OTTAVIO SERRA
Leggi lineari in
fisica
Cosenza 2012
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« La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico
l'universo), ma non si può intendere se prima non
s'impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne'
quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i
caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche,
senza i quali mezzi è impossibile a intenderne
umanamente parola; senza questi è un aggirarsi
vanamente per un oscuro laberinto. »
(Galileo Galilei, Il Saggiatore, Cap. VI)
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In piccolo tutte le curve
(buone) sono diritte
e tutte le superfici (buone)
sono piatte!!!
Che significa? Ne parleremo
dopo.
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Allungamento di una molla
Legge di Hooke dell’allungamento elastico.
P  k.l
ΔP è la forza esterna che provoca
l’allungamento (o la
compressione), forza peso,
muscolare, elettrica …, Δl
l’allungamento, cioè la variazione
di lunghezza l – l0.
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Man mano che la molla si
allunga, reagisce con una forza
(elastica) di richiamo sempre
più forte che alla fine equilibra
ΔP: F = - ΔP. Se chiamo x
l’allungamento della molla,
avremo
ΔP = k.x ed F = -kx.
Vediamo degli esempi.
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La prima molla si è allungata di più perché
il peso che la stira è maggiore (Le due
molle sono identiche).
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7
Esempio numerico
N.B. x è l’allungamentoΔl
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A occhio, quale grafico si
riferisce alla prima molla?
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I grafici sono lineari (nei limiti degli errori di misura). Calcolare
il valore medio della costante elastica (in N/cm) e lo scarto
quadratico medio σ per ciascuna molla . Formule:
k1  k2  ...  kn
k 
n
(k1  k )  (k2  k )  ...  (kn  k )

n
(radice quadrata del valor medio dei quadrati degli scarti!!!). Però!!!
2
2
2
Perché non si può usare lo scarto medio?
Perché almeno non si usa lo scarto assoluto medio?
I valori di k per la prima molla sono 0,192; 0,192;
0,195; 0,198; 0,198.
Verificare che per la prima molla si ha k  0,195 N
/ cm
e σ =0,003 N/cm
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“Nota tecnica: il valor medio degli scarti è
sempre zero (provare!) e perciò non serve.
Il valore assoluto è una funzione non buona” (è
appuntita, “non derivabile” dicono i matematici) e
perciò poco maneggevole; il quadrato è invece
una funzione “buona” e maneggevole.
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Anche la dilatazione termica di un filo metallico è
lineare, cioè l’allungamento è proporzionale alla
(prima potenza della) variazione di temperatura
(temperatura finale meno temperatura iniziale).
E Newton aveva trovato che il calore irradiato da
un corpo è proporzionale alla differenza di
temperatura tra il corpo e l’ambiente. Anche la
corrente elettrica in un filo conduttore è
proporzionale alla tensione applicata ai suoi
estremi!
Possibile che tutte le leggi relative al
comportamento della materia siano lineari, leggi di
proporzionalità? Non
può essere vero!
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Supponiamo di avere una molla d’acciaio lunga, a riposo, 20 cm e
che la sua costante elastica sia k=10 N/cm (la molla si allunga di 1
cm se la forza applicata è circa un chilo). Se applichiamo 2 chili, la
molla si allunga di 2 cm e con 5 chili l’allungamento è di circa 5 cm.
Ma con 1000 chili la molla si allungherà di 1000
cm, cioè di 10 metri? E’
pazzesco, la
molla molto prima si deformerà
permanentemente, perderà le sue
caratteristiche elastiche, si
snerverà e finirà con lo
spezzarsi.
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Analogamente, un filo di ferro riscaldato si allunga in
modo proporzionale all’aumento di temperatura, se
tale aumento non è molto grande, perché
altrimenti prima si rammollisce e poi fonde. Addio
proporzionalità!
E la corrente elettrica, al crescere della tensione
applicata, aumenterà sempre più lentamente (la
resistenza elettrica del filo aumenta con la
temperatura), il filo si scalda sempre di più e finisce
con lo spezzarsi nel punto dove raggiunge prima la
temperatura di fusione.
Ma allora, perché in piccolo, per piccole sollecitazioni,
la risposta è lineare?
Vediamo il grafico seguente.
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Il grafico in blu potrebbe rappresentare
l’allungamento di una molla (in ordinata) in
funzione del peso (in ascissa). In rosso la tangente.
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La curva nell’intorno del punto di ascissa 1 è ben approssimata
dalla tangente. In piccolo tutte le curve (buone) sono diritte, ogni
funzione (regolare) è approssimata, in un piccolo intervallo della
variabile indipendente, da una funzione lineare (di primo grado). E
siccome la retta è la più semplice delle curve, ecco spiegato perché
i fisici prediligono le leggi lineari (di primo grado).
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Anche una superficie (Buona!) nell’intorno di un
suo punto è approssimata dal piano tangente,
tanto meglio quanto più piccolo è quell’intorno.
Per questo motivo la superficie della Terra, per
millenni, è stata considerata piatta.
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E le leggi del moto?
Tutti conoscono la legge del
moto (rettilineo) uniforme:
s=v.t
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Ma un grave cade con moto (rettilineo) uniforme?
Per Aristotele, sì: “Un grave cade con velocità costante, tanto maggiore
quanto maggiore è il peso”.
Ci volle Galilei per capire che i gravi cadono con moto uniformemente
accelerato. E’ Lui che introduce il concetto di accelerazione; nel caso dei
gravi v=g.t e lo spazio di caduta è
1 2
s  gt
2
Il moto è “parabolico”.
L’accelerazione di gravità è
g=9,8
m
2
s
E nel disegno a
fianco quanto vale
l’accelerazione?
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Ma come mai Aristotele, che era un grande genio, fece un un
simile errore? Aristotele era un buon osservatore, ma era
convinto che i fenomeni andassero studiati “al naturale”, senza
disturbarli. Inoltre senza strumenti è molto difficile notare
l’aumento di velocità al passare del tempo, specialmente in un
intervallo di tempo “piccolo”. E’ la solita storia: in piccolo tutte
le curve sono diritte.
Per esempio, nell’intervallo tra 1s e 2s
l’andamento parabolico differisce ben poco
dall’andamento lineare, per cui sembra che lo
spazio percorso sia proporzionale al tempo,
cioè che la velocità sia costante. E Galilei?
Usa il piano inclinato per rallentare in modo
noto l’accelerazione, e misura il tempo col
metronomo (Era musicista e figlio di
musicista). Con lui nasce il “metodo
sperimentale”.
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La lineartà piace tanto che la imponiamo anche
quando il fenomeno è chiaramente non lineare. Si
vedano le due figure seguenti:
1 2
s  gt
2
1
s  g *u
2
{u  t }
2
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Tutti sanno che una data massa di gas, a
temperatura costante, esercita sulle
pareti del recipiente una pressione
inversamente proporzionale al volume, il
graficoo è un ramo di iperbole, ma se
usiamo la densità al posto del volume, il
grafico è rettilineo e l’uomo lo legge
meglio.
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In un gas (perfetto), a tempertura costante, la
pressione è inversamente proporzionale al volume.
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Ma se esprimiamo la pressione in funzione della densità, che
è inversamente proporzionale al volume, il grafico è rettilineo
e la lettura è più agevole.
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Però la semplice legge p=k/V, oppure p=h*d, va
bene solo per alte temperature e grande volume o
per piccole variazioni di volume. Ecc0 come varia
p con V a varie temperature (per il biossido di
carbonio CO2)
La legge semplice va
bene solo se il gas è
caldo e rarefatto.
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