Equazioni differenziali - introduzione
Pensiamo al seguente problema :
Non conoscendo y=f(x) sappiamo che la sua derivata soddisfa la
relazione: y’-2x=1
Vogliamo determinare la funzione incognita y=f(x)
• Isoliamo y’
y’=2x+1
• Integriamo ambo i membri
rispetto alla variabile x
 y' dx   (2x 1)dx
• La funzione cercata é
y=x2+x+c
20

15
N.B. Non si tratta di una funzione
ma di un’insieme di funzioni
che si ottengono al variare di c
10
y=x^2-x
y=x^2-x+1
y=x^2-x-1
y=x^2-x+2
5
0
-4
-2
0
-5
2
4
Equazioni differenziali - definizioni
La relazione iniziale y’-2x=1 viene detta equazione differenziale
L’incognita è la funzione y=f(x)
Definizione di equazione differenziale del primo ordine
Si chiama equazione differenziale del primo ordine un’equazione
del tipo F(x,y,y’)=0.
Ognuna delle funzioni y=f(x) che soddisfano tale equazione si
chiama soluzione integrale o integrale dell’equazione
F(x,y,y’)=0 è un’equazione differenziale, ma anche
y’=g(x,y) è un’equazione differenziale in forma normale o esplicita
N.B. La funzione y=2x-1 non è una equazione differenziale
perché manca y’
Equazioni differenziali - definizioni
Definizione di equazione differenziale del secondo ordine
Si chiama equazione differenziale del secondo ordine un’equazione
del tipo F(x,y,y’,y’’)=0.
Definizione di equazione differenziale di ordine n
Si chiama equazione differenziale di ordine n un’equazione del tipo
F(x,y,y’,y’’,…,y(n))=0.
Risolvere o integrare un’equazione differenziale di ordine n
significa ricercare tutte le funzioni incognite y=f(x) tali che
F(x,f(x),f’(x),…,f(n)(x))=0
Una equazione differenziale di ordine n è in forma normale se è
nella forma y(n))=F(x,y,y’,…, y(n-1))
Equazioni differenziali - definizioni
Si chiama integrale generale di una equazione differenziale,
l’insieme di tutte le funzioni che sono integrali dell’equazione.
Questo integrale generale è costituito dalla famiglia di funzioni
y=f(x,c)
La soluzione che si ottiene sostituendo a c un valore numerico
ammissibile è detta integrale particolare
Nell’esempio iniziale l’equazione differenziale y’-2x=1
ha come integrale generale y=x2+x+c
e come integrale particolare y=x2+x+1
Equazioni differenziali - Problema di Cauchy
Il problema della determinazione di un integrale particolare di
un’equazione differenziale del primo ordine passante per un punto
(x0,y0) è detto
Problema di Cauchy
F(x, y, y' )  0

y0  f (x0 )
La condizione y0=f(x0) è detta condizione iniziale del problema
di Cauchy
Il teorema di Cauchy fornisce condizioni per l’esistenza e
l’unicità di soluzioni nel caso in cui l’equazione differenziale
sia espressa in forma normale
Equazioni differenziali - Teorema di Cauchy
Teorema di Cauchy
Sia data l’equazione differenziale del primo ordine in forma normale
y’=F(x,y)
e sia F(x,y) una funzione continua in un insieme AR2 dotata di
derivata parziale rispetto a y , anch’essa continua in A.
Allora per ogni punto (x0,y0)  A esiste una e una sola soluzione
y=f(x) tale che y0=f(x0)
Equazioni differenziali - Esempio
Dal punto di vista geometrico significa che per ogni punto (x0,y0) del
dominio passa una e una sola curva la cui equazione è soluzione
dell’equazione differenziale
20
Tornando all’esempio
il problema di Cauchy
15
10
y=x^2-x
y=x^2-x+1
y=x^2-x-1
y=x^2-x+2
5
0
-4
-2
0
-5
2
4
y' 2x  1  0

1  f (0)
ha un’ unica soluzione
y=x2+x+1
Equazioni differenziali y’=F(x)
Un’equazione differenziale del primo ordine riducibile al tipo
y’=F(x)
si risolve nel seguente modo :
• si isola la y’
• si integrano ambo i membri rispetto ad x
• si determinano le funzioni primitive
y' 2x  1  0
Es : Risolvere il problema di Cauchy 1  f (0)

 y' dy  (2x  1)dx
y'  2x  1




1  f (0)
1  f (0)
y  x 2  x  c

1  f (0)
1  02  0  c

1  f (0)
y  x2  x  1
Equazioni differenziali del 1° ordine
a Variabili Separabili
Una equazione differenziali del 1° ordine è detta a variabili
separabili se può essere scritta nella forma y’=g(x)•h(y) con
g(x) e h(y) funzioni continue e h(y)0
Soluzione :
• Si sostituisce a y’ dy/dx
dy
 g(x) h(y)
dx
• Si separano le variabili in modo da avere dy  g(x)  dx
al primo membro la y e al secondo la x
h(y)
• Si integrano ambo i membri
• Si trovano le primitive e si ricava la y
in funxione di x
dy
 h(y)   g(x) dx
H(y)  G(x)  c
Equazioni differenziali del 1° ordine
a Variabili Separabili
Esempio : yy’=3
dy
y 3
dx
ydy  3dx
 ydy   3dx
y2
 3x  c
2
y 2  6x  c
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
y'  a(x)y  b(x)
1° Caso :
Con a(x) e b(x) funzioni continue
in un opportuno intervallo
y'  a(x)y Equazione differenziale omogenea
dy
È a variabili separabili quindi si pone y' 
dx
dy
dy
 a(x)y
 a(x)dx
Per y0
dx
y
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Detta A(x) una qualsiasi primitiva di a(x) e c una
costante arbitraria, si ottiene
log y  A(x)  c
y  e
A (x )c
y  e e
c A(x )
y  ke A(x )
Quindi da
y'  a(x)y
con kR
si ha
y  ke
A(x )
con kR
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio : y’=4xy
dy
 4xy
dx

dy
  4xdx
y
y  e
2x 2 c
dy
 4xdx
y
log y  2x2  c
2x 2
y  ke
con kR
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio : y’=4xy
Ricordando che la soluzione è
y  ke A(x )
con kR, e dove A(x) una qualsiasi primitiva di a(x)
2x 2
y  ke
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
2° Caso:
y'  a(x)y  b(x)
Si usa il metodo di Lagrange o metodo della variazione della
costante arbitraria
• Si risolve l’equazione omogenea associata e si ottiene
y  ke
A(x )
con kR
• si sostituisce nell’espressione precedente la costante k con una
funzione incognita k(x) da determinarsi in modo che l’equazione
y  k(x)e
A( x )
sia soluzione della equazione differenziale di partenza
Deriviamo quindi y
y'  k' (x)e A(x )  k(x)a(x)e A(x )
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
y'  k' (x)e
A(x )
 a(x)y
• Si sostituiscono nella equazione differenziale di partenza la y e
la y’ trovate
k' (x)e  a(x)y  a(x)y  b(x)
A( x )
 A( x )
k' (x)e
 b(x)
k' (x)  b(x)e
A( x )
k(x)   b(x)e
 A (x )
dx
Quindi si ha dalla y  k(x)e
Quindi dalla
Si ha y  e
A( x )
y'  a(x)y  b(x)
A (x )
 b(x)e
 A (x )
dx
ye
A (x )
 b(x)e
 A (x )
dx
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio: y’=-xy+x
Applicando direttamente la formula risolutiva si ha :
ye
A (x )
 b(x)e
 A (x )
dx
x2
A(x)    xdx  
2
ye
ye
x2

2
x2

2
 xe
(e
x2
2
x2
2
dx
 c) 1  ce
x2

2
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
Esempio: y’=2xy-2x3
Considero l’omogenea associata y’=2xy la cui soluzione è
x2
y  ke
y  k(x)e
x2
y'  k' (x)e
x2
 k(x)2xe
y'  k' (x)e
x2
 2xy
x2
x2
k' (x)e  2xy  2xy  2x
k' (x)e
x2
 2x
3
3  x2
k' (x)  2x e
3
Equazioni differenziali lineari del 1° ordine
k(x)   2x e
3 x2
dx
Si risolve l’integrale per parti
(ricordare che d(e
x2
k(x)   2x e
3  x2
e
ye
 x2
x2
x e
2
 2x e
 x2
3 x2
) e
 x2
 x2
 (2x)  2xe )
dx   2xe
x2
2xdx  e
x2
dx  e (e
x dx 
2
x2
 x2
x e
c
x 2
x2
x e
 c)  x  1  ce
2
2
2
x2