Dalle operazioni con i
numeri alle operazioni con
le lettere
Un percorso multimediale di matematica per la
classe prima.
A cura dei proff. Lombardi Antonio e Tortora Salvatore
INDICE
1. La storia dei numeri
2. Le operazioni e gli insiemi numerici
3. Dai numeri alle lettere
4. Il calcolo letterale
5. I Monomi
La storia dei numeri
Forse accadde un caldo pomeriggio d’estate o in una
sera d’autunno. Di certo era un lontano giorno di
tantissimi anni fa:
Seduto fuori della caverna dove dimorava insieme al
gregge e alla sua famiglia, un uomo primitivo (antico
pastore) osservava le sue pecore entrare lentamente
nell’ovile. Un pensiero lo tormentava da giorni:
come poteva sapere se c’erano tutte le sue pecore o
se qualcuna s’era smarrita o peggio ancora era stata
sbranata da un lupo?
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Mentre osservava gli animali entrare faceva urtare tra
loro, nel palmo della sua mano, dei sassolini levigati
raccolti giorni addietro sul greto di un fiume.
Ed ecco all’improvviso l’idea: perché non conservare un
sassolino per ogni pecora che entra nell’ovile?
Così al mattino avrebbe portato con sé un sassolino per
ogni pecora del suo gregge. Alla sera per ogni pecora
entrante nell’ovile poggiava nella sua mano uno dei
sassolini messi da parte:
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se fosse avanzato qualche sassolino bisognava tornare
al pascolo e cercare la pecora o le pecore mancanti.
Era nato il concetto di numero.
Successivamente inventò un simbolo per ogni possibile
quantità di sassolini.
Questi simboli, in epoca romana, ricordavano le dita
della mano: I II III oppure la mano con quattro dita
unite e il pollice separato : V.
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Oggi i simboli che si usano per rappresentare i numeri si
chiamano cifre.
Come è noto le cifre sono: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Attenzione a saper distinguere la differenza tra la cifra e
il numero.
Quindi la scrittura: “ 5 ” è un simbolo grafico, per
l’appunto una cifra, con cui si indica quanti oggetti ho
contato.
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Così nella frase “ ieri sono stato a cena con 12 amici”
viene indicato il numero 12 ed esso si scrive con due
cifre:
la cifra 1
e la cifra 2.
Quindi: 12 indica il numero degli amici ed esso si scrive
con le due cifre sopra indicate.
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Le Operazioni e gli
insiemi numerici
A tutti sono note le operazioni che coinvolgono i
numeri e le quattro operazioni.
Così non vi è difficoltà nell’addizionare, sottrarre,
moltiplicare o dividere dei numeri.
Per i nostri antenati fu certamente un progresso
notevole passare dalla semplice operazione del
contare i capi di bestiame o le pelli o le armi, a quella
ancora più utile di poter sommare o sottrarre le stesse
quantità.
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Sono perciò familiari le operazioni del tipo:
3 x 4 = 12
Moltiplicazione o prodotto
8–2=6
Sottrazione
9 + 5 = 14
Addizione o somma
12 : 3 = 4
Divisione
Con queste semplici quattro operazioni l’uomo ha per
secoli gestito le sue attività: l’agricoltura, il commercio e
la costruzione di palazzi, strade, ponti, acquedotti ecc.
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Poi si scoprì l’utilità di introdurre numeri preceduti dal
segno + o - e numeri decimali o frazionari: i numeri si
sono così ampliati per rispondere ad esigenze di calcoli
sempre più ampie.
Perciò si sa calcolare: – 8 + 5 = -3; +3(– 2) = – 6
ancora: (– 4)(– 5) = – 20; e +12 – 7 = +5;
(– 2)2 = +4; (– 4)3 = – 64;
e
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In particolare con i soli numeri naturali non è possibile
compiere operazioni del tipo:
3 – 8; 15 – 56; 120 – 254
perché 8 è più grande di 3, 56 è più grande di 15 e
infine 254 è più grande di 120.
E allora per rendere possibili tali operazioni si sono
introdotti i numeri relativi (positivi e negativi) e le
regole per eseguire le somme e le sottrazioni con essi.
Quindi 3 – 8 = – 5; 15 – 56 = – 41; 120 – 254 = – 134
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ESEMPIO 1
Somma di frazioni
In questo esempio si propone un ripasso
dell’operazione di somma tra frazioni tutte positive
attraverso la ricerca del minimo comune multiplo.
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In modo analogo: la divisione 8 : 2 = 4 è una divisione
esatta perché il resto è zero, ma non risulta possibile
dividere esattamente 3 : 2 perché il resto stavolta è 1.
Allora si sono introdotti i numeri decimali (o frazionari)
e le relative regole.
Pertanto 3 : 2 = 1,5 cioè 3 : 2 = 1 + 1/2
Così anche 7 : 4 = 1,25 cioè 1 + 1/4
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C’è infine un’altra operazione che non sempre è possibile
eseguire: l’estrazione di radice quadrata o l’estrazione di
radice terza, quarta ecc.
Infatti 4 = 2 perché 22 = 4
E ancora:
3
8 = 2 perché 23 = 8
Ma 2 non è invece una radice esatta perché il suo
valore è un numero con infinite cifre decimali e non
periodico.
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Allora questi numeri, che si presentano con infinite
cifre decimali e senza un periodo, si chiamano numeri
irrazionali.
2
Come già detto è un esempio di numero irrazionale.
Se si prova a calcolare con una calcolatrice da tavolo la
radice quadrata di 2, si vedrà il visore riempirsi di cifre
decimali, in effetti quelle visualizzate sono solo le
prime otto o dieci cifre perché in realtà le cifre decimali
sono infinite.
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A questo punto riepiloghiamo quali e quanti sono i tipi
diversi di numeri che si conoscono:
Numeri naturali: 1, 5, 2, 45, 785 ecc.
Numeri interi relativi: – 5, +6, +15, – 58 ecc. in pratica
tutti i naturali presi però con il segno + o Numeri razionali relativi: +2,4 – 42,23 – 5/8 – 21,03
– 75 84 5 – 1 ecc. quindi tutti i precedenti più i
decimali e frazionari presi con il segno + o –
Numeri reali: tutti quelli considerati prima più gli
irrazionali come 2
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Numeri naturali: il loro simbolo è N
Numeri interi relativi: il loro simbolo è Z
Numeri razionali relativi: il loro simbolo è Q
Numeri reali: il loro simbolo è R
Inoltre, come lo schema seguente illustra, R contiene Q,
Q contiene Z e Z contiene N.
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Z
Q
QN
R
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ESEMPIO 2
Operazioni con i numeri
relativi
Si propone un ripasso delle operazioni con i
numeri reali relativi
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Dai numeri alle lettere
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Ora è necessario fare un passo avanti:
A tutti è noto fin dalle scuole elementari che per
calcolare l’area di un rettangolo bisogna moltiplicare la
lunghezza della base per la lunghezza dell’altezza.
E’ la formula dell’area e si scrive così:
A=bxh
Ora tale formula contiene l’operazione di prodotto ma,
cosa importante, tale prodotto non è indicato tra due
numeri, bensì tra due lettere che indicano delle lunghezze
espresse in metri, centimetri, o altro.
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Quindi per applicare tale formula si deve sostituire alla
lettera il numero opportuno che indica una lunghezza.
Soltanto dopo tale sostituzione eseguirò il calcolo e
otterrò un numero che esprime l’area.
Altri esempi di formule che contengono operazioni
espresse tra lettere sono ricavabili dalla geometria,
dalle scienze fisiche e naturali, ma anche dalla vita
comune.
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Così si può considerare la formula che calcola la
lunghezza di una circonferenza:
L=2xxr
E l’area del quadrato:
A=lxl
Oppure se indico con P il peso della frutta e con C il costo
al kilogrammo in euro, con:
S=PxC
si calcola quanti euro si dovranno spendere per acquistare
una certa quantità di frutta.
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Altri esempi di formule in cui le lettere rappresentano
dei numeri sono:
Perimetro di un rettangolo:
P = 2 x (a + b)
Dove a e b sono le lunghezze della base e dell’altezza
del rettangolo.
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Ora, stabilito che con una certa lettera si può indicare
una certa quantità (peso, area, perimetro ecc.), il passo
successivo consiste nel considerare come si possono
eseguire le quattro operazioni con le lettere.
Cioè, se ha senso sommare 2 con 3, ha un senso anche la
somma di a con a? E quale può essere il risultato?
Allo stesso modo se si sa calcolare 3 x 7, quale sarà il
risultato di b x b?
A queste domande risponde il Calcolo letterale.
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IL CALCOLO LETTERALE
Cominciamo con il considerare una grandezza
generica che indico con la prima lettera
dell’alfabeto:
a
Posso sommare a con sé stessa? Posso cioè
eseguire
a+a=?
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E quale sarà il risultato?
Immagino che con la lettera a si indichi un pallone da
calcio. Allora a + a indica la somma di due palloni, e
in tal caso tutti risponderanno che
un pallone + un pallone = due palloni.
+
= 2
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Ma allora, se si ricorda che a rappresenta un pallone, si
dovrà concludere che due palloni si scrive così:
2a
Dove tra il 2 e la a c’è il segno di prodotto.
Facile, no?
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Vediamo ancora: in questa stavolta vignetta un
ombrello viene indicato con la lettera b:
+
+
= 3
Cioè: b + b + b = 3b
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Proseguendo si avrà:
+
–
=
In simboli matematici:
b + b – b = b o anche: 2b – b = b
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E se si hanno oggetti diversi?
+
+
+
=
Quale sarà la loro somma?
E’ evidente che si possono sommare tra loro soltanto
oggetti uguali, perciò il risultato sarà:
2
+ 2
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Utilizzando le lettere di prima, a per il pallone e b per
l’ombrello, si avrà:
a + a + b + b = 2a + 2b
E se devo calcolare a + a – a – a –a = ?
È lo stesso che calcolare 2a – 3a = ?
Certamente!
Quindi 2a – 3a = – a
Così anche: a – 3a +4b – 2b = – 2a + 2b e pertanto si
può concludere che la somma tra lettere dello stesso
nome si esegue sommando i numeri scritti davanti ad
ognuna di esse. Si noti che a significa 1a e così b = 1b.
Si dice cioè che il numero 1 davanti alla lettera si
sottintende.
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Per applicare le cose dette si propongono alcuni
esercizi:
Calcolare:
2a + b - a + 2b = ?
2b – a +b + a – b = ?
3a + 2b – a – b = ?
c + b + a + 2a – a + 2c – c = ?
2c + 3b – 2a + c – 2b = ?
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Ora estendendo il simbolismo introdotto si può pensare
di sommare tra loro non solo singole lettere ma anche
gruppi di lettere, purché formati dalle stesse lettere,
così:
ab + ab = 2ab;
3ab – ab = 2ab; 4ad – ad + 2ad = 5ad
o ancora sommare gruppi di lettere dove una o più
lettere posseggono un esponente: a2, b3, ab2, a2b, ecc.
Non si dimentichi che a2 significa che la quantità
rappresentata dalla a è elevata alla seconda.
Da questo punto in poi tali lettere o gruppi di lettere
precedute da un numero, saranno chiamate:
Monomi
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I monomi
a
2
-5y
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Quindi 2a3b è un monomio e così altri monomi sono:
2ab, 3ac4, – 4a2, – 3a2b3, ecc.
Inoltre il numero davanti alle lettere prende il nome di
coefficiente del monomio.
Altri esempi di monomi con coefficienti frazionari sono:
5 ab2
3 ab3c 2
2 ab
6
4
3
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Quindi si è visto come si eseguono le somme di
monomi e come si può facilmente notare, per sommare
due monomi essi devono:
-avere le stesse lettere con gli stessi esponenti
-i coefficienti possono essere anche diversi tra loro
Monomi siffatti si chiamano ‘simili’
2
5
ab
2
2
Pertanto – ab , +5ab , e
6
sono simili tra loro in quanto la parte letterale è
sempre ab2.
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Dopo aver visto l’operazione di somma si esamina come
si può eseguire il prodotto e la divisione tra i monomi:
La regola è semplice: si moltiplicano tra loro i
coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere
uguali.
Esempio: (2a)(– 3a2b) = – 6a3b
(– 4a3b2c4)(– 3ab3) = +12a4b5c4
Ovviamente nel moltiplicare i coefficienti si deve
ricordare la regola dei segni per il prodotto:
+ per + dà +; + per – dà –;
– per – dà +; – per – dà +;
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Esercizi proposti:
(– 4a4b3c2)(– 5ab) =
(+ 4ab5c4)(– 2a4b2x4) =
(+ a2bc3)(+ 11ab2x2 y) =
(+ 7a2bc3)(– 3x2 yz4) =
(+ 2,5a)(– 3a5x2 yz4) (+ 7bc3) =
(+ 0,5ab2)(– 3a5x2 yz4) (+ 2bc3 xy2) =
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Se invece si devono dividere due monomi si procede in
tale modo: si dividono tra loro i coefficienti e si calcola
la differenza tra le lettere dello stesso nome.
Esempio:
(– 8a3b4c6) : (+2a2bc3) = – 4ab3c3
( + 15x4y2z) : (– 3x4yz) = – 5y
2 a6b5: 2
3
3
a5b = – ab4
(+ 2,5a)(– 3a5x2 yz4) (+ 7bc3) =
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Esercizi proposti:
(– 18a3b2c8) : (+2a3bc6) =
( + 15x5y5z7) : (– 5x4yz5) =
(– 8a3b4c6) : (–2a2bc3) =
( + 18x4y2z) : (+ 6x4yz) =
2 3 5
4 a4x5y7z9 : – 2 a x z
3
3
=
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Per eseguire la potenza di un monomio si moltiplica ogni
esponente delle lettere per l’esponente a cui si deve
elevare il monomio. Anche il coefficiente deve essere
elevato a potenza.
Esempio:
(– 3a2b4c5)3 = – 27a6b12c15
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Ritorniamo ai numeri
Consideriamo adesso un monomio qualunque:
– 4a2b3c
Esso presenta tre lettere: a, b, c, quindi posso
assegnare un numero ad ognuna delle lettere e
calcolare il valore del monomio. In pratica scelgo di
sostituire tali valori:
a = – 2; b = + 1; c = + 3.
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Con tali valori delle lettere il monomio avrà il valore:
– 4 (– 2)2 (+1)3 (+3) = – 48
Se cambio i valori assegnati alle lettere, otterrò per il
monomio un diverso valore.
Notare che non appena alle lettere si siano sostituiti dei
numeri, l’operazione di prodotto, che prima era solo
espressa tra lettere, consente di ottenere un valore
numerico per il monomio.
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Ora esercitiamoci e calcoliamo quanto varrà il
monomio:
– 4a2b3c
Se si assegnano alle lettere tali valori:
a = +2; b = +1; c = – 1;
e poi: a = 0; b = +1; c = – 1;
infine: a = +2; b = +1/ 2; c = – 1;
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FINE PRESENTAZIONE