Principi fisici di conversione avanzata
(Energetica L.S.)
G.Mazzitelli
ENEA
Terza Lezione
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Struttura dell’atomo
2
Le origini
• L’osservazione della luce proveniente dal sole mostrò che lo
spettro continuo era interrotto da linee nere alcune più forti
altre più deboli (~1800).
• Nel 1882 iniziò l’era della spettroscopia quando Rowland
realizzò il primo reticolo che permetteva di esaminare con cura
lo spettro emesso dal sole e misurare accuratamente la
lunghezza d’onda
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Le origini
Nel 1885 Balmer scoprì la legge della serie dell’idrogeno
4
Le origini
Balmer dimostrò che entro gli errori sperimentali,
ogni linea della serie è data dalla semplice relazione
n 22
c 2
2
n 2  n1
Dove
C=3645.6 Å e n1 e n2 sono numeri interi piccoli
Il miglior accordo si trova per n1=2 e n2=3,4,5,6…..
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Le origini
Generalizzazione della formula da Rydberg
R
n   
(n  ) 2
R  109721.6 cm 1
n  2,3,4,5,......
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Le origini
R
(n  P ) 2
R
 dn   d 
(n  D) 2
R
 fn   f 
(n  F ) 2
 pn   p 
n  1,2,3,......
n  2,3,4......
n  3,4,5......
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L’atomo di Bohr
Bohr adottò la teoria di Rutherford che un atomo
consiste di un nucleo carico positivamente
circondato da una nuvola di elettroni in egual
numero alle cariche positive del nucleo
Nel caso più semplice
dell’atomo di idrogeno
abbiamo un protone nel
nucleo e un elettrone
che orbita intorno
e
a
m
v
+E
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L’atomo di Bohr
• Prima assunzione di Bohr:
L’elettrone si muove in una orbita circolare sotto
l’azione di un campo di forze coulombiano.
La forza di attrazione tra l’elettrone e il nucleo
di carica +Ze (Z=1 per H) sarà:
2
1 q1q 2
1 e
F

4 0 r 2
4 0 r 2
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L’atomo di Bohr
Questa forza è uguale alla forza centripeta mv2/a.
Per la condizione d’equilibrio avremo:
2
1 e
mv

2
4 0 r
r
2
2
1 e
 v 
4 0 mr
2
L’energia cinetica dell’elettrone è:
2
1
1
e
T  mv 2 
2
8 0 r
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L’atomo di Bohr
L’energia potenziale per il sistema elettrone nucleo è:
1 e2
U
4 0 r
L’energia totale (cinetica+potenziale) sarà:
1 e2
1 e2
1 e2
E  TU 


8 0 r 4 0 r
8 0 r
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L’atomo di Bohr
In fisica classica un elettrone accelerato, come
quello orbitante, deve continuamente emettere
energia elettromagnetica. Emettendo energia, la
sua energia totale diminuisce e l’elettrone
spiralizzando dovrebbe cadere nel nucleo.
Bohr fece una audace e netta assunzione. Egli
propose che vi fossero certi stati speciali del moto,
chiamati stati stazionari, in cui l’elettrone poteva
esistere senza irraggiare energia.
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L’atomo di Bohr
• Seconda assunzione di Bohr per l’atomo di
idrogeno :
In questi stati il momento angolare orbitale L
dell’elettrone è uguale ad un numero intero di
volte la costante di Planck 
In una orbita circolare , il momento angolare è L=
r x p che è uguale a L=mvr poiché r è sempre
perpendicolare a p
mvr  n
dove n è un intero n=1,2,3,4……
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L’atomo di Bohr
2
2
1
1
n

1
e


2
mv  m
 
2
2  mr 
8 0 r
da cui :
rn 
4 0  2
2
n  a 0n
2
2
me
dove il raggio di Bohr a 0
a0 
4 0 
me 2
2
 0.0529 nm
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L’atomo di Bohr
Anche l’energia dell’elettrone è quantizzata è può prendere solo
certi valori .
En  
me 4
1
32  2  02  2 n 2

 13 .6eV
n2
L’elettrone, contrariamente a quanto previsto dalla
elettrodinamica classica, non irradia nel suo moto ma
conserva la sua energia.
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L’atomo di Bohr
h
n=n2
n=n1
n=∞
n=4
n=3
E∞=0
E4=-0.8eV
E3=-1.5eV
n=2
E2=-3.4eV
Serie di Balmer
Nel
livello
più
basso
corrispondente
a
n=1
l’elettrone ha E=-13.6 eV e la
sua orbita ha un raggio di
0.0529nm
Serie di Lyman
n=1
E1=-13.6eV
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L’atomo di Bohr
Terza assunzione di Bohr per l’atomo di idrogeno : la frequenza
di una linea spettrale è proporzionale alla differenza tra due livelli
energetici, cioè
h  E 2  E1 
Dove gli indici 1e 2 indicano lo stato iniziale e quello finale. Se
esplicitiamo l’energia abbiamo:

Rydberg
costant
me 4
64  3 02  3
dove
 1
1

 2
2
n
n2
 1

1


c





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I limiti del Modello di Bohr
Il calcolo esatto delle lunghezza d’onda dell’atomo di
idrogeno è il frutto di due errori intrinseci nel modello di
Bohr che si compensano:
- Il nucleo è assunto immobile e di massa zero mentre
invece ruota (come l’elettrone) intorno al centro di massa
del sistema nucleo + elettrone. La costante di Rydberg
deve essere corretta per un fattore pari 1/(1+m/M)
ovverosia  cresce di 1.00055.
- Il secondo errore è nell’espressione per calcolare  c=
che è valida solo nel vuoto. Il calcolo usando la velocità
della luce in aria diminuisce  di 1.00029
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I limiti del Modello di Bohr
Il modello di Bohr è valido solo per l’idrogeno e non è in
grado di riprodurre le lunghezze d’onda già dell’elio
perché non tiene conto dell’interazione dei due
elettroni.Inoltre non è in grado di valutare l’intensità della
riga emessa.
Un serio difetto è che predice in modo incorretto il
momento angolare dell’elettrone. Il modello di Bohr
predice L=  mentre sperimentalmente si trova L=0
Ma un motivo molto più serio è che il modello viola il
principio d’indeterminazione DxDpr≥ 
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L’equazione di Schrödinger
Senza entrare nei dettagli matematici l’eq.di
Schrödinger
permette
di
calcolare
precisamente i livelli di tutti gli atomi e non
solo
dell’idrogeno.
Ovviamente
la
descrizione quantistica dà la probabilità di
trovare l’elettrone su una certa orbita.
Permette di calcolare con precisione
l’intensità della riga emessa e le regole di
selezione.
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