I TEOREMI
della
TRIGONOMETRIA PIANA
PROPRIETÀ DEI TRIANGOLI
La geometria fornisce le seguenti relazioni tra gli elementi dei triangoli scaleni:
A
b


C
La somma degli angoli di un triangolo è uguale
all’angolo piatto:  +  +  = 200c.
In ogni triangolo, ciascun lato è minore della
somma degli altri due e maggiore della loro
differenza (cioè: a < c + b; a > c – b).
c
a
In ogni triangolo, la relazione di uguaglianza o
disuguaglianza che intercorre tra due lati vale anche
per gli angoli rispettivamente opposti (cioè: se a < b,
sarà anche  < ).

B
Oltre a queste proprietà, la trigonometria fornisce alcuni teoremi per
risolvere i triangoli scaleni. Con gli attuali strumenti di calcolo sono
indispensabili solo i seguenti due teoremi:
teorema dei seni;
teorema del coseno (o di Carnot).
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2
TEOREMA DEI SENI
Tracciamo il cerchio circoscritto al triangolo ABC; il suo centro è l’intersezione
degli assi dei suoi lati (corde del cerchio).
Tracciamo il diametro AD passante per A.
C

90°
R
 
Collegando i punti C e D, l’angolo ADC è uguale
a  perché entrambi insistono sull’arco AC.
D
Il triangolo ACD poi, è retto in C (angolo alla
circonferenza che insiste su un diametro).
a
Da questo triangolo possiamo evidenziare il
diametro 2R:
b
O

A
c

B
2R 
b
sin 
Analogamente per il triangolo retto ABD:
c
2R 
sin 
Dunque si ha anche :
b
c

sin  sin 
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3
TEOREMA DEI SENI
Estendendo il ragionamento e utilizzando un secondo diametro si può ricavare anche:
C
a
c

sin  sin 

a
Enunciato del Teorema
In un triangolo il rapporto tra un lato e il seno
dell’angolo opposto è costante, ed è uguale al
diametro del cerchio circoscritto al triangolo.
b

B

a
b

sin  sin 
c
A
a
b
c


 2R
sen sen sen
oppure:
In un triangolo il rapporto tra due lati è uguale al
rapporto tra i valori del seno degli angoli opposti
a sen

b sen
a sen

c sen
b sen

c sen
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4
TEOREMA DI CARNOT
Consideriamo un triangolo ABC, con di lati a,b, c
Tracciamo l’altezza CH
CH = b sen
C
b
b sen 

A
a
AH = b cos
c - b cos 
H c
B
BH = AB - AH= c - b cos
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo CHB
a2 = CH2 + BH2 = (b sen)2 + (c - b cos)2
a2 = b2 sen2 + c2 + b2 cos2 -2bc cos
ma: b2 sen2 + b2 cos2  b2 (sen2 + cos2)  b2
pertanto:
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
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5
TEOREMA DI CARNOT (o del coseno)
b
C


A
Enunciato del Teorema
a

c
B
a2 = b2 + c2 - 2bc cos
In un triangolo il quadrato di un lato è uguale
alla somma dei quadrati degli altri due lati,
diminuito del doppio prodotto di questi per il
coseno dell’angolo compreso.
b2 = a2 + c2 - 2ac cos
c2 = a2 + b2 - 2ab cos
Oppure:
b2  c2 - a 2
cos  
2bc
a 2  c2 - b2
cos  
2ac
a 2  b2 - c2
cos  
2ab
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6
RISOLUZIONE
dei
TRIANGOLI SCALENI
1°CASO: NOTI 2 ANGOLI E 1 LATO
Immaginiamo noti , , c:
b
A
C

a


c
  200 - (   )
C
c  sin 
a
sin 
c  sin 
b
sin 
B
poiché       200C
dal teorema dei seni
dal teorema dei seni
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8
2°CASO: NOTI 2 LATI e L’ANGOLO COMPRESO
immaginiamo noti , b, c:
b
A
C


a  b2  c 2 - 2bc cos
a 2  c2 - b2
  arccos
2ac
a 2  b2 - c2
  arccos
2ab
a

c
B
dal teorema di Carnot
oppure
b
  arcsin( sin  )
a
oppure
c
  arcsin( sin  )
a
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9
3°CASO:
NOTI 2 LATI e UN ANGOLO ADIACENTE A UN LATO INCOGNITO
immaginiamo noti , b, a:
b
A
C

a


c
B
b
  arcsin( sin  ) dal teorema dei seni
a
  200C - (   )
a  sin 
dal teorema dei seni
c
sin 
ATTENZIONE a questa relazione
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10
DISCUSSIONE di:
b
  arcsin( sin  )
a
valutando l’argomento della funzione inversa arcoseno,
si possono verificare i seguenti casi:
b/a sen  > 1 Il problema è manifestamente impossibile, in quanto non esiste
l’arcoseno di un numero maggiore di 1, dunque non esiste nessun
triangolo con i dati assegnati a,b,.
b/a sen  = 1 L’angolo  è retto e quindi si tratta di un triangolo rettangolo.
b/a sen  < 1 Esistono due valori di  compatibili con l’angolo assegnato . Il primo
valore ’ (quello fornito dalla calcolatrice) è acuto, cioè si trova nel Iº
quadrante, il secondo, ”, supplementare del primo, è ottuso e si
trova nel IIº quadrante.
In quest’ultimo caso, poi:
dei due valori ’ e ”, uno è incompatibile con l’angolo assegnato , pertanto il
valore che soddisfa il problema è l’altro (per esempio: se  = 120c, e  può assumere i
due valori 40c e (200c – 40c) = 160c; il valore 160c è incompatibile con il valore di  = 120c; in questo
caso il valore che risolve il problema è  = 40c);
i due valori di ’ e ” sono entrambi compatibili con il valore di ; in questo
caso si avranno due soluzioni del problema, che danno luogo a due triangoli
distinti.
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4°CASO: NOTI I 3 LATI
Dunque sono noti a, b, c:
C
b

a

A

c
B
b2  c2 - a 2
  arccos
2bc
a c -b
  arccos
2ac
2
2
2
a 2  b2 - c2
  arccos
2ab
oppure
b
  arcsin( sin  )
a
oppure
c
  arcsin( sin  )
a
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QUADRO RIASSUNTIVO DELLA RISOLUZIONE DEI
TRIANGOLI
caso
1
2
schema
geometrico
elementi
noti
Soluzione
- 1 lato
- 2 angoli
  200C -    )
a  sen
a  sen
b
c
sen
sen
a;;
- 2 lati
- angolo
compreso
a;b;
3
- 2 lati
- angolo non
compreso
a;b;
4
- 3 lati
a;b;c
c  a 2  b 2 - 2  a  b  cos 
b2  c2 - a 2
2bc
C
  200 -    )
  arccos
b

  arcsen  sen 
a

  200C -    )
c
(1)
a  sen
sen
b2  c2 - a 2
  arccos
2bc
a2  c2 - b2
  arccos
2ac
C
  200 -    )
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AREA E CERCHI
dei
TRIANGOLI SCALENI
NOTI 1 LATO E I 2 ANGOLI ADIACENTI
A
b


h
C
Consideriamo la precedente espressione e il
teorema dei seni per esprimere a:
1
S  ab sin 
2
a
b sin 
sin 
Sostituendo si ottiene:
c
a

1 b sin 
S
b sin 
2 sin 
b2 sin   sin 
S
2
sin 
Considerando che sen = sen200C – (+ ) = sen(+ ), si ottiene:
b2 sin   sin 
S 
2 sin(    )
B
ANALOGAMENTE:
a 2 sin   sin 
S 
2 sin(    )
c2 sin   sin 
S 
2 sin(    )
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15
NOTI 1 LATO E I 2 ANGOLI ADIACENTI
Applicando la formula di addizione del seno nelle precedenti
espressioni si ottengono le seguenti analoghe espressioni:
A
b


h
C
2
b
1
S 
2 cot g  cot g
a2
1
S 
2 cot g  cot g
c
a

c2
1
S 
2 cot g  cot g
B
NOTI 3 LATI
S
(formula di Erone)
p  ( p - a)  ( p - b)  ( p - c)
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16
CERCHIO CIRCOSCRITTO
Ricordando il teorema dei seni possiamo immediatamente calcolare il raggio del
cerchio circoscritto (il cui centro è l’intersezione degli assi dei lati del triangolo):
C
a
b
c


 2R
sen sen sen

R
a
R
2  sen 
a
b

O

A
c
B
c
b
R
R
2  sen 
2  sen
Volendo, si possono moltiplicare numeratore e
denominatore della prima per bc ottenendo:
abc
R
4S
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17
CERCHIO INSCRITTO
Le bisettrici dei tre angoli di un triangolo ABC si incontrano in un punto O
detto incentro, che costituisce il centro del cerchio inscritto. Esso, poi, è anche
simultaneamente tangente ai tre lati del triangolo:
C
cr ar br
S


2
2
2
r
S  ( c  a  b)
2
r
S  2p
2
 
-- -2 2
b
/2
/2
A
r
r
O
r
c
a
/2
/2
B
S
r
p
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18
PROPRIETÀ DEL CERCHIO INSCRITTO
Consideriamo i punti di tangenza T1, T2, T3 del cerchio con i lati dei triangoli:
BT1  BT3  n
AT1  AT2  m
C
c mn
 
-- -2 2
q
q
a nq
bmq
Sommando membro a membro le precedenti:
a  b  c  2 p  2m  2n  2 q
b T2
r
r
O
T3 a
p  mnq
n
m
Da questa possiamo ricavare:
m  p - ( n  q)
r
/2
/2
A
CT2  CT3  q
m
T1 c
/2
/2
n
B
m  p-a
n  p-b
q  p-c
La distanza tra i punti di tangenza del cerchio inscritto con un vertice del
triangolo è uguale al semiperimetro p del triangolo, dedotto dal lato opposto a quello
del vertice a cui è riferita la distanza.
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CERCHI EX-INSCRITTI
I cerchi ex-inscritti a un triangolo sono tangenti a un lato e ai prolungamenti degli altri
due; si hanno pertanto tre cerchi ex-inscritti.
A
c
Ob
 
-- -2 2
b

B
T1

T2
’/2
’/2
a
- Consideriamo i punti di tangenza e i triangoli
che essi individuano:
C
’/2
’/2
Ra
T3
Ra
I centri di questi cerchi sono il punto d'incontro della bisettrice dell’angolo opposto al
lato tangente e delle bisettrici degli angoli
supplementari a quelli adiacenti.
Ra
Oa
S
Rb 
p -b
c  Ra b  Ra a  Ra
S

2
2
2
Ra
S
(c  b - a )
2
Essendo: ( c  b - a )  2( p - a )
S
Rc 
p-c
S
Ra 
p-a
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20
PROPRIETÀ DEI CERCHI EX-INSCRITTI
È facile osservare che le congiungenti i tre
centri ex-inscritti, passano per i vertici A, B,
C del triangolo.
A
Ob
Inoltre i punti di tangenza esterni dei cerchi
ex-inscritti godono di una importante proprietà:

-- --
p c
22

B
T1

T2
’/2
’/2
a
Essendo BT1=BT2 e CT2=CT3 sarà:
b p
2 p  c  b  a  c  b  BT2  T2C
2 p  AT1  AT3  2 AT1
’/2
’/2
C
’/2
’/2
p  AT1  AT3
Ra
T3
Ra
Ra
Oa
Questa proprietà consente di riformulare in modo più
semplice i raggi dei cerchi ex-inscritti:
Ra  p  tg
Rb  p  tg


2
2
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Rc  p  tg

2
21
ALTEZZE, MEDIANE, BISETTRICI
LE TRE ALTEZZE
Le tre altezze si intersecano in un punto H chiamato ortocentro.
A
b


hc
C
H
ha
c
hb

B
a
Considerando i triangoli retti definiti dalle
tre altezze ha, hb, hc, si può scrivere:
ha = b  sen  = c  sen 
hb = c  sen  = a  sen 
hc = b  sen  = a  sen 
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23
LE TRE MEDIANE
Le tre mediane si intersecano in un punto G, detto baricentro del triangolo.
b
-2
A
b
-2

c
-2
mc
ma
G
mb
c
-2


a
-2
’
 M
C
a
-2
’=200C- 
Consideriamo i due triangoli ABM e AMC
a2
c2 = ---- + ma2 - a ma cos 
4
a2
b2 = ---- + ma2 + a ma cos 
4
Sommando membro a membro:
a2
b2 + c2 = ---- + 2 ma2
2
1
B
Il baricentro G si trova a una distanza
dal vertice corrispondente pari ai 2/3
della mediana, e a 1/3 della mediana
dal punto medio del lato opposto
AG = 2/3 ma - GM = 1/3 ma
ma = ----  2b2 + 2c2 – a2
2
1
mb = ----  2a2 + 2c2 – b2
2
1
mc = ----  2b2 + 2a2 – c2
2
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24
LE TRE BISETTRICI
Le tre bisettrici si intersecano in un punto O, centro del cerchio inscritto.
Consideriamo l’area del triangolo ABC, ottenuta
come somma di quelle dei due triangoli ABN e ANC
b
A
C

1
bc sen = --- cn sen ---- + --- bn sen ---2
2
2
2
2
Applicando la f. di duplicazione del seno al 1° membro:


1

1

O
nb
c

1
---
nc
na
1
bc sen --- cos --- = --- cn sen ---- + --- bn sen ---2
2
2
2
2
2
N
a
Dividendo per sen(/2):

1
1
1
bc cos --- = --- cn + --- bn = --- n (b + c)
2
2
2
2
B
2bc

n = ------------ cos --c+b
2
2ac

n = ------------ cos --a+c
2
2ab

n = ------------ cos --a+b
2
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25
LA RETTA DI EULERO
In un triangolo i seguenti punti sono allineati:
baricentro G (intersezione delle tre mediane),
ortocentro H (intersezione delle tre altezze),
circocentro O (intersezione degli assi dei tre lati).
La retta che li congiunge viene detta retta di Eulero.
A
b


C
H
G
c
O
a

B
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26