie definiscono l'ambiente e
caratterizzano il luogo fisico ove si collocano.
Sommario
Aspetto dinamico degli elementi
fondamentali della geometria descrittiva
Pertanto,
PUNTO ,
RETTA
e PIANO
costituiscono, in sintesi, gli elementi di
base di tutte le forme geometriche
che definiscono l'ambiente in cui
viviamo.
Se pensiamo alle forme ed alle
figurazioni geometriche non come
oggetti ed elementi finiti, definiti e
conclusi,
ma
come
risultanti
di
articolazioni spaziali in divenire degli
elementi fondamentali, è necessario
immaginare una descrizione dinamica
della geometria e delle relative forme e
figurazioni che si definiscono in una
elaborazione dinamica e rispondono a
precise e definite leggi ed operazioni
geometrico-descrittive. Per questo, gli
appunti
che
seguono,
definiscono
anzitutto gli elementi della geometria
descrittiva nel loro aspetto dinamico con
origine dall'ente principale: il "punto"
per passare, poi, all’insieme "retta" ed ai
suoi sottoinsiemi
per arrivare alla
definizione degli insiemi "piano” e
semipiano , ciascuno con le specifiche
caratteristiche insiemistiche-dinamicodescrittive (fig.01).
Sommario
Codifica e decodifica degli
elementi geometrici
Per questo, volendo descrivere
graficamente, con linguaggio
geometrico, gli elementi che
determinano l'ambiente è
necessario acquisire capacità di
lettura delle immagini per
conoscere, bene, (Fig.02, Fig.03,
Fig. 04) sia gli elementi
geometrici singoli che gli insiemi
costituitisi, che le leggi mediante
le quali gli stessi si articolano e
si compongono in insiemi di figure
e forme geometriche (codifica)
che le operazioni grafiche per
mezzo delle quali è possibile la
lettura e la descrizione
(decodifica) dinamica degli stessi.
Sommario
Dall’analisi degli elementi alla sintesi della forma
Su quanto considerato si innesta la necessità di definire
alcune considerazioni per ragionare di dinamicità nella
rappresentazione geometrica in modo da poter passare
da una descrizione geometrica statica ad una
elaborazione descrittiva dinamica mediante la ricerca, lo
studio, l'applicazione, la lettura, la composizione e la
definizione di processi creativi fondati su elementi
geometrici che si compongono, nel tempo e nello spazio,
sulla base di leggi insiemistiche-geometrico-descrittive
che fanno riferimento ai concetti di una
GEOMETRIA
DESCRITTIVA
DINAMICA
L’oggetto rappresentato (Fig.05) è stato ottenuto componendo, nello spazio e nel tempo ,
mediante un processo elaborativo mentale e pratico, gli elementi geometrici analizzati nella pagina
precedente: un pentagono, un rombo e un rettangolo. Queste sono figure piane delimitate da un
perimetro chiuso costituito da lati che, geometricamente, sono segmenti di rette complanari; mentre
le rette, intersecandosi, generano i vertici che, dal punto di vista geometrico, sono punti. Questa
immagine, pur se complessa, può essere scomposta negli elementi geometrici primari delle precedenti
figure 02, 03, 04: Punto, Retta, Piano.
Infatti:
I VERTICI possono essere riguardati come PUNTI.
Gli SPIGOLI possono essere riguardati come segmenti di RETTE.
Le FACCE possono essere riguardate come porzioni di PIANI.
Così operando la figurazione risultante rappresenta la sintesi di un processo elaborativo e descrittivo che integra, in
continuo, nel suo divenire, concetti teorici geometrici ed insiemistici, acquisizioni metodologiche ed elaborazioni
grafiche tra elementi aventi caratteristiche comuni.
Il punto geometrico
Sommario
ENTE
GEOMETRICO
Perché deve essere
inteso come qualcosa che
esiste concettualmente
Perché riferito, in
modo specifico al
campo della geometria
ADIMENSIONALE
Perché privo di ogni
dimensione: altezza,
lunghezza, larghezza, peso,
Alcuni esempi di punto geometrico
Sommario
Caratteristiche fisiche:
punto reale e punto improprio
Ampliando l'ambito operativo dello spazio geometrico-descrittivo con il concetto di infinito ) il
punto può caratterizzarsi come "ente reale" o "ente improprio" a seconda che la sua ubicazione spaziale
sia riconducibile all'interno di un luogo geometrico; finito e reale, oppure in un luogo geometrico dello
spazio infinito
Contraddistinguiamo, pertanto, il "punto reale"
(Fig.14) come l'elemento geometrico primario
collocato nello spazio finito di un determinato
luogo geometrico e lo indichiamo, sia nei disegni e
nelle figure, che nello scritto di questi appunti,
con le lettere maiuscole dell'alfabeto A, B, C, D
Punto reale: Ente geometrico collocato nello spazio finito
Caratterizziamo, invece, il "punto improprio"
(Fig.15) come l'ente geometrico primario
collocato in un luogo dello spazio infinito, e lo
indichiamo, sia nei disegni che nelle figure, che
nello scritto di questi appunti con le annotazioni,
come di seguito: A, B, C, D ,....
Punto improprio: Ente geometrico collocato nello spazio infinito
Sommario
La linea
Tra le forme geometriche di terza specie, di norma, vi si colloca il cosiddetto "spazio di punti" o
"spazio punteggiato”, intendendo con esso il luogo geometrico costituito da tutti i punti dello spazio
fisico tridimensionale.
Se immaginiamo questo "spazio di punti" non statico ma dinamico, allora vuol dire che ogni punto può
muoversi liberamente, occupando, istante per istante, posizioni diverse all'interno di un luogo o di un
ambito definito. Sulla base di questa presupposizione, un punto in movimento nello spazio descrive, con
il suo spostarsi, una linea l.
Le linee curva, spezzata e mista possono essere, a loro volta, aperte, chiuse, semplici o
intrecciate
Linea curva(fig.16)
Linea spezzata
(fig.17)
Linea mista (fig.18)
Linea retta
(fig.19)
La linea: caratterizzazione dinamica ed insiemistica
Pertanto è possibile sostenere, che ad ogni
punto in movimento nello spazio si può associare
una linea, che assume, a seconda del percorso
che descrive una specifica caratterizzazione
con relativa denominazione (Fig.20).
Dal punto di vista geometrico e dinamicodescrittivo possiamo riassumere il concetto di
cui sopra con la seguente espressione
insiemistica:
~  W
 P

~  l
 ! l| P
Ogni punto in movimento casuale nello spazio implica l’esistenza di una
ed una sola linea l
Legenda dei simboli
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
P = Punto in movimento casuale.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
l = Linea generata da un punto dinamico.
| = Quantificatore insiemistico universale (tale che).
La linea:
caratterizzazione spaziale e descrittiva
Dalle considerazioni dinamiche e dalle esemplificazioni
grafiche di cui sopra possiamo dedurre quanto di
seguito. Se il punto P si muove, nello spazio, in modo
casuale, si può affermare che esso descrive una linea
che può caratterizzarsi come quella della fig. 21 e
configurarsi come "linea sghemba" (se il punto, nel
movimento,
occupa
un
luogo
geometrico
tridimensionale), o come "linea piana" (Fig.22) (se il
punto, nello spostarsi occupa un luogo geometrico
piano).Pertanto, nell'uno o nell'altro caso, si può
concludere, sintetizzando il concetto con la seguente
formalizzazione dinamico-descrittiva della linea l.
l

+
 
~
P


l = Linea l generata da un punto P in movimento casuale.
S = Sommatoria delle posizioni di P in movimento casuale.
- + = Estremi impropri della sommatoria.
{P} = Insieme delle posizioni del punto geometrico in movimento casuale.
La linea dinamico-geometrica- è costituita dalla sommatoria infinita dell’insieme
delle posizioni di un punto P che si muove in modo casuale nello spazio
bidimensionale e/o tridimensionale
La linea:
caratterizzazione spaziale e descrittiva (2)
Volendo estendere la natura dinamico-descrittiva del punto quale ente generatore
fondamentale della geometria in generale e della geometria descrittiva in particolare, si
può enunciare, come di seguito, la proprietà principale dell'elemento "linea" della
"Geometria descrittiva dinamica
In uno spazio geometrico punteggiato, per ogni punto in movimento casuale,
si genera un insieme, non vuoto, chiamato "linea" costituito dalla sommatoria, estesa
da - a +, dell’insieme di tutte le posizioni del punto P in movimento casuale nella
spazio bidimensionale e/o tridimensionale.
La formalizzazione sintetica insiemistica-dinamico-descrittiva assume, pertanto, il seguente aspetto.
~
 P  W   ! l

 
~
P
~
| P  l
-
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito
Ogni punto in movimento casuale implica l’esistenza di uno ed un solo insieme
linea costituito dalla sommatoria infinita dell’insieme delle posizioni del punto P
in movimento nello spazio stesso
Sommario
La linea retta: caratteristiche geometriche
e descrittive
Se il punto P si muove nello spazio secondo una
direzione unica e definita, allora si dirà che il
punto è in "movimento orientato" (Fig.23).
In questo caso la linea l sarà contenuta da un
piano (fig.24) assumendo il nome di "linea
retta", che per facilità di esposizione si
indicherà semplicemente con il termine
"retta".
Didascalicamente, verrà indicata, sia nei disegni che nelle figure che negli scritti dei seguenti appunti,
con le lettere minuscole dell'alfabeto: esempio a, b, c, d,...
La caratterizzazione descrittiva ed insiemistica verrà definita nelle pagine successive.Come il
punto, anche la retta può essere un elemento geometrico reale oppure un elemento geometrico
improprio. La retta sarà un elemento reale quando il suo campo di esistenza ricade in un luogo
geometrico reale; viceversa sarà un elemento geometrico improprio quando il suo campo di esistenza
ricade in un logo geometrico improprio come ad esempio nel caso di retta intersezione tra due piani
paralleli.
Le didascalie sono le seguenti:
rette reali = a, b, c, d, ...
rette improprie = a , b, c, d, ...
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive
La retta r è costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle
posizioni di un punto P che si muove secondo una direzione stabilita nello spazio.
r

+ 

-
P 
dove:
r = Linea retta
{ P } = Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato.
 = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed orientato nello spazio.
-;+ = Estremi impropri della sommatoria.
Quanto sopra può applicarsi ad ogni punto riguardato in senso dinamico per cui, poiché nello spazio i punti sono infiniti e le
direzioni sono anch'esse infinite, possiamo sintetizzare, per la retta, la seguente espressione insiemistica:
 P  W  !r|P  r
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
P = Punto in movimento definito ed orientato.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
r = Linea retta
| = Quantificatore insiemistico universale (Tale che).
che si legge
Per ogni punto in movimento definito ed orientato nello spazio, esiste una ed una sola retta
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive (2)
Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemisticogeometrico-descrittiva della retta come di seguito, la cui formalizzazione sintetica
assume la seguente forma
 P  W  !r
 

-
 P | P  r
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si legge come di seguito.
Ogni punto in movimento orientato implica l’esistenza di una ed
una sola linea che assume il nome di “retta” r ed è costituita dalla
sommatoria orientata, estesa da - a + , dell'insieme costituito dalle
posizioni del punto P in movimento orientato e definito nello spazio
Elementi necessari alla definizione della retta
Sulla base delle considerazioni sviluppate, dato uno spazio, sia piano che solido, per definire, univocamente, una
retta possiamo utilizzare due metodi, a seconda delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive.
La definizione geometrica classica postula che una retta
è tale, ed univocamente definita, quando coincide con la linea
che passa per due punti distinti con il minore sviluppo (Fig.25).
Per cui dati due punti A e B si possono tracciare infinite linee
che passano per essi ma una, ed una sola linea retta. Se i due
punti, pur diversi, coincidono A º B siamo, fisicamente, in
presenza di un unico punto e pertanto per un punto possono
passare infinite rette complanari determinando un fascio di
rete , oppure infinite rette dello spazio determinando una
stella di rete.
Se consideriamo l’aspetto dinamico della geometria e
quindi la retta come elemento generato da un punto in
movimento orientato, sarà sufficiente definire un solo punto P
ed una direzione d per determinare univocamente una ed una
sola retta (Fig. 26) . Date infatti le infinite direzioni
esistenti nello spazio e/o sul piano, se si assegna una
determinata direzione d di spostamento ad un punto P, ci
sarà solo una retta che con quella direzione assegnata
passerà per il punto P dato.
Concludendo, per definire descrittivamente una retta possiamo utilizzare, a secondo dei casi, uno dei
seguenti metodi:
a) retta passante per due punti distinti e non coincidenti.
b) retta passante per un punto secondo una direzione assegnata.
Sommario
La semiretta:caratteristiche dinamiche
Se sulla retta, come già definita, viene fissato un punto X, da cui, per un motivo
qualsiasi, si analizza la retta stessa, allora siamo in presenza dell'elemento
geometrico denominato "semiretta" (Fig. 27).
La retta, infatti, resta divisa, così operando, in due parti ciascuna delle quali si
chiama, appunto, "semiretta" e viene indicata, sinteticamente, come r/2.
La nomenclatura degli elementi geometrici è riportata nel disegno di fig.27
mentre le caratteristiche fisiche sono le seguenti.
Il punto da cui si analizza la
porzione della retta si chiama
"origine della semiretta" la
cui caratteristica fisica è
quella di essere un "punto
reale"; mentre l'altro
estremo della porzione della
retta r/2 è un “punto
improprio” N
Nel caso della semiretta si considera che il movimento orientato del punto P
avvenga in una delle due porzioni della retta in modo indifferente e senza alcun
verso predefinito
Formalizzazione delle caratteristiche geometrico-
descrittive della semiretta (1)
Sulla base di quanto esposto precedentemente l'espressione dinamicodescrittiva della "semiretta" può sintetizzarsi con la seguente formalizzazione
N  
r/2 =

P 
x
dove
r/2
 = semiretta.
 = Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento definito ed
orientato nella porzione di retta.
X = Estremo della sommatoria ed origine reale della semiretta.
± = Estremo della sommatoria e punto improprio della semiretta.
{ P }= Insieme costituito dal punto in movimento definito ed orientato
che si legge come appresso
La semiretta r/2 è costituita dalla sommatoria orientata dell’insieme delle
posizioni di un punto P che si muove all'interno di una porzione di retta i cui
limiti sono costituiti da un’origine reale e da un estremo improprio
Formalizzazione delle caratteristiche
geometrico-descrittive della semiretta (2)
Quanto sopra è valido per ogni retta per cui è possibile generalizzare il concetto sintetizzandolo nella
seguente espressione insiemistica
 X  P  N con
dove i simboli hanno
i seguenti significati

X,P,N  W 
 ! r/2 |P  r/2
= Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
X = Punto reale ed origine dell’elemento geometrico.
 = Minore o uguale ad.
P
= Punto in movimento definito ed orientato.
N± = Punto improprio ed estremo dell’elemento geometrico.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
r/2 = Insieme semiretta
e la
formalizzazione si
legge come di
seguito
Per ogni punto, in movimento definito ed orientato nello spazio,
compreso tra un estremo reale X (origine) ed un estremo improprio N±,
esiste uno ed un solo insieme di punti, non vuoto, chiamato
"semiretta" r/2
Formalizzazione delle caratteristiche
geometrico-descrittive della semiretta (3)
Pertanto è possibile generalizzare la natura e la caratterizzazione insiemisticadinamico-descrittiva di questo sottoinsieme con la seguente formalizzazione
sintetica
 X  P  N , X,P  W   ! r/2 =
 N 

 P | P  r/2
X
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si recita come di
seguito
In uno spazio rigato (formato da rette) ogni punto in movimento
orientato e definito all’interno di una porzione di retta avente origine
reale ed estremo improprio implica l’esistenza di una semiretta
costituita dalla sommatoria orientata estesa tra un punto reale X ed un
estremo improprio ± delle posizioni del punto P in movimento
definito ed orientato all'interno di questo sottoinsieme
Sommario
Il segmento: caratteristiche dinamiche
Se sulla retta, come sopra
definita, vengono individuati due
punti reali e distinti X e Y, allora
siamo in presenza di una
determinata e definita porzione
della retta stessa, porzione di retta
che prende il nome di "segmento di
retta" o, semplicemente "segmento"
(Fig. 28)
Così operando, dell'elemento geometrico retta, viene staccato un tratto finito e definito
negli estremi da due punti reali. Questi punti costituiscono le soglie entro le quali si
analizza il punto P che con il suo movimento orientato e definito costituisce la retta.
I due "punti reali", indicati con le lettere maiuscole dell'alfabeto,
costituiscono gli "estremi del segmento" e rappresentano i limiti entro cui
analizzare il movimento del punto.
Anche nel caso del segmento si considera che il movimento orientato del punto P
possa avvenire, nel tratto contraddistinto, indifferentemente in entrambi i
versi, secondo la direzione assegnata per cui gli estremi delimitano il campo di
esistenza del segmento e dell'insieme dei punti della retta oggetto di indagine
geometrico-rappresentativa.
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive del segmento (1)
Sulla base di quanto esposto precedentemente
l'espressione descrittiva del “segmento" può
sintetizzarsi con la seguente formalizzazione:
XY 
Y

P 
X
dove i simboli hanno il seguente significato.
XY = Segmento staccato sulla retta in esame


P
= Sommatoria orientata di tutte le posizioni del punto P in movimento orientato
= Insieme definito dal punto in movimento orientato e definito
X,Y = Estremi reali della sommatoria delimitante il segmento
Il segmento XY è costituito dalla sommatoria orientata
dell’insieme delle posizioni di un punto P che si muove all'interno
di una porzione di retta definita da due estremi reali (due punti)
non coincidenti
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive del segmento (2)
Quanto sopra è valido per ogni retta per cui, volendo generalizzare il concetto dinamico
di segmento, come sopra definito, si può utilizzare la seguente espressione
insiemistica

X  P  Y con X,P,Y  W
dove i simboli
acquistano il
significato
esplicitato di
seguito
  ! XY  W | P  XY
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
X,Y = Punti reali e distinti della retta costituenti i limiti di esistenza del segmento.
 = Minore o uguale ad.
P = Punto in movimento definito ed orientato.
W = Spazio
 = Implicazione
! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
XY = Insieme segmento.
 = Appartiene
| = Quantificatore insiemistico universale (tale che).
e la formalizzazione si legge come di seguito
Ogni punto in movimento definito ed orientato nello spazio, compreso
tra due estremi reali, implica l’esistenza di uno ed un solo insieme di
punti, non vuoto, che si chiama "segmento".
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive del segmento (3)
Riferendo il tutto alla retta come elemento geometrico in discussione, si può asserire che
per ogni coppia di punti reali e distinti, staccati su una medesima retta r e non coincidenti
X 
 Y, si può definire una porzione di questa di cui i due punti rappresentano gli estremi
del sottoinsieme chiamato "segmento".
Pertanto è possibile generalizzare la caratterizzazione
insiemistica-geometrico-descrittiva di questo sottoinsieme della
retta secondo la seguente formalizzazione sintetica
 X  P  Y   ! XY
Y
=

 P  | P  XY
X
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la
formula si esprime, verbalmente, come di seguito
Ogni punto in movimento orientato e definito nello spazio compreso tra due
punti reali implica l’esistenza di un elemento denominato “segmento”; detta
porzione di retta è costituita dalla sommatoria orientata, in un intervallo finito e
delimitato da due punti reali, dell’insieme delle posizioni del punto P in
movimento.
Sommario
La superficie piana rigata o piano geometrico
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE E PRESENTAZIONE DINAMICA
DELL’ELEMENTO GEOMETRICO (1)
 r~  W   ! S | r~  S
 = Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
~ = Retta in movimento casuale.
r
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
 ! = Quantificatore insiemistico esistenziale
(Esiste ed è unica).
S = Superficie generica.
| = Quantificatore insiemistico universale (tale che).
Una retta, come quella descritta
e definita nelle pagine precedenti,
che si muove liberamente nello
spazio genera una “superficie”
generica S (Fig. 29).
Quindi, utilizzando la stessa
simbologia dei paragrafi
precedenti, si può specificare la
caratterizzazione dinamicodescrittiva, in forma
insiemistica, di una retta in
movimento casuale nello spazio
tridimensionale mediante la
seguente formalizzazione
insiemistica
che si legge come
di seguito.
Ogni retta r in movimento
casuale nello spazio implica
l’esistenza di una ed una sola
“superficie rigata” S.
CONSIDERAZIONI INTRODUTTIVE E PRESENTAZIONE
DINAMICA DELL’ELEMENTO GEOMETRICO (2)
Da questa osservazione discende, poi, la conseguente formalizzazione
descrittiva della superficie generica intesa in senso dinamico
+
S
=
 

~
r
-
S

= Superficie rigata generica.
= Sommatoria delle infinite posizioni della retta r in movimento casuale nello spazio.
+; - = Estremi impropri della sommatoria delle posizioni della retta.
~} = Insieme costituito dalla retta in movimento libero nello spazio.
{r
per cui si dirà che:
Una superficie S è generata dalla sommatoria dell’insieme delle infinite posizioni di una
retta r che si muove in modo casuale nello spazio tridimensionale
Unificando, poi, le due espressioni si ottiene la seguente formalizzazione insiemistica-dinamicodescrittiva della superficie rigata
~  W  !S
 r


  r~ | r~  S
-
dove i simboli hanno il significato esplicitato
nelle precedenti enunciazioni, e la formula
può essere enunciata come di seguito
Ogni retta in movimento casuale nello
spazio genera una superficie che si chiama
"superficie rigata" S costituita dalla
sommatoria, estesa da - a +, dell’insieme
non vuoto di tutte le posizioni della retta r
in movimento casuale nello spazio
Caratteristiche dinamiche della retta generatrice
Se
la
retta
r
con
le
caratteristiche dinamiche già
definite, si muove, invece che in
modo casuale, parallelamente a
se stessa (Fig. 30), secondo una
direzione definita, allora, il suo
spostamento nello spazio genera
una superficie rigata piana che
prende il nome di "piano
geometrico" (Fig. 31) o più
semplicemente di "piano"
Questo nuovo elemento
geometrico viene indicato,
sia nelle didascalie dei
disegni che nelle figure,
che negli scritti di questi
appunti, con le lettere
minuscole
dell'alfabeto
greco a , b , g , d , e
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive (1)
Sulla base delle caratteristiche dinamiche già analizzate l'enunciazione
sintetica dell'elemento geometrico "piano" può schematizzarsi con la seguente
formalizzazione descrittiva


 

- 
r 
dove i simboli acquistano il significato esplicitato di seguito.
 = Superficie rigata piana o più semplicemente "piano".

 = Sommatoria orientata di tutte le posizioni di r in movimento definito ed orientato
(parallelamente a se stessa).
r = Insieme costituito da una retta in movimento definito ed orientato (la retta si
sposta parallelamente a se stessa) secondo una unica direzione
(-, +) = Estremi impropri della sommatoria
 
che si legge
Il piano  è costituito dalla sommatoria orientata dell’insieme di tutte le
posizioni di una retta r che si sposta nello spazio infinito secondo una direzione
prefissata muovendosi parallelamente a se stessa
Formalizzazione delle caratteristiche geometricodescrittive (2)
Poiché la retta, per sua natura infinita, si muove parallelamente a se stessa in uno spazio infinito,
possiamo dimensionare il piano come spazio 2
Per quanto detto possiamo generalizzare e sintetizzare il concetto espresso con la seguente
formalizzazione insiemistica del piano
 r  W  !
2
|r  
= Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
r = Retta in movimento orientato e definito.
 = Appartiene
W = Spazio
 = Implicazione logica.
! = Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
  2 = Piano inteso come elemento geometrico bidimensionale.
| = Quantificazione insiemistico universale (tale che).

2
dove i simboli acquistano il
significato esplicitato di seguito
che si recita come di seguito
Per ogni retta in movimento orientato e
definito nello spazio, esiste una ed una
sola superficie piana detta "piano"
Definito quanto alle pagine precedenti, si possono sintetizzare le caratterizzazioni
insiemistiche-geometrico-descrittive di questo terzo elemento con la seguente formula
 r  W  !
 
=

-
 r | r  
dove i simboli hanno il significato esplicitato nelle
pagine precedenti e la formula può essere enunciata
come di seguito
Per ogni retta in movimento definito ed orientato si genera una superficie chiamata “piano” che è
costituita dalla sommatoria orientata ed infinita dell’insieme delle posizioni che la retta r occupa
muovendosi nello spazio secondo una direzione definita ed orientata
Elementi necessari alla definizione di un piano (1)
Sulla base delle considerazioni sviluppate relativamente alla superficie piana intesa in senso dinamico,
per definire, univocamente, un piano possiamo fare riferimento a quattro metodi utilizzabili a seconda
delle situazioni grafiche che si presentano o delle necessità descrittive o in relazione all'economia
grafica, se l'elaborazione si presenta complessa
1° metodo
Un piano resta univocamente determinato se
vengono assegnati tre punti non allineati e non
coincidenti A m B m C (Fig.32).
La formalizzazione specifica insiemistica e
descrittiva assume l’aspetto seguente
 A,B,C  W | A  B  C   ! a  W | A  a, B  a, C  a
2° metodo
Un piano può essere univocamente determinato
se vengono assegnati una retta r ed un punto
esterno a questa A  r (Fig.33)
La formalizzazione specifica insiemistica e
descrittiva assume l’aspetto seguente
 A  W,  r  W | A  r   ! a  W | r  a
e
A a
Elementi necessari alla definizione di un piano (2)
3° metodo
Un piano può essere univocamente definito se
vengono date due rette parallele e distinte
a//b; a m b (Fig.34
La formalizzazione specifica insiemistica assume
l’aspetto seguente
 a,b  W | a//b e
a  b
  ! a  W | a  a, b  a
4° metodo
Un piano può essere univocamente definito se
vengono assegnate due rette incidenti a  b
(Fig.35)
La formalizzazione specifica insiemistica assume
l’aspetto seguente
 a,b  W | a  b  X   ! a  W | a  a, b  a
Sommario
Il semipiano: caratteristiche geometriche e descrittive
CARATTERISTICHE DINAMICHE DEL SEMIPIANO
Se, sul piano come sopra definito, viene
individuata una retta a dalla quale, per un
motivo qualsiasi, si analizza il piano stesso,
allora si genera l’elemento geometrico in
discussione, denominato "semipiano"
(Fig.36).
Il piano, infatti, resta diviso, così operando,
in due parti, ciascuna delle quali si chiama
semipiano e viene indicato sinteticamente
come /2.
Definiti gli elementi geometrici,
descriviamo come di seguito gli specifici
aspetti fisici.
La retta da cui si analizza la porzione di
piano si chiama "retta origine del semipiano"
e si caratterizza come "elemento
geometrico reale” (retta reale)
Per il resto, il piano, non ha altri elementi
reali identificativi data la sua
caratteristica fisica di essere costituito
da una retta (monodimensionale ed
infinita) che si sposta parallelamente a se
stessa secondo una direzione anch'essa
infinita
Poiché, infine, la retta che genera dinamicamente il piano può essere comunque orientata,
anche la “retta origine del semipiano" può essere comunque orientata nello spazio
FORMALIZZAZIONE DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICO-DESCRITTIVE (1)
Sulla base delle caratteristiche dinamiche
già analizzate l'enunciazione sintetica di
questo elemento geometrico denominato
"semipiano", sottoinsieme del piano, può
sintetizzarsi con la seguente
formalizzazione dinamico-descrittiva
 /2

n  

r 
dove
a
/2 = Semipiano.

 = Sommatoria orientata di tutte le
posizioni di r in movimento nello spazio.
r = Insieme determinato dalla retta dinamica in movimento
definito ed orientato. (Parallelamente a se stessa secondo
una direzione assegnata).
a
= Estremo della sommatoria ed origine reale del semipiano.
n± = Estremo della sommatoria e retta impropria del semipiano
 
che si legge
Il semipiano /2 è costituito dalla sommatoria definita ed orientata dell’insieme delle
posizioni di una retta r che si muove all'interno di una porzione di superficie piana avente
per estremi una retta reale a ed una retta impropria n.
Poiché quanto sopra è valido per ogni retta è possibile generalizzare il concetto sintetizzandolo così
 a  r  n , a, n , r  W   !  /2 | a, r   /2
= Quantificatore insiemistico universale (Per ogni).
= Retta origine reale del semipiano.
= Minore o uguale a.
r = Retta dinamica in movimento definito
n± = Retta impropria del semipiano.

= Appartiene

a

che si legge
W

!
|
i simboli hanno i seguenti significati
= Spazio
= Implicazione logica.
= Quantificatore insiemistico esistenziale (Esiste ed è unico).
= Quantificatore insiemistico universale (Tale che).
 /2  = Insieme semipiano.
Per ogni retta in movimento definito ed orientato compreso tra una
retta reale (a = origine) ed una retta impropria n± esiste un solo
insieme di rette, non vuoto, chiamato "semipiano"
FORMALIZZAZIONE DELLE CARATTERISTICHE GEOMETRICO-DESCRITTIVE (2)
Precisato quanto ai paragrafi precedenti, si può sintetizzare la
caratterizzazione insiemistica-geometrico-descrittiva di questo sottoinsieme
secondo la seguente formalizzazione
 a  r  n , a, r, n    W   ! /2 =
n  

 r  | r /2
a
dove i simboli hanno il significato già esplicitato e la formula si espone
come di seguito
Ogni retta in movimento orientato e definito tra un estremo reale
ed un estremo improprio implica la formazione dell’elemento
geometrico “semipiano” costituito dalla sommatoria orientata,
estesa dalla retta a, detta origine del semipiano, ad una retta
impropria n ± , dell’insieme delle infinite posizioni della retta r in
movimento definito ed orientato nello spazio
Sommario
Tipologia del piano geometrico (1)
TIPOLOGIA DEL PIANO IN RELAZIONE AGLI ELEMENTI GENERATORI:
IL PIANO RIGATO
Tenendo conto delle specifiche
caratteristiche geometriche dinamiche
e descrittive dell'elemento in
trattazione, se immaginiamo la
superficie piana come determinata da
una retta in movimento definito ed
orientato (Fig. 37) (la retta può
essere comunque orientata ma si muove
parallelamente a se stessa secondo una
direzione definita), avremmo la
formalizzazione descrittiva del piano,
come quella già esaminata.

+ 
=

-
r 
Conseguentemente a questa natura si dirà di essere in presenza di un elemento
geometrico definito
piano rigato
TIPOLOGIA DEL PIANO GEOMETRICO (2)
TIPOLOGIA DEL PIANO IN RELAZIONE AGLI ELEMENTI GENERATORI:
IL PIANO PUNTEGGIATO
Ricordiamo anche che, a sua volta, la retta che genera la superficie piana (piano
rigato) è determinata da un punto anch'esso in movimento definito ed orientato
nello spazio espresso dalla formula descrittiva già analizzata e trascritta di seguito
+
r =

-
P 
Pertanto, anche il piano, a sua volta, può essere
riguardato come una superficie costituita da punti; anzi
da un punto che si muove in modo tale da generare una
retta che a sua volta genera la superficie piana.
Data, infatti,
l’espressione relativa al
“piano rigato”
ricordando che la retta dinamica è espressa
come “retta punteggiata”
 P 
+   
π =

-
-
+
r =

-
P 
+ 
π
=

-
r 
sostituendo si determina la
seguente espressione
mediante la quale possiamo indicare, simbolicamente, il “piano
punteggiato” ”.(Fig.38)
Essendo il piano un “elemento geometrico
bidimensionale”, la doppia  sta proprio a definire e dare significato a questa
caratteristica, se si riporta la natura dell’elemento all’ente primario: al “punto
geometrico” come ente generatore.
Sommario
Caratterizzazioni dimensionali e formali del piano
Le due espressioni sintetiche relative al piano
Piano punteggiato
Piano rigato
+ 
π
=

-
r 
π =
  P
+ 
 
-
-

evidenziano le specifiche caratteristiche geometriche
Pertanto, stante le caratterizzazioni esposte e le relative
determinazioni geometriche, il piano, come elemento bidimensionale
della geometria in generale e della geometria descrittiva in
particolare si caratterizza essere
dimensionalmente infinito
morfologicamente indefinito
Per questi suoi aspetti e queste caratteristiche descrittive, in tutti i disegni, il
contorno di un piano sarà sempre costituito da una linea curva qualunque, come
nei disegni già eseguiti.
Abaco delle formalizzazioni (1)
Sommario
Elementi
geometrici
Espressioni
Insiemistica
Linea l
punteggiata
Descrittiva
~
 ! l| P  l

l

+
 

~
P
Descrittiva

 
~  W   ! l
 P
~
| P
 l
Formalizzazioni
 P  W  !r|P  r
r

+ 

-
Insiemisticodescrittiva
~
P
-
Espressioni
Insiemistica
Retta r
punteggiata
~
 P  W

Insiemisticodescrittiva
Elementi
geometrici
Formalizzazioni
 P  W   ! r
 

-
P 
 P | P
 r
Abaco delle formalizzazioni (2)
Elementi
geometrici
Espressioni
Insiemistica
Semiretta
r/2
N  
r/2 =

P 
x
 XP N

, X,P  W   ! r/2 =
Descrittiva
 N 

 P | P  r/2
X
Espressioni
Insiemistica
Segmento
 X  P  N con X,P,N  W   ! r/2 |P  r/2
Descrittiva
Insiemisticodescrittiva
Elementi
geometrici
Formalizzazioni
Formalizzazioni

X  P  Y con X,P,Y  W
XY 
Y

  ! XY  W | P  XY
 P | X  P  Y
X
XY
Insiemisticodescrittiva
 X  P  Y   ! XY
Y
=

X
P 
| P  XY
Abaco delle formalizzazioni (3)
Elementi
geometrici
Espressioni
Insiemistica
Superficie
S
~  S
!S| r
+
S =
  r~ 
-
~  W   !S
 r


 
~
r
|
~  S
r
-
Espressioni
Insiemistica
Semipiano
/2
~  W 
 r
Descrittiva
Insiemisticodescrittiva
Elementi
geometrici
Formalizzazioni
Formalizzazioni
 a  r  n , a, n , r  W   !  /2 | a, r   /2
 /2 
Descrittiva
n 

r 
a
Insiemisticodescrittiva

 a  r  n , a, r, n

 W   !  /2 =
n 

a
 r  |r  /2
Abaco delle formalizzazioni (4)
Elementi
geometrici
Espressioni
Insiemistica
Piano

Formalizzazioni
 r  w   !  2 | r   2

Descrittiva

Insiemisticodescrittiva
 r  W  !
 
=
 r | r  
Formalizzazioni
P  W  !r|P  r r  W  ! | r  
+  + 
π =
Descrittiva
 
-
punteggiato
Insiemisticodescrittiva

-
Espressioni
Insiemistica
Piano


- 
rigato
Elementi
geometrici
r 
 
P  W  !r 
 P
 

-
P 
|P  r r  W  !    r | r  
 
