Lezione 4
Dinamica del punto
Argomenti della lezione
• Classificazione delle forze
• Forza peso
• Forza di attrito radente (statico e dinamico)
• Piano inclinato
• Forza elastica
• Forza di attrito viscoso
• Forze centripete
Classificazione delle forze
Le interazioni in natura sono dovute a pochi tipi di
interazione principali:

L’interazione gravitazionale

L’interazione elettromagnetica

L’interazione nucleare debole

L’interazione nucleare forte
Ponendo uguale a 1 l’interazione
forte presente fra due protoni a
contatto superficiale allora le
altre interazioni hanno rispetto a
questa le seguenti proporzioni:
L’interazione gravitazionale
10-38
L’interazione elettromagnetica
10—2
L’interazione nucleare debole
10-7
L’interazione nucleare forte
1
Forza peso
Evidenza sperimentale: un corpo che cade qualunque sia
la sua massa inerziale subisce una accelerazione detta di
gravità con modulo che in media vale g=9.81 m/s2
Utilizzando la seconda legge di Newton
F  ma
 P  ma  mg
1 Kgpeso = forza peso di un chilogrammo massa = 1 Kg*9.8 m/s2
1 Kgpeso = 9.8 N
1 N  1 hgpeso
Forze di attrito
Attrito radente statico
Quando un corpo scivola o scorre su di una superficie scabra oppure,
quando si muove all'interno di un fluido, come l'aria o l'acqua, si verifica
una resistenza al suo spostamento dovuta proprio alle forze di attrito.
N
F
Fattrito
mg
Consideriamo il semplice esempio di
un blocco poggiato su di un piano
orizzontale a cui viene applicata una
forza parallela al piano, si nota che il
blocco rimane fermo nel caso in cui la
forza applicata non sia sufficientemente
elevata.
Ciò in base al primo principio della
dinamica, permette di dedurre che
insorge una interazione d'attrito fra
piano e corpo, la quale è uguale ed
opposta alla forza che tenderebbe a far
traslare il corpo.
Forze di attrito
Attrito radente statico
L'intensità della forza d'attrito statico non è nota a priori: essa è esattamente quella
sufficiente a bilanciare (annullandone gli effetti) tutte le altre eventuali forze agenti
sul blocco in direzione parallela alle superfici a contatto.
Se immaginiamo di aumentare progressivamente F, anche la forza di attrito statico
aumenterà, e quando il blocco è sul punto di scorrere la forza di attrito statica avrà
raggiunto il suo massimo valore possibile.
Riassumendo, la forza di attrito statico fra due superfici è sempre opposta alla
componente parallela alla superficie della risultante delle altre forze applicate, ed
essa può assumere valori compresi fra zero e µsN.
Il coefficiente µs è detto coefficiente d'attrito statico, ed il suo valore dipende dalla
natura delle superfici in contatto, mentre N rappresenta la reazione vincolare fra le
due superfici. Per esempio, nel caso considerato sopra N è uguale ed opposta alla
forza peso mg.
Se la forza d'attrito diventa maggiore di µsN le superfici iniziano a scorrere e si
parla quindi di attrito dinamico.
Forze di attrito
Attrito radente statico
Esempio.
Una cassa di legno di massa M=6kg è posta su un piano inclinato di
30° rispetto all'orizzontale. Tenendo conto del fatto che la cassa sta
ferma e considerando tutte le forze agenti sulla cassa calcolare:
N
a. la forza risultante agente sulla
cassa;
b. la reazione normale "N" del
piano nei confronti della cassa;
Fattrito
c. la forza d'attrito statico ;
P
d. il valore minimo del
coefficiente d'attrito statico "ms".
Forze di attrito
Attrito radente statico
Scegliamo due assi cartesiani di riferimento e scomponiamo la forza peso in
due componenti
P=mg =10kg x 9.8m/s2=98 N
y
Px=98sin30°
Px
x
Py
Py=98cos30°
N-Py = Ma
considerando che
l'accelerazione è nulla
P
N-Py=0
N=Py=98cos30°N
Forze di attrito
Attrito radente statico
y
N
x
Fattrito
Px
Analogamente al punto precedente, la
forza d'attrito si calcola facendo la
somma delle forze dirette lungo l'asse x
e ponendola = 0 considerando che
l'accelerazione è nulla.
Px-A=0, Fattrito=Px=98sin30°N
Py
Fs<msN
ms ?
P
 98sin30°<ms98cos30° 
Valore minimo di ms affinché la cassa resti ferma è
98tang30°
ms>98tang30°
Forze di attrito
Attrito radente dinamico
Generalmente l'attrito è una forza che si esercita al contatto tra corpi.
Le forze agenti tra due superfici in moto relativo sono dette forze di attrito
dinamico. La forza di attrito dinamico tra due superfici scabre e non
lubrificate segue le seguenti leggi empiriche.
1) Entro grandi limiti è approssimativamente indipendente dalle superfici a
contatto e
2) é proporzionale alla forza normale (cioè alla forza con cui le due
superfici interagiscono in direzione perpendicolare ad esse e che ne
impedisce la compenetrazione).
La forza di attrito dinamico è anche praticamente indipendente dalla
velocità relativa tra le due superfici di contatto.
Forze di attrito
Attrito radente dinamico
Il rapporto tra il modulo della forza di attrito dinamico e quello della forza
normale è chiamato coefficiente di attrito dinamico. Se Fd rappresenta il
modulo della forza di attrito dinamico, allora Fd = md N dove md è il
coefficiente di attrito dinamico.
Questo coefficiente dipende dalla natura delle superfici di contatto.
Riassumendo
Fs = ms N
Fd = md N
con md < ms
Piano inclinato
N
Px
Py
Per
P
tan   m s
mg sen  m d mg cos  ma
a  sen  m d cos 
P  N  ma
mg cos  N  0


mg sen  ma

 N  mg cos


a  g sen

Se è presente attrito
mg sen  m s N  m s mg cos
tan   m s
Condizione di equilibrio statico
N.B. Se
m d  tan  a  0
Forza elastica
Gli oggetti che principalmente danno origine a forze elastiche sono le
molle. Esse hanno come caratteristica una lunghezza a riposo x0, vale a
dire la lunghezza della molla quando la risultante delle forze applicate
su di essa è nulla, e k, detta costante elastica della molla. Si osserva
sperimentalmente che l'allungamento (o la compressione) di una molla
è proporzionale alla forza applicata:
legge di Hooke,
F = -kDx
dove Dx=(x-x0) è l'entità della deformazione della molla.
Tale legge vale solamente se la deformazione avviene entro un certo
limite: superato esso la molla perde la propria elasticità.
Si nota che la forza ha segno negativo poiché è sempre opposta allo
spostamento.
Forza elastica
La forza che la molla esercita è diretta come la deformazione, quindi la
legge di Hooke si può scrivere anche in forma vettoriale e
F = -kDx
quindi la forza elastica è una forza centrale
Forza elastica
Vediamo ora quale è la legge oraria di una massa attaccata a una molla vincolata in
un estremo. Per fare ciò occorre scriverne la legge del moto:
kx  ma
da cui
 kx  m
d 2x
dt 2

d 2x
dt 2

k
x
m
Per trovare la legge oraria basta risolvere questa equazione differenziale: si
cerca infatti una funzione la cui derivata seconda sia uguale alla funzione
stessa cambiata di segno, a meno del coefficiente di proporzionalità (k/m).
d 2x
dt 2

k
x   2 x
m
con

k
m
Forza elastica
Tale funzione è del tipo
sent 
con

k
m
La legge oraria sarà quindi:
x(t )  A sent  f 
dove A è l'ampiezza di oscillazione e per dimensioni ha una lunghezza, e f è la fase.
Sia A che
f
dipendono dalle condizioni iniziali del moto.
Andando a studiare il moto, si osserva che:
 nel punto di massimo allungamento e di massima compressione,
l'accelerazione è massima e la velocità è nulla (il corpo sta infatti invertendo il verso
del moto)
 nel punto di equilibrio, l'accelerazione è nulla e la velocità massima (con
opportuno segno a seconda che la molla si stia allungando o comprimendo)
Forza di attrito viscoso
La forza di attrito viscoso è la resistenza che un fluido oppone quando un
corpo tenta di muoversi all'interno di esso.
Mentre per gli attriti radenti e volventi esistono leggi ben precise che ne
regolano l'intensità, per gli attriti viscosi non è così: essi sono infatti di
molti tipi e inoltre variano in funzione della velocità relativa di un corpo
rispetto al mezzo preso in considerazione.
Un caso semplice è quello in cui la forza di attrito viscoso è direttamente
proporzionale alla velocità (cioè ne dipende attraverso una relazione
lineare):
F   v
Più in generale la forza è una funzione b(v) più complessa della velocità,
F  b(v)
Forza di attrito viscoso
Per esempio, può essere proporzionale a una potenza di v con un dato
esponente n:
F  cv n
Supponiamo che un paracadutista si lanci dall'aereo e che - g(v) sia la
forza d'attrito che egli subisce dall'aria. Vogliamo calcolare la velocità limite
cui arriverà il paracadutista: in questa situazione la velocità sarà costante
(indichiamone con vL il valore) e di conseguenza la sua derivata (ovvero
l'accelerazione) sarà nulla. Basta quindi imporre la seguente condizione:
mg  g (vL )  0
Nel caso particolare in cui sia
g (v )    v
v L  mg

Forze centripete
Supponiamo che la risultante delle forze agenti su un punto materiale
presenti una componente normale alla traiettoria, questa componente
causa l’accelerazione centripeta dell’oggetto:
v2
FN  ma N  m
R
Dove R è il raggio di curvatura della traiettoria.
In generale forze centripete sono prodotte da rotaie, pneumatici, fili…
ossia vincoli che consentono di incurvare la traiettoria oppure da
forze gravitazionali
Forze centripete
Esempio
Si vuole determinare la condizione per cui un punto lanciato con velocità v
percorra con velocità costante un arco di circonferenza come in figura
N
v
R

y
mg
Occorre che la
risultante R delle
forze applicate sia
parallela all’asse x
R  N sin 
N cos  mg
x
2
v
N sin   FN  m
R
v2
tan 
gr