TRIGONOMETRIA
Ripasso veloce
Definizioni principali
Sia u un segmento con un estremo
nell’origine e l’altro sulla circonferenza
di centro l’origine e raggio 1
(circonferenza goniometrica) che formi
un angolo θ con l'asse x.
Si chiama coseno dell'angolo θ, e si
indica con cosθ, la lunghezza ux.
Si chiama seno dell'angolo θ, e si indica
con senθ, la lunghezza uy.
Si chiama tangente dell'angolo θ, e si
indica con tgθ, il rapporto
senθ
cosθ
y
uy
0
θ
u
ux
1 x
Altre funzioni trigonometriche
A
Risulta:
senθ 
cateto opposto a θ
ipotenusa
C
B
cateto adiacente a θ
cosθ 
ipotenusa
Si possono definire anche altre funzioni trigonometriche, di
minore uso, che sono le reciproche di senθ, cosθ e tgθ :
Cosecante di θ:
cscθ 
1
ipotenusa

senθ cateto opposto a θ
Secante di θ:
secθ 
1
ipotenusa

cosθ cateto adiacente a θ
Cotangente di θ: cotgθ 
1
cosθ cateto adiacente a θ


tgθ senθ cateto opposto a θ
Proprietà
Il segmento u ha lunghezza 1, qualsiasi sia la posizione del
suo punto finale U sulla circonferenza goniometrica, quindi:
y
• -1cosθ 1
senθ
risulta
cosθ
• - tgθ +
Poiché tgθ 
senθ
• -1senθ 1
U
0
u
tgθ
• cos2θ + sen2θ 1
θ
cosθ 1 x
Graficamente
• cosθ e senθ sono l’ascissa e l’ordinata di U
• tgθ è la lunghezza del segmento di tangente alla
circonferenza goniometrica tra l’asse x e la semiretta di
u.
Valori negli angoli elementari
Consideriamo i due triangoli rettangoli delle figure seguenti:
A
M
45°
1
60°
1
B
45°
C
N
30°
P
Il primo è mezzo quadrato, il secondo mezzo triangolo
equilatero.
Poiché l’ipotenusa, in entrambi i casi, vale 1, si ricava:
•
cos(45°)=sen(45°)=
2
2
•
cos (60°)=sen(30°)=
1
2
cos (30°)=sen(60°)=
3
;
2
Altri angoli elementari
Gli angoli di 60°, 45° e 30° corrispondono
ai triangoli OAB, OA’B’, OA”B” della figura a
fianco e abbiamo visto i valori delle funzioni
trigonometriche per tali valori.
Per calcolare gli altri angoli elementari
osserviamo la seconda figura, che presenta i
4 quadranti.
I 4 punti Pk hanno ascisse e ordinate
uguali in valore assoluto, dunque i
triangoli rettangoli 1, 2, 3, 4 sono
congruenti, quindi per calcolare i valori
delle funzioni negli altri angoli elementari
ci riferiamo al primo quadrante e
cambiamo opportunamente i segni.
Curiosità
Il seno e il coseno degli angoli
notevoli si possono ricordare
facilmente con la regola
mnemonica:
senθ
θ
cosθ
0
2
0o
4
2
1
2
30o
3
2
2
2
45o
2
2
3
2
60o
1
2
4
2
90o
0
2
Periodicità
Sia θ un angolo acuto in un triangolo rettangolo.
Per quanto detto valgono le relazioni:
• senθ=cos(90°-θ)
• cosθ=sen(90°-θ)
• senθ=-sen(-θ)
θ
• cosθ=cos(-θ)
• senθ=sen(180°-θ)
• cosθ=-cos(180°-θ)
• sen(90°+θ)=sen(180°-(90°+θ))=sen(90°-θ)=cosθ
• cos(90°+θ)=-cos(180°-(90°+θ))=-cos(90°-θ)=-senθ
Gradi e radianti
Quando il punto finale U del segmento u si muove sulla
circonferenza goniometrica in verso antiorario, aumenta
l’angolo a (tra 0 e 360°) e aumenta di conseguenza anche la
lunghezza dell’arco di circonferenza tra l’asse x e la retta di u,
da 0 a 2p=lunghezza circonferenza.
La misura dell’arco corrisponde a quella dell’angolo: gli angoli
sono quindi misurabili anche in radianti (rapporto tra la
lunghezza dell’arco e quella del raggio della circonferenza).
La corrispondenza tra angoli e radianti e il valore delle funzioni
trigonometriche negli angoli elementari è data dalla tabella
della pagina seguente.
Angoli principali
q
q
L’angolo q della prima figura è di 30°, infatti il triangolo giallo è
equilatero; tutti gli altri angoli sono uguali al primo; dalla figura
è evidente che misura p/6
L’angolo q della seconda figura è di 45°, e tutti gli altri angoli
sono uguali al primo, che misura, in radianti, p/4.
Conversione gradi-radianti
gradi
Rad.
gradi
Rad.
0°
0
180°
p
30°
p/6
210°
p/6
45°
p/4
225°
5p/4
60°
p/3
240°
4p/3
90°
p/2
270°
3p/4
120°
2p/3
300°
5p/3
135°
3p/4
315°
7p/4
150°
5p/6
330°
11p/6
Tabella dei valori
gradi
Rad.
sena
cosa
tga
gradi
Rad.
sena
cosa
tga
0°
0
0
1
0
180°
p
0
-1
0
30°
p/6
1
2
3
2
210°
7p/6

45°
p/4
2
2
2
2
225°
5p/4
60°
p/3
3
2
1
2
240°
90°
p/2
1
0
N.D.
120°
2p/3
3
2

1
2
135°
3p/4
2
2

150°
5p/6
1
2

1
2

3
2
3
3

2
2

2
2
1
4p/3

3
2
270°
3p/4
-1
 3
300°
5p/3

2
2
-1
315°
7p/4

3
2

330°
11p/6
3
3
1
3
3
3


1
2
3
0
N.D.
3
2
1
2
 3
2
2
2
2
1
2
3
2
-1

3
3
Sui triangoli rettangoli
C
Consideriamo un triangolo rettangolo e sia
a l’ipotenusa, b e c i cateti. Risulta:
senθ= b/a , cosθ=c/a
a
b
 tgθ=b/c
Per cui
B
θ
A
c
b=a senθ, c=a cosθ, c=b tgθ.
“Risolvere” un triangolo rettangolo significa, dati alcuni
elementi, ricavare gli altri elementi non conosciuti.
Poiché si parla di triangoli rettangoli, l’angolo retto è dato,
poi, per conoscere tutto basta avere in più:
• Ipotenusa e un angolo
• un cateto e un angolo
• L’ipotenusa e un cateto
• i due cateti
I due angoli invece non caratterizzano il triangolo, ma solo
tutti i triangoli simili.
Teoremi sui triangoli
Dato un triangolo qualsiasi, di lati a, b, c, e angoli opposti a,
b, g rispettivamente, valgono i seguenti teoremi:
Teorema dei seni:
a
b
c


senα senb seng
Teorema del coseno (o di Carnot):
a2=b2+c2-2bc cosa
b2=a2+c2-2ac cosb
c2=b2+a2-2ba cosg
È chiaramente una generalizzazione del teorema di Pitagora.
Altre proprietà
Abbiamo visto che:
a
b
c


senα senb seng
Questa relazione ha un significato geometrico: i tre rapporti
rappresentano la lunghezza del diametro del cerchio
circoscritto al triangolo.
Teorema della corda: ogni corda di una circonferenza ha
una lunghezza pari al prodotto della misura del diametro per
il seno di qualunque angolo alla circonferenza che insista su
tale corda.
Teorema dell’area: L’area di un triangolo qualsiasi di lati a,
b, c vale
½ bc sena = ½ ac senb = ½ ab seng
Identità trigonometriche
Per ogni angolo θ vale la identità fondamentale:
sen2θ + cos2θ = 1
e da questa si ricava che:
cosθ   1  sen2θ e
senθ   1  cos2θ
Nelle slide seguenti presenteremo svariate formule che
legano tra loro le funzioni trigonometriche.
La loro dimostrazione è abbastanza semplice ed è riportata
su ogni libro di matematica delle superiori che preveda la
trigonometria.
Formule 1
Dati due angoli qualsiasi θ e φ valgono le seguenti relazioni:
Formule di addizione e sottrazione:
• sen(θ±φ)=senθcosφ±cosθsenφ
• cos(θ±φ)=cosθcosφ±senθsenφ
• tg(θ + φ)  tgθ + tgφ
1  tgθ  tgφ
tg(θ  φ) 
tgθ  tgφ
1 + tgθ  tgφ
Formule di duplicazione:
• sen2θ=2senθcosθ
• cos2θ=cos2θ-sen2θ = 1-2sen2θ= 2cos2θ-1
• tg(2θ) 
2tgθ
1  tg2θ
Formule 2
Altre formule interessanti:
Formule di bisezione:
θ
1  cosθ
sen  
2
2
cos
θ
1 + cosθ

2
2
θ
1  cosθ
tg  
2
1 + cosθ
Formule parametriche:
chiamata t la tangente di θ/2, è
sen(t) 
2t
1 + t2
cos(t) 
1 - t2
1 + t2
tg(t) 
2t
1  t2
Formule 3
Queste formule legano somme di funzioni trigonometriche con
prodotti delle medesime e viceversa:
Formule di prostaferesi:
θ+φ
θφ
senθ + senφ  2sen

cos



2
2




θ+φ
θφ
cosθ + cosφ  2cos
  cos

2
2




Formule di Werner (o del prodotto):
1
cosθ + φ + cosθ  φ
2
1
senθ  senφ  cosθ  φ   cosθ + φ 
2
1
senθ  cosφ  senθ + φ  + senθ  φ 
2
cosθ  cosφ 