MODELLI DI SERIE STORICHE
Approccio Classico
Modelli di composizione:
- componenti
trend ciclo stagionalità
comp.accidentale
- tipi di composizione :
1)
additività
2)
moltiplicatività
3)
misto
1) ipotesi di indipendenza tra le componenti
modello additivo
Zt  Tt  Ct  St  a t
2) non indipendenza tra le componenti
modello moltiplicativo
Zt  Tt  Ct  St  a t
1
Il caso 2) si riduce al caso 1) considerando i
log , cioè :
log Zt  log Tt  log Ct  log St  log a t
3)
modello:
Zt  Tt  St  Ct  a t
pregi
-semplicità
difetti
-pluralità di soluzioni
-serie anche corte
-assunzione modellistica
prima approssimaz. troppo rigida
-visione settorizzata
2
Modelli stocastici o di Box-Jenkins
(approccio moderno post 1925)
1.
Modello autoregressivo (AR)
2.
Modello a media mobile (MA)
3.
Modello misto (ARMA)
1.
Z t  1Z t 1   2 Z t 2  ...   p Z t p  a t
a t  residuo o disturbo
i (i  1, ... , p)  coefficienti
AR(p) - modello autoregressivo di ordine p
2.
Media mobile :
è una media aritmetica che si sposta, ad
ogni iterazione, dall’inizio alla fine
della successione di dati.
3
Esempio:
z1
z2
z3
z4
z5
.
.
.
z n 2
z n 1
zn
MA
a tre termini
z1  z 2  z 3
3
z  z3  z4
ẑ 3  2
3
ẑ 2 
ẑ 4 
z3  z 4  z5
3
z n 2  z n 1  z n
ẑ n 1 
3
z  z t  z t 1
ẑ t  t 1
3
Può essere:
In generale termini
dispari . MA centrata.
- semplice
- ponderata
4
Modelli a MA:
Z t  a t  1 a t 1  ...  q a t q
i
(i  1, ... , q )
costanti
Modello MA(q) di ordine q
3.
Modelli misti
Z t  1Z t 1  ...   p Z t p  a t  1a t 1  ...  q a t q
Modello ARMA (pq)
I modelli Box-Jenkins essendo di tipo
stocastico stocastico generano un
processo stocastico
Analizzare una serie empirica con i modelli
Box-Jenkins significa scegliere, tra i
molti modelli possibili, quello più
adatto e stimarne i parametri
2 fasi di analisi:
_ identificazione
_ stima
5
Operatori, funzioni generatrici,
equazioni alle differenze finite
Operatore all’indietro (backward) B
Data una sequenza
z t 2 , z t 1 , z t , z t 1 , z t 2
l’operatore B serve a trasformare un termine
di tale sequenza in uno che lo precede di uno
o più posti. Quindi :
B z t  z t 1
oppure Bj z t  z t  j
Operatore in avanti (forward) F
Stessa definizione, salvo che F trasforma in
avanti, cioè
F z t  z t 1 oppure
Ovviamente : F  B1
F j z t  z t j
6
Operatore alle differenze finite  .
 zt  zt  zt 1
oppure
 j zt    j 1zt  zt  zt  j


Ma:
z t  z t  z t 1  z t  B z t  1  B z t
cioè :
  1 B
Poi:
2 z t   z t   z t  2 z t 1  z t 2
7
PROCESSO AUTOREGRESSIVO DI
ORDINE p AR(p)
disturbo
z t  1 z t 1   2 z t 2  ...   p z t p  a t
(*)
Somma ponderata di valori passati z t cui si
aggiunge un disturbo calcolato sul valore
attuale a t . Riscrivendo la (*) si ha:
z t  1 z t 1   2 z t 2  ...   p z t p  a t
che diviene, con l’operatore B:
1   B   B
1
2
2
 ...  p B p z t  a t
Ponendo la quantità in parentesi uguale a B,
nota anche come operatore AR(p) , si ha:
B z t  a t
8
Nella (*) può essere aggiunta una costante 
che misura il livello del processo che, se il
processo è stazionario, è uguale alla sua
media, quindi in generale AR(p) ha forma:
z t    1 z t 1  ...   p z t p  a t
Le condizioni di stazionarietà del processo si
ottengono dalle radici della sua equazione
caratteristica, cioè ponendo B  0 , quindi
1  1 B  2 B 2  ...   p B p  0
Si dimostra (Box & Jenkins) che la
stazionarietà di AR(p) si ottiene quando le
radici della equazione caratteristica sono in
modulo > 1, o in altre parole sono esterne al
cerchio di raggio
1
unitario
9
Media.
Se z a t   0 , nel caso del modello completo:
   1 z t 1   2 z t 2  

E z t   E
 ...   z  a

p t p
t


   1 E z t 1    2 E z t 2  
...   p E z t  p   E a t 
Siccome Ez t   Ez t 1   Ez t 2 .... e Ea t   0
Ez t 1  1   2  ...   p   
Quindi

Ez t  
1  1   2  ...  p
Ovviamente nel modello ridotto in cui   0
Ez t   0
10
Autocovarianza
 k  E zt zt k   E 1 zt 1 zt k  


E  2 zt 2 zt k   ...  E  p zt  p zt k  E at zt k 
Ma per k > 0 Ez t k a k   0
, quindi:
 k  1  k 1   2  k 2  ...  p  k p
k = 1,2,..p
Varianza:
analogamente si dimostra che
var z    0  1 1  2  2  ... p  p  a2
Le  k di AR(p) sono in numero infinito; per
i valori di j > p si può ricorrere alla forma:
 j  1  j1   2  j2  ...  p  j p
Che è nota come equazione di Yule-Walker 11
Tale relazione consente di :
1. conosciuto un certo AR(p), cioè una volta
noti i i , si possono calcolare le autocov.
teoriche corrispondenti;
2. se non si conoscono i i
si possono
stimare sostituendo ai valori teorici delle
autocov.  k i corrispondenti valori
campionari ci ottenuti dalla serie storica
osservata.
Autocorrelazione
Dividendo  k  0 si ha:
 k  1  k 1   2  k 2  ...   p  k p
k = 1,2,3,…
In cui partendo da
forma
0  1
si ottengono in
ricorsiva tutti i coefficienti di
12
autocorrelazione teorica.
Ovviamente vale quanto detto in 1. e 2.
Correlogramma
Dalla  k si vede come il corr. di AR(p) è
costituito da infiniti termini.
Si dimostra che tali termini, a seconda dei
valori dei parametri, tendono a zero
monotonicamente oppure con oscillazioni.
Casi particolari.
AR(1)
z t  1 z t 1  a t
Il valore della serie al tempo t è pari ad una
frazione del valore precedente aumentato
(algebricamente) dell’errore a t .
13
Es: supponiamo 1  0,5 .
Allora graficamente:
z1
zt
z 2  0,5 z1  a 2
a2
0,5 z1
0,5 z 2
1
2
z 3 0,5 z 2  a 3
 a3
3
t
a t  v.c. , Ea t   0
innovazione
Stazionarietà
Dal caso generale, siccome
dell’equazione caratteristica, cioè
le
radici
B  1  1 B  0
sono esterne al cerchio unitario, allora : AR(1)
è stazionario se e solo se 1 1
14
Media
Se Ea t   0 allora Ez t   0
Varianza
Dalle relazioni di  k e  0 di AR(p) si ricava
a2
0 
1  2
da cui risulta che, siccome  0  0 allora
 2  1 , cioè   1 , come rilevato per
la condizione di stazionarietà.
Autocovarianza
Si dimostra (Nelson, Piccolo) che
a2
k
k 

1  2
15
che utilizzando la relazione per  0 diviene:
 k  0  k
k   k
Autocorrelazione
Correlogramma
A seconda del segno di  si ha:
1
1
0
0
0
1
Autocorrelazione parziale
Si dimostra (Kendall) che
  1
 k k   1
0
k 1
k 1
16
Non stazionarietà
La stazionarietà si ha per 1 1
Se 1 1 allora z t  z t 1  a t
Random
Walk
(non stazion. omogenea (*))
Se 1 1
allora il processo assume un
andamento esplosivo tipo reazione nucleare.
(*) considerando successivi intervalli
temporali questi hanno dei componenti
sostanzialmente uguali.
17
Random walk
stazionarietà
non omogenea
z t  z t 1  a t
Stazionario
z t  0,35 z t 1  a t
Esplosivo
z t  1,2 z t 1  a t
18
t
at
0
1
-1
-1,6
-0,4
1,3
-0,4
0,7
1,2
0,4
0,9
-0,1
-0,3
-0,1
0,2
-0,6
-0,4
-0,4
-0,9
0,0
0,3
-1,6
-0,4
-0,8
-0,1
0,0
1,2
-0,1
0,4
-0,8
-0,2
0,8
10
20
zt
t
at
0,5
-1,4
-0,96
0,92
-0,03
0,68
1,47
0,99
1,29
0,42
-0,13
-0,15
0,14
-0,54
-0,62
-0,64
-1,16
-0,46
0,11
-1,55
-1,02
-1,21
-0,58
-0,23
1,11
0,34
0,54
-0,58
-0,43
0,63
30
31
-1,2
0,3
0,6
1,5
-0,9
-0,3
-0,4
-1,2
1,0
-1,3
0,4
0,0
0,5
2,1
-0,5
2,1
0,4
0,8
0,6
0,1
0,4
0,5
-0,4
3,3
0,4
-0,1
1,4
1,1
-3,7
-1,1
-0,1
-0,95
-0,08
0,57
1,73
-0,21
-0,38
-0,55
-1,42
0,43
-1,13
-0,05
-0,02
0,49
2,29
0,41
2,26
1,30
1,32
1,13
0,55
0,62
0,75
0,1
3,26
1,7
0,58
1,63
1,75
-3,0
-2,3
-1,02
41
51
40
50
Zt
60
4
3
2
1
0
-1 1
-2
-3
11
21
31
t
zt
Simulazione
AR(1)
61
19
k
k
rk
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0,4
0,16
0,064
0,0256
0,01024
0,0041
0,00164
0,0007
0,0003
0,0001
0,486
0,341
0,281
0,029
-0,011
-0,149
-0,002
0,054
0,095
0,066
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
1
2
3
4
-0,2
k
5
6
7
8
9
10
Ez t   0 ;
z  0,17
molto vicini
non vicini
oscilla
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-0,1
-0,2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
rk
20
Processo autoregressivo di 2° ordine
z t  1 z t 1   2 z t 2  a t
1 ,  2  parametri , a t  N 0 , a2  su t
Stazionarietà
Le radici dell’equazione caratteristica
devono essere esterne al cerchio unitario.
Equazione caratteristica
B  1  1 B  2 B 2  0
Si dimostra che per soddisfare tale
condizione si devono verificare, come
vedremo poco sotto (correlogramma) le
seguenti disuguaglianze
  2  1  1

   2  1  1
 1   2  1
21
Le disuguaglianze individuano nel piano
1 ,2 la seguente regione triangolare:
1
0
-1
2
-2
0
2
1
Media
Modello completo (con costante  )
Ez t     1 Ez t 1    2 Ez t 2   Ea t 
Ez t     1 Ez t 1    2 Ez t 2 


1  1   2
Si può facilmente dimostrare che
z*t  z t  Ez t  , cioè gli scarti dalla media,
siccome: z*t  z t   1  1   2
Sono anch’essi AR(2), senza costante
22
Varianza
Piccolo (1970) ha dimostrato che
 0  1 1   2  2   a2
varianza
1  1  0   2 1
autocov.
lag 1,2
 2  1 1   2  0
e che…… k > 2 ,  k è ottenibile dalla usuale
relazione di Yule-Walker
 k  1  k1  2  k2
autocov. gen.
Quindi:
1  1  1  2
2  1 1   2
autocorr.
 j  1  j1   2  j2
23
Correlogramma
Essendo l’eq. cartesiana di 2° grado, infatti:
1  1 B 2 B 2  0
Il correlogramma può assumere forme più
numerose di AR(1), perché le radici possono
essere:
• reali e disuguali
• reali e coincidenti
• complesse e coniugate.
La forma del correlogramma dipende dai
valori assunti dalle soluzioni dell’equazione
Caratteristica. Box & Jenkins hanno
dimostrato che in caso di radici reali si ha:
andamenti
smorzati
24
In caso di radici complesse:
andamenti
sinusoidali
smorzati
Autocorrelazione parziale
Box & Jenkins dimostrano che:
11  1 ,  2 2
2  12

, k k  0
2
1  1
Questi due soli valori hanno andamenti
diversi a seconda che le radici siano reali o
complesse
25
t
at
0
1
-1
-1,6
-0,4
1,3
-0,4
0,7
1,2
0,4
0,9
-0,1
-0,3
-0,1
0,2
-0,6
-0,4
-0,4
-0,9
0,0
0,3
-1,6
-0,4
-0,8
-0,1
0,0
1,2
-0,1
0,4
-0,8
-0,2
0,8
10
20
zt
0,5
0,5
-0,6
1,76
-1,576
1,998
-0,314
0,988
0,244
-0,048
0,039
-0,133
0,288
-0,799
0,137
-0,642
-0,488
0,164
0,495
0,104
-0,363
-0,561
0,164
-0,211
1,359
-0,957
1,246
-1,738
1,092
-0,203
t
at
30
31
-1,2
0,3
0,6
1,5
-0,9
-0,3
-0,4
-1,2
1,0
-1,3
0,4
0,0
0,5
2,1
-0,5
2,1
0,4
0,8
0,6
0,1
0,4
0,5
-0,4
3,3
0,4
-0,1
1,4
1,1
-3,7
-1,1
-0,1
40
50
60
zt
-0,861
0,776
-0,038
1,678
-1,915
1,185
-1,494
-0,067
1,339
-2,116
1,938
-1,586
1,84
-1,329
0,661
1,439
-0,331
1,285
-0,237
0,499
0,054
0,568
-0,73
3,852
-2,057
1,904
-0,154
1,574
-4,675
2,02
-2,247
4
3
Zt
2
1
0
-1
1
10
19
28
37
46
55
-2
t
26
Simulazione di un AR(2)
z t  0,6 z t 1  0,2 z t 2  a t
partenza z 0  z1  0,5
Condizioni di stazionarietà:
1   2  0,4  1
si
 2  1  0,8  1
si
 1  0,2  1
si
z t è quindi stazionario.
Utilizzando scarti normali standardizzati si
ottengono i valori tabulati con il relativo
andamento grafico.
Poi, utilizzando le relazioni viste per 1 , 2 , k
Si calcoli la funzione di autocorrelazione rek
dai valori simulati la
campionaria.
27
k
k
rk
k
k
rk
1
2
3
4
5
-0,75
0,65
-0,56
0,45
-0,38
-0,68
0,52
-0,24
0,22
-0,15
6
7
8
9
10
0,32
-0,27
0,22
0,19
0,16
0,01
0,10
-0,17
0,18
-0,15
Correlogrammi
k
rk
Autocorrelazione parziale
11  0,75 ; 2 2  0,2
r11  0,674 ; r2 2  0,095
28
PROCESSO A MEDIA MOBILE MA(q)
Il processo MA(q) è solamente costituito da
un numero finito di q termini, cioè:
z t  a t  1 a t 1  ...  q a t q
Introducendo l’operatore B si ha:
z t  1  1 B  2 B 2  ...  q B q a t
che diviene:
z t  Ba t
Dove
B  1  1 B  2 B 2  ...  q B q
Denota il cosiddetto operatore MA(q).
29
Stazionarietà
Siccome l’operatore MA(q) è una serie finita,
non esistono particolari restrizioni per
assicurare la stazionarietà
Invertibilità (vedi dopo per maggior dettaglio)
Un MA(q) è invertibile quando le radici
dell’equazione caratteristica
B  1  1 B  2 B 2  ...  q B q  0
sono esterne al cerchio unitario.
Media
Se le a t hanno media nulla, è nulla pure la
media del processo, quindi:
Ez t   0
30
Autocovarianza, varianza e autocorrelazione
Tenendo conto delle relazioni già viste per il
processo lineare si ha:
  k  1 k 1  2 k 2  ... q q k a2
k 
per k  q
 0
con k = 1,2,…,q.
Da cui la varianza:
 0  1  12  22  ...  q2 a2
e quindi la autocorrelazione:
  k  1 k  ...  q q  k
; k  1,2,..., q

2
2
k  
1  1  ...  q
 0
per k  q
Se i valori i i  1,2, ... k  sono noti, oppure
stimati, si possono ricavare i parametri i .
Ovviamente essendo non lineare la relazione
funzionale, occorre utilizzare metodi iterativi.31
Si noti che siccome  k ,  0 , k
indipendenti da
sono
t , MA(q), come prima
visto, è sempre stazionario.
Invertibilità di AR(p) e invertibilità di
MA(q)
Condizione di invertibilità
Tale condizione è molto importante
soprattutto a proposito dei modelli MA(q),
dal momento che questi ultimi, a differenza
degli AR(p), sono caratterizzati dal problema
della molteplicità dei modelli.
Invertibilità per AR(p)
1   B  
1
2
p
zt  a t
B

...


B
2
p
Invertendo si ha:
1
zt 
at
2
p
1  1 B   2 B  ...   p B
32
Sviluppando in serie il rapporto evidenziato
in rosso si ha: 1   B   2 B 2  ...
per cui:
z t  1   B   2 B 2  ...a t
che altro non è (come vedremo fra poco) se
non un MA ( .)
Quindi: un AR(p) è sempre trasformabile in
un MA (  ) .
Invertibilità di MA(q)
zt
 at
B
Sviluppando in serie
1
 1  1 B  2 B 2  ...
B
Quindi:
1   B  
1
che è un AR ( )
2
B
 ...z t  a t
2
33
Il processo MA(q) si dice allora invertibile se
i pesi i formano una serie convergente e
questo si ottiene se e solo se le radici di B
sono esterne al cerchio unitario.
La condizione di invertibilità, pertanto, ha per
i processi MA(q) la stessa importanza che ha
la condizione di stazionarietà per i processi
AR(p).
Processo MA(1)
z t  a t   a t 1
Stazionarietà
Media:
Varianza
sempre
se Ea t   0 anche: Ez t   0


 0  1   2 a2
Autocovarianza
1   a2 ;  k  0 , k  1
34
Autocorrelazione
1

1   
;  k  0 , k 1
2
0
1 
Correlogramma
1
k
1
k
k
-1
k
-1
Una sola ordinata positiva o negativa, a
seconda del segno di  .
35
Invertibilità
Si considerino due MA(1), uno
parametro  e un altro con 1  , cioè:
z t  a t   a t 1
e
con
1

z t  a t  a t 1

Calcoliamo  k . Si ha:

1 


1 z  
; 1 z  

2
2
1 
11 
1 2
Quindi i due processi, pur diversi, hanno la
stessa  k, quindi esiste un problema di
molteplicità di modelli.
Per risolverlo si consideri:
a t  z t   z t 1   2 z t 2  ...
1
1



a t  z t  z t 1 2 zt 2  ...


36
Ricorrendo all’operatore B si ha:
a t  1   B   2 B 2  ...z t
 1

1
2
a t  1  B  2 B  ...  zt
 




Se   1 la prima serie converge, mentre
la seconda no.
Allora se   1 si dice che la prima serie è
invertibile, mentre la seconda non lo è.
Quindi la condizione
assicura
 1
l’esistenza di un unico modello MA(1).
Tale condizione equivale a dire che le radici
della equazione caratteristica: 1   B  0
siano esterne al cerchio unitario.
37
Autocorrelazione parziale
Box & Jenkins dimostrano che
k k 
  k 1   2 
1 
, k 1,2,3
2  k 1
Da cui si vede come i coefficienti di
autocorrelazione
parziale
hanno
un
andamento smorzato, anche con oscillazioni
di segno.
Processo MA(2)
z t  a t  1 a t 1  2 a t 2
Stazionarietà
sempre stazionario
Invertibilità
Il processo è invertibile se le radici
dell’equazione caratteristica 1  1 B  2 B 2  0
sono in valore assoluto maggiori di uno.
38
Si dimostra che tale condizione si verifica se:
 2  1  1

  2  1  1
 1  2  1
che individuano il seguente triangolo isoscele
0
2
-2
-1
1
2
Media
Se Ea t   0 anche Ez t   0
39
Varianza, autocovarianza, autocorrelazione
 0  1     
2
1
2
2
2
a
1   1  12 a2
 1  12
1 
1  12  22
2 
 2
1  12  22
 2   2 a2
k  0
k  0
Radici reali
1  0
1  0
correlogramma
Radici complesse
1  0
1  0
40
Autocorrelazione parziale
formale in Anderson
espressione
Radici reali:
Radici complesse:
41
Principio di dualità tra AR(p) e MA(q)
1)
Stazionarietà
invertibilità
Le radici dell’eq.
MA
incondizionata
 B  0
devono essere esterne
al cerchio unitario
Le radici dell’eq.
AR
 B  0
devono essere esterne
al cerchio unitario
incondizionata
2) Un AR(p) può essere sempre espresso come
una media mobile di infiniti termini, cioè MA (  )
Un MA(q) può essere espresso, se invertibile,
come un processo autoregressivo infinito, cioè
AR ( ) .
3) I coefficienti di autocorrelazione totale  k di
un MA(r ) si comportano analogamente ai
coeff. di autocorrelazione parziale  k k di un
42
AR(r ).
I coefficienti  k k di un MA(r) si comportano
in modo analogo ai coefficienti  k di un AR(r)
Esempi:
k
AR(1)
MA(1)
k
kk
kk
AR(2)
k
MA(2)
k
kk
kk
43
Processo ARMA(pq)
AR ( p)  z t  1 z t 1  ...   p z t p  a t
(*)
residuo o “innovazione”
 N 0 ,  2  , indipend.
Se a t non segue tali ipotesi, ma invece si
comporta come una media mobile di ordine
q e quindi risulta:
a t  1 a t 1  ...  q a t q
Sostituendo in (*) si ha:
z t  1 z t 1  ...   p z t p 
( )
 a t  1 a t 1  ...  q a t q
che è un processo misto autoregressivo di
ordine p, con media mobile di ordine q, cioè
un ARMA(pq).
44
Usando l’operatore B si ottiene:
 B z t  Ba t
dove
 B  1  1 B   2 B 2  ...   p B p
B  1  1 B  2 B 2  ...  q B q
Stazionarietà
Per la condizione di stazionarietà della
componente AR(p), le radici dell’equazione
B  1  1 B  ...  p B p  0
devono essere esterne al cerchio unitario.
Invertibilità
Analogamente, per MA(q) le radici di
B  1  1 B  ...  q B q  0
devono anch’esse essere esterne al cerchio
45
unitario.
Media
Se ARMA(pq) è completo, cioè è presente
anche una costante  :
Ez t     1Ez t 1   ...   p Ez t p  
 Ea t   1Ea t 1   ...  q Ea t q 
da cui:
Ez t  

1  1  ...   p
Per cui se   0 ,
Ez t   0
Autocovarianza
Si indichi con  z a k  la covarianza tra z t e
a t , quindi:
 z a k   Ez t  k  z a t  a 
46
Moltiplicando ( ) per z t  k e considerando la
media, si ha:
 k  1 k 1  ...  p  k p   z a k   1 z a k  1 
( )
 q  z a k  q 
, kq
Siccome z t  k dipende dai valori a j generati
fino a j = t-k , segue che:
Ea t z t  j   0
, j 0
Ea t z t  j   0
, j 0
Quindi se k>q le  a z  0
relazione ( ) si riduce a:
e allora la
 k  1 k 1   2  k 2  ...   p  k p
47
Varianza
per k=0
 0  11  ...  p  p  a2  1 z a  1  ...
 q  z a  q 
Autocorrelazione
 k 1  k 1   2 k 2  ...   p k  p
Autocorrelazione parziale
Se ARMA(pq) è invertibile,
 B
at 
zt
B
Siccome la serie 1 B è infinita, anche
l’autocorrelazione parziale è infinita, con
un andamento simile all’autocorrelazione
parziale di un MA(q).
48
Modelli Box & Jenkins per serie non
stazionarie in media (modelli ARIMA)
Quando le condizioni di stazionarietà
richieste per i modelli BJ non sono presenti si
possono avere due forme di non stazionarietà:
quella esplosiva
quella omogenea
Si ha la prima quando almeno una radice
dell’equazione caratteristica è in modulo < 1.
Si ha la seconda quando almeno una delle
radici dell’equazione caratteristica è unitaria
(cioè sul cerchio di raggio unitario).
I fenomeni socio-economici ben difficilmente
presentano non stazionarietà esplosiva,
limitandosi a forme omogenee, così dette
perché a parte variazioni nel livello e/o
nell’andamento di fondo (trend), la serie è di
49
tipo stazionario.
In altri termini la serie non è
temporaneamente costante nel suo livello
medio, ma comunque tende a disporsi
stabilmente intorno a tale livello medio.
Trasformazioni stazionarizzanti.
Una serie storica in cui è presente una non
stazionarietà omogenea è facilmente
trasformabile in una di tipo stazionario
prendendo un adeguato numero di
differenze successive.
Esempio:
zt
z t 
z t  z t 1
non stazion.
omogenea
stazion.
50
Un possibile modo di rappresentare una serie
storica non stazion. omogenea è introdurre in
un modello ARMA(pq) un operatore alle
differenze finite di ordine opportuno.
Integrando le componenti AR(p) e MA(q)
con la componente I(d) si ha il modello
ARIMA(p,d,q).
Per definire formalmente tale modello si
deve
prima
definire
l’operatore
autoregressivo generalizzato
B  1  1 B  2 B 2  ... pd B pd
che è un polinomiale di grado p+d con d
radici uguali ad 1 e le altre p radici maggiori
di 1.
Pertanto:
B  1  r1 B1  r2 B 2 , ... , 1  rpd B pd 
 1  r1 B1  r2 B 2 , ... , 1  rp B p 1  B
d
51
Questo perché d radici sono unitarie.
I fattori della parte destra dell’equazione
meno l’ultimo sono niente altro che
l’operatore B di un AR(p) stazionario.
Quindi:
B   B1  B
d
Cioè:
B z t   B1  B z t
d
  B d z t
  B a t
*
che scritto per esteso diviene:
z t   z t 1  ...  pd z t pd 
 a t   a t 1 ...  q a t q
52
Pertanto se w t  d z t
La * diviene:
B w t  Ba t
che altro non è se non un ARMA sulle
differenze di ordine d dei valori z t .
Quindi sostituendo d z t
con w t il
processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile z t si
riduce ad un ARMA(pq) sulla variabile w t .
Allora il processo non stazionario B è
esprimibile come combinazione del processo
stazionario B e dell’operatore alle
differenze d  1 Bd .
Tale combinazione determina il processo
integrato ARIMA(p,d,q) che pertanto è parte
di una classe di processi più ampia di quelli
ARMA che da essa discendono.
53
La terminologia “integrato” deriva poi dalla
seguente notazione:
siccome abbiamo definito
w t  z t  z t 1
ed evidentemente
z t  z t  z t 1   z t 1  z t 2   ...
Allora:
z t  w t  w t 1  w t 2  ...
cioè la serie z t risulta essere la somma di
tutte “le variazioni“ del fenomeno fino al
tempo t compreso.
Ciò determina, in analogia con le funzioni
continue, una sorta di integrazione sulla
variabile w t .
Il
processo
ARIMA(p,d,q)
è
poi
caratterizzato
dall’essere
di
tipo
“omogeneo”, indipendente cioè dal livello
54
assunto da z t .
Si aggiunga infatti nel modello che esprime
z t una costante arbitraria a tutti i termini
fino a quello di ordine t-1 ; in altri termini:
z t  z t 1  c   1z t 1  c   z t 2  c  ...
  p z t p  c   z t 2  c  a t 
 1 a t 1  ...  q a t q
che è come dire:
zt 
z t 1  1 z t 1  z t 2   ...   p z t p  z t p1   

c
a t  1 a t 1  ...  q a t q

Cioè con l’aumento di tutti i termini della
costante c, anche z t risulta aumentato di c.
Quindi una serie non stazionaria ma
omogenea si comporta come una serie
stazionaria, poiché il suo andamento è
55
indipendente dal livello della serie.
Casi particolari di ARIMA(p,d,q)
Assegnando valori particolari ai parametri si
determinano casi di notevole interesse
applicativo.
caso completo ARIMA(1,1,1)
Modello:
1  1B z t  1  1Ba t
riscrivibile come
1  1Bw t  1  1Ba t
Il grafico che segue è relativo ad una
configurazione simulata con 1  0,8 e
1  0,4 ; la riproduzione di configurazioni
empiriche di carattere socio-economico è
abbastanza evidente.
56
zt
t
Caso incompleto ARIMA(1,1,0) ARI
Modello
1  1 B z t  a t
Una rappresentazione simulata, con   0,3
mostra anch’essa l’aderenza a possibili
57
configurazioni empiriche.
caso incompleto ARIMA(0,1,1) IMA
Modello
z t  1  1Ba t
1  0,6
caso incompleto con costante
Se in un ARIMA(p,d,q) le differenze prime:
w t  z t  z t 1 sono stazionarie, la presenza
di una costante in AR provoca una media
diversa da 0 data da:

Ew t  
1  1   2  ...   p
58
Se  0
ciò significa che la media delle
differenze prime tende a crescere o a
decrescere.
Quindi la costante introduce un trend
crescente o decrescente
Modello ARIMA(1,1,1) con   0,5
parametri 1  1,3 1  0
. ,8
e
Ponendo nella * :
w t  d z t
 B w t  Ba t
59
Che è un ARMA applicato alle differenze di
ordine d degli z t , invece che ai valori z t
medesimi.
In altri termini, sostituendo d z t con w t ,
il processo ARIMA(p,d,q) sulla variabile z t
si riduce ad un processo ARMA(p,q)
applicato alla variabile w t .
In questo modo il processo non stazionario è
espresso
in
funzione
dell’operatore
stazionario
e dell’operatore alle
B
d
differenze finite d  1 B. 
Ovviamente
la
classe
di
modelli
ARIMA(p,d,q), essendo ancor più generale
di quella ARMA, include gli stessi.
60