Ottava Lezione
Magnetismo
Riassunto della lezione precedente





Soluzione eq di Poisson per differenze finite
La corrente elettrica
Legge di Ohm
Campo Magnetico e Forza di Lorentz
Effetto Hall
Considerazioni

Non sono mai stati trovate evidenze di monopoli
magnetici
S
N
S
N
S N
S N
SI
NO

Il campo magnetico non compie lavoro: non può
cambiare l’energia cinetica
Linee di Campo



Luogo dei punti cui B è tangente
Non esistono monopoli: le linee di campo
magnetico sono sempre linee chiuse
Il polo magnetico da cui emergono le linee di campo è
detto polo nord, l’altro polo sud. Poli magnetici opposti
si attraggono, poli magnetici simili si respingono.
Effetti della forza di Lorentz


Immettiamo una particella carica in un campo magnetico
uniforme, ortogonale alla direzione del moto (esce dal foglio)
La forza prodotta dal campo magnetico non compie lavoro: è
una forza centripeta e la particella ruota

v
B

F


Effetti della forza di Lorentz: campo
magnetico uniforme ortogonale al moto

Utilizzando la legge di Newton per un moto circolare uniforme
v2
F m
 qvB
R



Per cui il periodo T
v
Rm
(m)
qB
2R 2m
T

v
qB
Senza effetti relativistici (v<<c) T non dipende dalla velocità,
ma solo dal rapporto massa/carica
Particelle più veloci ovviamente percorrono circonferenze più
ampie
Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico
uniforme, non ortogonale al moto

Se la velocità ha componente non nulla nella direzione di B,
percorso elicoidale

La componente della velocità parallela
all’induzione da il passo dell’elica, quella
ortogonale raggio e periodo.

Raggio e periodo si calcolano
considerando solo la componente
ortogonale
Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non
uniforme, non ortogonale al moto


Se il campo magnetico B non è omogeneo, la particella sarà
soggetta ad un moto a spirale con raggio ( e velocità di
rotazione) variabile
Se alle estremità B è molto intenso e ha una componente
radiale, può riflettere la particella; se questo avviene alle due
estremità si ha la “bottiglia magnetica”
Effetti della forza di Lorentz: campo magnetico non uniforme, non
ortogonale al moto; Bottiglia magnetica

infatti




v  vr u r  v u  v z u z


B  Br u r  Bz u z
 





v  B  (vr u r  v u  vz u z )  ( Br u r  Bz u z ) 
 v Bz u r  v Br u z  vr Bz u  v z Br u

cioè
Fr  qv Bz
F  qvr Bz  qvz Br
Fz  qv Br

Bz
z
Dopo una riflessione, invertendosi
il senso del moto, si inverte la
direzione di rotazione, e quindi la
direzione di Fz
Br
Aurore Boreali




Urtandoli, eccitano gli atomi
dell’atmosfera: colori diversi
prodotti da emissione
spontanea degli atomi di diverse
sostanze (O, N ecc)
Il campo magnetico terrestre,
addensandosi ai poli, agisce da
“bottiglia magnetica”
Tale bottiglia cattura elettroni e
protoni del vento solare
forzandoli ad andare avanti e
indietro: fasce di Van Allen o
magnetosfera
Il “collo” (anzi i colli)
della bottiglia è
sopra i poli: le
cariche si
addensano e
penetrano di più
nell’atmosfera
Tempeste magnetiche
11 Gennaio 1997:
calcolati 1400
Gigawatt di
energia dissipata
nelle aurore
boreali…..Blackout nei sistemi di
comunicazione e
guasti reti
distribuzione
elettrica
Courtesy of
(C) Pittsburgh Supercomputing Center (PSC)
http://www.psc.edu/science/Goodrich/goodrich.html
Camera a bolle
Un raggio gamma urta un atomo di
idrogeno che perde un elettrone; il
raggio gamma si trasforma in una
coppia elettrone positrone; le
traiettorie spiraliformi sono dovute
alla presenza di un campo
magnetico uniforme
Scoperta dell’elettrone


L=lunghezza dei piatti
v=velocità della particella
m=massa della particella
E=campo elettrico
q=carica della particella

J.J. Thomson, 1897
Un fascio di elettroni viene prodotto da un filamento
incandescente. Ed accelerato da un campo elettrico
Attraversa un condensatore a piatti piani dove
subisce una deflessione: moto uniformemente
accelerato, la deflessione è:
1 2 1 F 2 1 qE 2 1 qE  L 
t 
t 
 
y  at 
2m
2 m
2 m v
2
2
Scoperta dell’elettrone
Si sovrappone un campo magnetico e se ne regola l’intensità
fino a bilanciare la forza elettrica

Quando ciò avviene q E = q v B. In questo modo si ottiene
v=E/B

Eliminando la velocità si ha il rapporto massa/carica in funzione
della deflessione del fascio
2 2

m B L

q 2yE
"I can see no escape from the conclusion that [cathode rays] are charges of negative
electricity carried by particles of matter[...] What are these particles? are they atoms,
or molecules, or matter in a still finer state of subdivision?” [J.J Thomson]


La misura del rapporto, più di 1000 volte più piccolo di
atomo di idrogeno carico, comportava o una massa molto
più piccola di qualsiasi atomo o una carica molto più grande
La misura di q per di Millikan chiarì che si trattava di una
parte dell’atomo
Le Forze su un tratto di filo
dl
A
Un elemento di corrente in un campo magnetico subisce una
forza dovuta alla forza di Lorentz sulle singole cariche

 
dF  qndV v  B
Dati due elementi di corrente, ciascuno subisce l’effetto del
campo dell’altro; poniamo A la sezione dell’elemento di corrente
e ricordiamo che qnv era
J:
 la densitàdi corrente

 


 
dF1  qnvAdl1  B 2  JAdl1  B 2  I1 d l1  B 2
dF2  I 2 d l2  B1
In generale, se si hanno due fili percorsi da corrente:
F1 
F

I
d
l

B
2
1
2

filo1
I
d
l

B
2
1

filo2
Le Forze su un tratto di filo
Consideriamo il caso di un filo rettilineo immerso in un campo
magnetico uniforme
FI lB
Se B perpendicolare al filo:
F  IlB
Momento di torsione su una spira




Consideriamo una spira in un campo magnetico uniforme
Lati 1 e 3 perpendicolari al campo; Lati 2 e 4 no
I lati 2 e 4 subiscono forze uguali (F2 ed F4) e contrarie di
modulo ibBsin(90°-q)=ibBcos(q) sulla stessa retta: equilibrio
I lati 1 e 3 subiscono forze uguali e contrarie di modulo iaB su
rette diverse: coppia
Momento di torsione su una spira

Il momento meccanico vale

Definiamo momento magnetico della spira e A=ab

Il momento torcente diviene
  Fbsin   IaBbsin 


μ  IAn
  
τ  μB
Formula di Laplace
Una corrente di cariche produce un campo magnetico: calcoliamolo
Sia n la densità per unità di volume di cariche, dV
l’elemento di volume percorso dalle cariche
Ricordando che B dovuto ad una carica q in
 0 q  
dl
movimento:
B
vu
2
4r
A
Quindi il contributo di un elemento di corrente
dB
che contiene n dV cariche è
P u
  0 dV  
  0 ndV q  
 
 dB 
Ju
dB 
v  u qnv  J
2
2
4 r
4 r
 0 I  



dl u
JdV  JAdl  Id l  dB 
2
4 r

 0 I   Campo magnetico prodotto da
B
d l  u una corrente filiforme
2
4 r
Legge di Biot-Savart
Caso particolare della formula di Laplace per conduttore
rettilineo: in questo caso il campo magnetico giace sul piano
 I
dB  0 2 dl sin(  )
R  r sin(    )  r sin(  )
ora
4 r
2
R
2
Inoltre
Da cui r 
2
sin ( )

1 

l  R cot(   )   R cot( )  dl   R  sin( ) 2 d


Sostituendo
dl ed r2
0 IRd 
3
 dB 
sin(

)
4 R 2 sin(  ) 2

dl
r
l
dB
P
R
0 I 
B
d sin(  )

4 R 0
0 I

2R
I
Forza tra due fili rettilinei percorsi da
corrente
Usiamo la legge di BS

per il campo di induzione
magnetica dei fili rettilinei
z
I2
I1
y
d
x
 l2 / 2
F2  I 2  dl 2  B1
l2 / 2
dove
0
B1 
I1u y
2d
Forza tra due fili rettilinei percorsi da corrente
 l2 / 2
 l2 / 2
l 2 / 2
l2 / 2
 dl 2  B1  B1u z  u y  dl2   B1l2u x
cioè
0
F2  
I1 I 2 l 2 u x
2d
0
F1 
I1 I 2 l1 u x
2d
Legge di Ampère
Calcoliamo la circuitazione di B lungo un
arbitrario percorso chiuso intorno ad una
corrente filiforme
   I
0
B

d
l

dl '


 
dl'  d l  u
dq
r
2r
dl’ proiezione di dl sul versore lungo la circonferenza
passante per il punto a distanza r
0 I
dl '  rd   2r rd  0 I
 
 B  d l  0 I
Considerazioni
B è “solenoidale”: le linee di campo si chiudono sempre su
sé stesse (inesistenza monopoli magnetici)
Inesistenza cariche magnetiche+ teorema di Gauss:
 
 B  nds  0 Forma integrale
S

B  0
Differenziale
Un operatore differenziale per la
circuitazione: il rotore
Applichiamo il Th di Ampère ad una spira infinitesima, nel
piano XY
B2
 
y
 B  d l  By dy  By ' dy  B2 x dx  B1x dx
D -dx C
B
 B y  B y 'dy  B2 x  B1x dx
dy
B‘ -dy
By
Bx

dxdy 
dxdy  0 I  0 J z dxdy
I
A
dx
B
x
y
x
Scegliendo sup. elementari parallele ad YZ
z
B1
ed XZ, analogamente:
Bz By

 0 J x
y
z
Bx Bz

 0 J y
z
x
Un operatore differenziale per la circuitazione: il rotore
Diremo che il vettore J è dato dal rotore(B):
  Bz By    Bx Bz    By Bx  
Curl B  


uy  

u x  
u z

z 
x 
y 
 z
 y
 x

Corrisponde al prodotto vettoriale dell’operatore “del”
 e del campo B
E’ una sorta di “densità di



u x u y u z  circuitazione”, ma ha come

 

Curl B    B    x  y  z  risultato un vettore, ortogonale
 Bx B y Bz  alla superficie elementare su cui


si calcola la circuitazione!


Th di Ampère in forma differenziale
  B  0 J
