I SISTEMI TRIFASE
Se si osserva un traliccio dell’alta tensione si contano tre conduttori.
Un elettrodotto (su cui si possono osservare
1
quattro terne di fili) ed una cabina elettrica
I SISTEMI TRIFASE
Anche le prese possono avere
tre contatti o quattro contatti.
Uno è sempre la terra T, gli
altri sono due per la mono
fase o tre contatti per la trifase
Spina 2P+T 230V 16A
Spina 3P+T 400V 16A
La trifase occorre quando si devono
utilizzare tensioni maggiori, per
esempio in attività industriali o per
alimentare dispositivi che assorbono
grandi potenze ( forni elettrici, motori,
gru ecc.)
2
I SISTEMI TRIFASE
Supponiamo di volere alimentate tre carichi con tre generatori dovremmo realizzare
il seguente impianto in cui sono presenti 6 conduttori (chiamati L1, L2, L3, L’1,L’2,L’3).
L1
U1
I1
L3
L2
U1
V1
V1
I2
W1
W1
I3
VF1
Z1
VF2
Z2
VF3
I1
U2
L’1
Z3
U2
I2
V2
I3
L’2
V2
W2
W2
L’3
I tre generatori VF1, VF2, VF3 hanno i morsetti contrassegnati dalle lettere U, V, W
come prevede la norma CEI 16-2, mentre le linee sono denominate L1, L2, L3. 3
I SISTEMI TRIFASE
Si può fare di meglio. Si possono cioè eliminare tre conduttori con un conseguente
risparmio di rame e di ingombro di cavi. È sufficiente riunire in un solo cavo i tre fili di
ritorno della corrente cioè L’1 L’2 L’3, che chiameremo N.
U1
I1
U1
V1
I2
V1
W1
W1
I3
VF1
Z1
VF2
Z2
VF3
I1
Z3
I2
I3
IN = I1+I2+I3
N
N
4
I SISTEMI TRIFASE
Occorre però aggiungere un importante dettaglio matematico per giustificare che si
tratti di un vero risparmio di rame.
Supponiamo che le tensioni dei tre generatori siano sfasati tra loro di 120° ed abbiano
la stessa ampiezza (sistema simmetrico) di 325 volt (valore efficace = 230 volt). La
frequenza sia f = 50 Hz. Di seguito sono disegnati il diagramma vettoriale e
successivamente disegneremo le tre sinusoidi corrispondenti.
Facciamo la somma vettoriale dei tre vettori VF1, VF2, VF3. Il risultato è zero.
VF1
60°
120°
VF3
120°
VF1+ VF2
VF1+ VF2
VF1+ VF2+VF3 = 0
60°
VF2
VF3
= Lati uguali per costruzione
= Lato appartenente a triangolo equilatero
Vediamo nella prossima
diapositiva come si vedono
questi concetti usando le
sinusoidi.
5
I SISTEMI TRIFASE
trifase
V1-V2-V3
400
VF1
200
120° 120°
t (ms)
0
0
VF3
120°
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0,02
0,022
VF2
-200
-400
All’istante t = 0 il vettore VF1 assume il valore: 325*sen(90°)= 325 V.
V1+V2+V3 =
=325-162,5-162,5 = 0
Il vettore VF2 assume il valore: 325*sen(-30°) = 325*(-0,5)= - 162,5 V.
Il vettore VF3 assume il valore: 325*sen(210°) = 325*(-0,5)= - 162,5 V.
6
I SISTEMI TRIFASE
trifase
V1-V2-V3
400
V1
30°
200
V2
t (m s)
0
0
V3
0,002
0,004
0,006
0,008
0,01
0,012
0,014
0,016
0,018
0,02
0,022
-200
-400
Ruotiamo di 30° antiorario i tre vettori e ricalcoliamo il valore delle tre sinusoidi all’istante
corrispondente: t : [0,02 = 30° : 360°]. (t = 0,02/(360/30) = 0,02/12 = 0,001666 s.
V1 : 325*sen(120°) = 325*0,866 = 281V;
V1+V2+V3 = 281 + 0 - 281 = 0
V2 : 325*sen(0°) = 325*0 = 0 V;
V3 : 325*sen(240°) = 325*(- 0,866) = - 281 V
7
I SISTEMI TRIFASE
Si potrebbe continuare a ruotare il sistema di vettori, tuttavia anche per gli altri valori
angolari troveremmo la stessa conclusione. Si può quindi affermare, con questa prima
dimostrazione, che
un sistema trifase simmetrico è caratterizzato da:
tre vettori sfasati di 120° e
con ampiezza uguale e
la loro somma è pari a zero.
A questo punto consideriamo le correnti che scorrono nelle tre impedenze che
formano il carico. In generale Z1 Z2 Z3 possono essere diverse e quindi le tre
correnti che le attraversano sono diverse sia come ampiezza che come fase. Quindi
i vettori corrispondenti a queste correnti non rappresentano un sistema trifase, cioè
non sono sfasate di 120°.
Tuttavia l’ente che eroga energia elettrica suddivide opportunamente gli utenti
( cioè le impedenze) in modo che le tre correnti siano quasi dello stesso
valore e con sfasamenti vicini a 120°.
Se consideriamo tre impedenze uguali, cioè Z1 = Z2 =Z3 = Z il sistema trifase (oltre
ad essere simmetrico) si chiamerà anche equilibrato.
Concludiamo: simmetrico è riferito alle tensioni erogate, equilibrato alle correnti
8
assorbite dalle impedenze.
I SISTEMI TRIFASE
simmetrici ed equilibrati
Il disegno dello schema elettrico di solito si realizza in modi diversi da quello visto in
precedenza.
U
L1
I1
U
Z
VF1
N
VF3
I1
IN = I1+I2+I3 = 0
I3
VF2
N
I2
L3
W
W
I3
V
I2
L2
V
In questo schema la corrente del neutro è zero poiché anche le correnti formano
un sistema trifase simmetrico. Il filo di neutro è colorato di blu poiché è previsto
dalle norme CEI che tale cavo utilizzato negli impianti deve essere di questo
9
colore. I cavi di fase possono essere neri o marroni.
I SISTEMI TRIFASE
simmetrici ed equilibrati
Le correnti si calcolano con la legge di Ohm:
I1 = VF1 / Z;
I2 = VF2 / Z
I3 = VF3 / Z
L’impedenza Z introduce uno sfasamento a tra tensione e corrente uguale
per tutte le tre correnti. Lo sfasamento tra tensione e corrente può essere in
anticipo o in ritardo a seconda se Z è induttiva o capacitiva.
VF1
VF1
a
I1
I1
a
120°
I3
I2
120°
a
VF2
VF3
I2
a
Z induttiva = V in anticipo su I
a
VF3
a
I3
VF2
Z capacitiva = V in ritardo su I
10
I SISTEMI TRIFASE
collegamenti del carico a stella e a triangolo
Collegamenti norma CEI
V1
U1
W1
Collegamenti a forma geometrica
N
U1
Collegamento a stella
Z1
Z1
Z3
Z2
N ≡ U2 ≡ V2 ≡ W2
W1
V2
W2
U1
V1
W1
Z1
Z2
Z3
U2
V2
U1 ≡
W2
Collegamento a triangolo
W2
Z2
U2
V1
U2 ≡ V1
V2 ≡ W1
11
I SISTEMI TRIFASE
collegamento del generatore e classificazione delle tensioni
L1
U
U
V12
VF1
V31
N
N
VF3
W
W
V
L3
VF2
V23
V
L2
I generatori sono sempre collegati a stella.
TENSIONI DI FASE ( O STELLATE): tensioni tra una linea ( L1, L2, L3) e neutro (N). Sono
denominate VF1, VF2, VF3. Nelle linee di bassa tensione il loro è valore efficace vale 230V.
TENSIONE DI LINEA (O CONCATENATE): tensioni tra due linee L1 – L2, L2 – L3, L3 – L1
Sono denominate V12, V23, V31 ed il loro valore efficace è di 400 V.
12
I SISTEMI TRIFASE
classificazione delle correnti
CORRENTI DI LINEA: correnti che
attraversano i conduttori che collegano
il generatore trifase con il carico.
U
IL1
Sono indicate con i simboli IL1, IL2, IL3.
N
CORRENTI DI FASE: correnti che
attraversano le tre impedenze di cui è
formato il carico.
Sono indicate con i simboli I12, I23, I31.
Tra correnti di linea e di fase possiamo
scrivere le equazioni di Kirchoff:
IL3
W
V
IL2
IL1
I12= IL1+I31
1
I12
I23= IL2+I12
I31=IL3+I23
che si possono scrivere anche così:
IL1 = I12 - I31
IL2 = I23- I12
IL3 = I31 - I23
U
IL3
I31
I23
W
3
V
2
IL2
13
I SISTEMI TRIFASE
legame tra tensione di linea e di fase
VF1
V12
V31
V12
VF1
H
VF3
V23
VF2
-VF2
30°
60°
O
V12 = VF1 – VF2 = VF1 + (-VF2)
|VF1| = |VF2| = |VF3| = 230 V
3
OH  V F 1  cos(30)  V F 1 
2
3

2


 V F1  3
V 12
V F1
2
V L  3 V F
180°
120°
VF2
1. Le tensioni di linea hanno un modulo
maggiore di quella di fase: VF = 230 V
VL = 1,73*230  400 V
2. Le tensioni di linea formano una terna
trifase ruotata in anticipo di 30° sulla
14
terna di linea
I SISTEMI TRIFASE
legame tra tensione di linea e di fase
V12 = 400 V
VF1 = 230 V
30°
V23
30°
V L  3 V F
V L  1,73  V F
V L  1,73  230  400V
30°
VF3
VF2
1. Le tensioni di linea hanno un modulo
maggiore di quella di fase: VF = 230 V
VL = 1,73*230  400 V
V31
2. Le tensioni di linea formano una terna
trifase ruotata in anticipo di 30° sulla
terna di linea
15
I SISTEMI TRIFASE
legame tra tensione di linea e di fase
V12 = VF1 - VF2
600
V12
400
VF1
200
t1
0
0
0,005
0,01
0,015
t2
0,02
0,025
-200
-400
VF2
-600
t
Nei punti t1 e t2 ( dove le tensioni di fase sono uguali) si nota chiaramente che la
differenza tra VF1 e VF2 da come risultato zero (la tensione di linea).
16
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
Questi sono i sistemi più utilizzati, dall’ente erogatore di energia (ENEL), in quanto non è
garantito che il carico sia equilibrato. In pratica le tre impedenze che formano il carico non
è detto che siano uguali (carico equilibrato) e pertanto non è detto che il filo di neutro sia
percorso da corrente nulla. Ecco perché abbiamo 4 fili, tre di fase ed uno per il neutro.
L’ente tuttavia ripartisce i carichi in modo che gli squilibri siano minimi e così garantire una
corrente di neutro piccola.
Il generatore quindi è collegato a stella e produce tre tensioni di fase (o stellate) del valore
di 230 V e tre tensioni di linea (o concatenate) del valore di 400 V.
Consideriamo quindi un carico formato da tre impedenze diverse Z1, Z2, Z3 collegate a
stella con filo di neutro.
U1
V1
W1
Z2
Z3
N
U1
Z1
Z1
N ≡ U2 ≡ V2 ≡ W2
W1
U2
V2
V1
W2
Secondo la norma CEI
Collegamenti a forma geometrica
17
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
collegamento del carico a STELLA
L1
U
I1
VF1
I1
Z1
IN = I1+I2+I3
I2
N
L3
L2
I3
W
Z3
Z2
V
VF3
φ2
φ3
I3
VF2
I2
Z 1  R1  X 1 ;
Z 2  R 2  X 2 ; Z 3  R3  X 3
1  arctg ( XR11 );  2  arctg ( XR22 );  3  arctg ( XR33 )
I1 
φ1
V F1
Z1
; I2 
V F2
Z2
; I3 
V F3
Z3
Nel grafico si è
disegnato tre correnti
con le seguenti
caratteristiche:
Z1= induttiva
Z2= capacitiva
Z3= capacitiva
18
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
Calcolo grafico della corrente nel neutro
I1
I3
I2
IN
I1
I2
ESEMPIO
Un sistema trifase a quattro fili 3x400/230 V 50 Hz, alimenta tre diversi carichi,
Z1 = 10 + j 5 W, Z2 = 20 W , Z3 = 2 – j 4 W. Determinare le correnti nelle
impedenze, gli sfasamenti tra tensioni di fase e corrente, la corrente nel neutro.
5
)  arctg (0,5)  26,5
10
0
 2  arctg ( )  arctg (0)  0
20
4
 3  arctg ( )  arctg (2)  63,4
2
1  arctg (
2
2
Z 1  10  5  100  25  125  11,2 W
Z 2  20 W
2
2


 4  16  20  4,5 W
(

4
)
Z3
2
19
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
ESEMPIO continua….
|Z1|= 11,2 W, |Z2|= 20 W, |Z3|= 4,5 W;
I1 
V F1
Z1

230
 20,5 A;
11,2
Le tre fasi
calcolate sono
da intendersi
come l’angolo
tra VF di fase e
la corrente I di
linea. Tale
angolo è positivo
se VF è in
anticipo su I,
negativo se è in
ritardo (come
VF3 e I3)
I2 
V F2
φ1=26,5°, φ2=0°, φ3= -63,4°.

Z2
230
 11,5 A;
20
I3 
V F3
Z3

230
 51,1 A
4,5
Immaginaria
VF1
φ1 = 26,5°
I1
Reale
I2
VF2
VF3
φ3 = -63,4°
I3
φ2 = 0°
20
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
Il calcolo della corrente nel neutro si effettua scomponendo le tre correnti di linea
nella parte reale e immaginaria e poi sommandole. IN = (I1Re+I2Re+I3Re) + j
(I1Im+I2Im+I3Im)
Immaginaria
VF1
φ1 = 26,5°
I1Re=|I1|*cos(a1)=20,5*cos(63,5°)
a1 = 90° -26,5° = 63,5°
I1Re=|I1|*cos(a1)=20,5*0,446=9,15 A
I1Im
|I1| = 20,5 A
I1Im=|I1|*sen(a1)=20,5*sen(63,5°)
Reale
I1Im=|I1|*sen(a1)=20,5*0,895=18,35 A
I1Re
I1 = I1Re + j I1Im = 9,15 + j 18,35 A
21
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
Immaginaria
a2 = 30°
I2Re
I2Re=|I2|*cos(a2)=11,5*cos(30°)
I2Re=|I2|*cos(a2)=11,5*0,866 =9,96 A
Reale
|I2|= 11,5 A
I2Im
I2
I2Im= - |I2|*sen(a2)= - 11,5*sen(30°)
φ2 = 0°
VF2
I2Im= - |I2|*sen(a2)= - 11,5*0,5 = - 5,75 A
I2 = I2Re + j I2Im = 9,96 - j 5,75 A
22
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
Immaginaria
a3 = 180° - 30°- 63,4° = 86,6°
30°
I3Re
Reale
I3Re=|I3|*cos(a3) = 51,1*cos(86,6°)
I3Re=|I3|*cos(a3) = 51,1*0,059 = 3,03 A
VF3
I3Im= - |I3|*sen(a3)= - 51,1*sen(86,6°)
I3Im= - |I3|*sen(a3)= - 51,1*0,998 = - 51,01 A
|I3| = 51,1 A
I3
φ3 = 63,4°
I3 = I3Re + j I3Im = 3,03 - j 51,01 A
I3Im
23
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
CALCOLO CORRENTE DEL NEUTRO IN
I1 = I1Re + j I1Im = 9,15 + j 18,35 A
I2 = I2Re + j I2Im = 9,96 - j 5,75 A
I3 = I3Re + j I3Im = 3,03 - j 51,01 A
IN = I1 + I2 + I3 = (I1Re + j I1Im) + (I2Re + j I2Im) + (I3Re + j I3Im)
IN = (I1Re + I2Re + I3Re) + j (I1Im + I2Im + I3Im)
IN = (9,15+9,96+3,03) + j (18,35 – 5,75 – 51,01) = 22,14 – j 38,41 A
2
2
I N  22,14  38,41  490,2  1475,3  1965,5  44,3 A
 38,41
)  arctg ( 1,735)  60
I N  arctg (
22,14
24
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a quattro fili
GRAFICO CORRENTE DEL NEUTRO IN
IN = 22,14 – j 38,41 A
|IN| = 44,3 A;
N = -60°
Immaginaria
I2
I1
I2
22,14
Reale
Infatti: |I1| + |I2| + |I3| = 20,5+11,5+51,1= 83,1 A
- 60°
IN
- J 38,41
I3
NOTA: se effettuiamo la somma dei moduli
(errata) delle tre correnti di linea, otteniamo un
valore maggiore di quella vettoriale (corretta) e
quindi nel filo di neutro circola “meno” corrente.
Mentre il valore corretto è: IN = 44,3 A
I3
NOTA: se si effettua un “rifasamento” delle tre
correnti di linea rispetto alle relative tensioni di
fase, gli sfasamenti diminuirebbero (gli angoli 
sarebbero minori). Di conseguenza la terna di
corrente “tende” ad essere sfasata di 120° con
conseguente riduzione della corrente di neutro.
25
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici equilibrati
Questo è un caso particolare di quanto già studiato. Infatti ora abbiamo tre
impedenza uguali e quindi tre correnti di linea uguali, le quali formano un sistema
simmetrico. Come conseguenza si può eliminare il neutro. Vedere pag.10.
L1
U
I1
VF1
a
I1
Z
I3
IN = 0
N
a
I3
W
L3
L2
120°
Z
Z
I2
Z  Z 1  Z 2  Z 3  R  jX
a   
VF2
V
X
);
1
2
3
R
V F 230
I  I1  I 2  I 3 

Z
Z
VF3
I2
a
|IN| = 0
 arctg (
26
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Collegamenti secondo norma CEI
V
U
W
IL1
Collegamento geometrico
U
1
Z12
Z23
V31
Z31
I12
V1
Z31
2
Z12
I31
IL3
W
V23
I23
3
IL2
Z23
V
2
Tra correnti di linea e di fase possiamo scrivere le equazioni di Kirchoff:
I12= IL1+I31
I23= IL2+I12
I31=IL3+I23
che si possono scrivere anche così:
IL1 = I12 - I31
IL2 = I23- I12
IL3 = I31 - I23
NOTA: in questo collegamento non c’è il filo di neutro e le tensioni sulle tre impedenze
sono quelle concatenate che hanno modulo |VC| = 400 V
NOTA: la somma vettoriale delle correnti di linea deve essere zero
IL1 + IL2 + IL3 = 0 (sicuramente almeno una corrente ha verso opposto delle
altre e deve essere la loro somma)
27
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Possiamo affrontare adesso il problema di ricavare le correnti di linea conoscendo le
impedenze del carico e, naturalmente le tensioni sulle impedenze. Queste tensioni
sono riportate nel grafico seguente. In questo grafico sono presenti anche le tensioni
di fase rispetto alle quali sappiamo che c’è uno sfasamento in anticipo di 30°.
Tuttavia nel collegamento a
triangolo le tensioni di fase VF
non sono presenti, per cui esse
ci sono servite unicamente per
ricordare lo sfasamento appena
citato.
V12 = 400 V
VF1 = 230 V
30°
V23
30°
30°
VF3
VF2
V31
Ci conviene ora disegnare solo
le tensioni concatenate e riferire
i loro sfasamenti agli assi
cartesiani “parte reale” e “parte
immaginaria”. Il nuovo grafico è
disegnato nella diapositiva
successiva.
28
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Immaginaria
In questo grafico disegneremo
anche i vettori delle correnti
che scorrono nelle tre
impedenze ed evidenzieremo
gli sfasamenti tra esse e le
corrispondenti tensioni.
V12 = 400 V
30°
Reale
V23
30°
30°
30°
60°
Z 12  R12  X 12 ;
Z 23  R 23  X 23 ; Z 31  R31  X 31
X 12 );
X 23 );
X 31 )

arctg
(

arctg
(

arctg
(
12


23
3
R12
R 23
R31
I 12
V31

V 12
Z 12
; I 23 
V 23
Z 23
; I3 
V 31
Z 31
29
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Immaginaria
Nell’esempio di diagramma
vettoriale a fianco disegnato si è
ipotizzato che la corrente I12 sia in
ritardo su V12 (carico ohmicoinduttivo), che la corrente I31 sia in
anticipo su V31 (carico ohmicocapacitivo) e che la I23 sia in fase
con V23 (carico ohmico).
V12
I12
φ12
I23
Φ23=0
φ31
V23
Reale
Nella diapositiva successiva
si sviluppa un esercizio su
tale argomento.
I31
V31
30
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
ESEMPIO
Un sistema trifase a 400, 50 Hz, alimenta tre diversi carichi collegati a triangolo:
Z12 = 10 +j 15 W, Z23 = 5 W , Z31 = 5 – j 25 W. Determinare le correnti di linea.
X 12 )  arctg (15 )  arctg (1,5)  56,3;

arctg
(
12
10
R12
X 23 )  arctg ( 0 )  0;

arctg
(
 23
5
R 23
 25
 31  arctg ( XR3131)  arctg ( 5 )  arctg (5)  78,7
2
2
Z 12  10  15  100  225  325  18,03 W
Z 23  5 W
I 12 
V 12
I 23 
V 23
I 31 
V 31
Z 12
Z 23
Z 31
400

 22,19 A
18,03
400

 80 A
5

400
 15,69 A
25,5
 52    25  25  625  650  25,5 W
2
Z 31
31
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Immaginaria
V12
a12 =120° - 56,3° = 63,7°
I12= 22,19 A
I12 Im
φ12 = 56,3°
φ23=0
I12
V23
I23 = 80 A
Reale
Re
I31
φ31 = 78,7°
I31 Im
Re
I31 = 15,69 A
a31=120°-78,7° = 41,3°
I 12 Re  I 12  cos(a 12)  22,19  cos(63,7)  22,19  0,443  9,83 A
V31
I 12 Im  I 12  sen(a 12)  22,19  sen(63,7)  22,19  0,896  19,89 A
I 31Re  I 31  cos(a 31)  15,69  cos( 41,3)  15,69  0,751  11,79 A
I 31Im  I 31  sen(a 31)  15,69  sen(41,3)  15,69  0,66  10,36 A
32
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici squilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
I12 = 9,83 + j 19,89 A
I31 = 11,79 - j 10,36 A
I23 = 80 A
IL1 = I12 - I31 = (9,83 + j 19,89 ) – (11,79 - j 10,36 ) = - 1,96 + j 30,25 A
IL2 = I23 - I12 = (80) – (9,83 + j 19,89) = 70,17 – j 19,89 A
IL3 = I31 - I23 = (11,79 - j 10,36) – (80) = - 68,21 – j 10,36 A
Verifichiamo che la somma di queste tre correnti di linea sia proprio zero:
IL1 + IL2 + IL3 =(- 1,96 + j 30,25) + (70,17 – j 19,89) + (- 68,21 – j 10,36) =
= (-1,96+ 70,17- 68,21) + j (30,25 - 19,89 - 10,36)= 0 A
33
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici equilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Se il carico collegato a triangolo è formato da impedenze tutte uguali (carico equilibrato)
si trova una relazione importante tra correnti di linea IL e di fase IZ. Infatti i moduli delle
correnti sono uguali ed anche gli sfasamenti tra esse e la tensione relativa.
IL1
Immaginaria
U
V12
1
V31
Z31
2
Z23
V23
I31
I23
3
φ
Z12
W
V23
IL2
V1
I31
IL3
I12
I12
V
2
φ
φ
Reale
I23
V31
Dalle equazioni tra correnti di linea e di fase ricaviamo il diagramma vettoriale tra
di esse e di conseguenza la relazione matematica di cui abbiamo parlato:
IL1 = I12 - I31
IL2 = I23 - I12
IL3 = I31 - I23
34
I SISTEMI TRIFASE
Sistemi simmetrici equilibrati a tre fili e carico collegato a triangolo
Immaginaria
IL1 = I12 - I31
IL2 = I23 - I12
IL3 = I31 - I23
IL1
I12
- I23
IL3
- I31
Reale
I31
I23
I12
IL2
IL
IF
30°
H
60°
O
- IF
La terna di correnti di linea presenta
stesso modulo e sfasamento di 120°,
come per le altre terne simmetriche.
3
OH  I F  cos(30)  I F 
2
3
 3 IF
I L  2 I F 
2
IL  3 IF
35
I SISTEMI TRIFASE
Cosa succede se in collegamento a stella o a triangolo si interrompe una fase?
Possiamo studiare tale situazione prima per il collegamento a stella e poi per quello
a triangolo.
Interrompere una fase significa che una impedenza subisce una rottura e quindi la
corrente non può più passare in essa. In altri termini si dice che l’impedenze “si
apre”.
L1
IL1
U
I1
U
1
Z1
V31
IN
N
L3
L2
I3
Z3
I2 = 0
interruzione
W
V
V2
IL2
Z31
I31
IL3
W
I12= 0
V12
3
I23
3
Z23
V
2
interruzione
36
I SISTEMI TRIFASE
Collegamento a stella: consideriamo separatamente il caso di carichi squilibrati e
di carichi equilibrati
Carichi squilibrati a stella (con filo di neutro)
L1
U
I1
Z1
IN
N
L3
L2
I3
W
Z3
I2 = 0
interruzione
V
Questa situazione non presenta problemi per
le impedenze che sono ancora funzionanti
(Z1 e Z3 nell’esempio). Infatti le correnti
provenienti dal generatore (I1 ed I3
nell’esempio) attraversano Z1 e Z3 poi si
sommano e formano la corrente di neutro.
Quindi IN = I1 + I3.
In pratica le due impedenze rimaste in
funzione continuano a funzionare
indipendentemente dal guasto.
Questa situazione si può verificare quando le
tre impedenze rappresentano tre zone
abitate. Se ad una manca corrente le altre
due continuano a funzionare.
37
I SISTEMI TRIFASE
Carichi equilibrati a stella (senza filo di neutro) con impedenza interrotta
L1
La situazione presentata a lato
presenta una impedenza interrotta (sul
ramo V), quindi la corrente I2S si
annulla. La corrente proveniente dalla
linea 1, cioè I1S, percorre due
impedenza che ora si trovano in serie
e sarà uguale alla I3S (sfasata di 180°).
U
I1S
Vz
Z
V31
CS
Vz
I3S = - I1S
L3
L2
Vo
W
V
Z
Il carico ora è squilibrato (pedice “s”).
Prima dell’interruzione i moduli delle
due correnti valevano:
I2S = 0
interruzione
|I1| = VF1 / Z = 230 / Z
|I3| = VF3 / Z= 230 / Z
Dopo l’interruzione le due impedenze in serie hanno ai loro capi la tensione concatenata
V31 = 400 V, quindi la corrente (squilibrata) vale:
3 V F
V 31
VF



0
,
866

I 1s
2 Z
2 Z
Z
Quindi la corrente è diminuita del
fattore 0,866 rispetto a prima dello
squilibrio.
38
I SISTEMI TRIFASE
Carichi equilibrati a stella (senza filo di neutro) con impedenza interrotta
I 1s 
3 V F
V 31
V

 0,866  F
2 Z
2 Z
Z
Calcoliamo i moduli delle tensioni sulle due
fasi integre, applicando la legge di Ohm.
V 31
V
 Z  31
V Z  I 1s  Z 
2 Z
2
VF
 Z  0,866 V F
V Z  I 1s  Z  0,866 
Z
V Z  0,866  230  200 V
Anche in questo caso notiamo che la
tensione sulle due fasi integre è diminuita
dello stesso fattore 0,866. Quindi passa da
230 V a 200 V cioè alla metà della tensione
concatenata.
Come ultima osservazione bisogna notare che il centro stella delle impedenze (CS) non
ha più la stessa tensione del centro stella del generatore. Tra questi due centri stella c’è
quindi una differenza di potenziale.
Ai capi della impedenza interrotta si presenta quindi una tensione più elevata di quella
presente in assenza di interruzione. Si può dimostrare che il valore VO = 342 V.
Questa tensione più elevata non può produrre ulteriori danni poiché la fase è già
interrotta, ma occorre tenere presente questo fatto se occorre fare delle misure.
39
I SISTEMI TRIFASE
Carichi equilibrati a triangolo con impedenza interrotta
Il caso più frequente di collegamento a triangolo sono i motori ed i primari dei
trasformatori. Essi sono costruiti con carichi equilibrati e quindi studiamo questo caso.
IL1
IL1
U
U
1
V3
IL3
IL2
I12
V12
1
Z
3
IL1 = I12 - I31
IL2 = I23 - I12
IL3 = I31 - I23
V31
Z
I31
W
V2
1
I23
3
Z
V
W
V2
IL2
IL  3 IF
Z
I31
IL3
2
I12 = 0
I12= 0
V12
I23
3
3
Z
2
interruzione
IL1 =
IL2 =
IL3 =
- I31
I23
I31 - I23
I moduli di IL1 ed IL2 diventano uguali alle correnti nelle impedenze e quindi diminuiscono il loro
valore di √3. il valore di IL3 invece resta invariato. Le tensioni sulle impedenze non cambiano40e
quindi esse continuano ad assorbire la stessa corrente sia in modulo che in fase.
I SISTEMI TRIFASE
U
E SE SI ROMPE IL FILO DI NEUTRO?
L1
U
I1
VZ1
VF1
I1
Terra = G
VF3
VNG
I3
Neutro = N
VZ2
VZ3
VF2
L3
W
Z
W
V
I3
L2
I2
La conseguenza
della rottura del
filo di neutro è lo
stabilirsi di una
differenza di
potenziale tra
centro stella
generatori G
(Ground =
tensione zero) e
quello del carico
V
N.
I2
Questa tensione VNG diventa il punto di riferimento delle tensioni delle tre impedenze.
Quindi si può fare un grafico in cui si evidenziano i due centri stella e le tensioni che
ad essi si riferiscono, in modo da valutare gli effetti di una rottura del neutro.
Per i motivi che si capiranno dopo avere disegnato il diagramma suddetto è vietato
inserire sul conduttore di neutro una protezione mediante fusibili.
41
I SISTEMI TRIFASE
E SE SI ROMPE IL FILO DI NEUTRO?
Immaginaria
Il calcolo della tensione VNG si deve fare con il
teorema di Millmann e successivamente si
può tracciare il vettore corrispondente.
VZ1
VF1
G
VF3
VZ3
N
VNG
VZ2
VF2
Teorema di Millmann
V F1  V F 2  V F 3
Z1
Z2
Z3
V NG 
1
1
1


Z1 Z 2 Z 3
Reale
Successivamente si possono ricavare le
tensioni sulle impedenze dalle equazioni di
Kirchoff.
Ricordando che la terra G è lo zero per
convenzione delle tensioni, possiamo scrivere:
VF1 = VZ1+VNG
e quindi VZ1 = VF1 – VNG
VF2 = VZ2+VNG
e quindi VZ2 = VF2 – VNG
VF3 = VZ3+VNG
e quindi VZ3 = VF3 – VNG
Dal diagramma disegnato si ricava che tra
neutro N e terra G si potrebbe avere una
tensione elevata (centinaia di Volt: dipende
dalle impedenze!) con relativo pericolo di
folgorazione per chi toccasse il neutro. Di
regola invece il neutro non deve essere 42
pericoloso.
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Il calcolo delle potenze ATTIVA, REATTIVA ed APPARENTE si effettua come
di seguito.
Potenza attiva: P = P1 + P2 + P3
Si sommano le potenze attive assorbite dalle resistenze contenute nelle tre
impedenze che formano il carico.
Potenza reattiva: Q = Q1 + Q2 + Q3
Si sommano algebricamente le potenze reattive immagazzinate dalle
induttanze e capacità contenute nelle tre impedenze che formano il carico
(dobbiamo tenere conto del segno delle potenze reattive: positive per le
induttanze e negative per le capacità).
Potenza apparente: S2 = P2 + Q2
Bisogna utilizzare nella formula di S la potenza attiva P TOTALE e la potenza
reattiva Q TOTALE.
43
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
I1
L1
U
V12
V31
VF1
Z 1  R1  X 1 ;
Z 2  R 2  X 2 ; Z 3  R3  X 3
1  arctg ( XR11 );  2  arctg ( XR22 );  3  arctg ( XR33 )
Z1
IN
N
L3
L2
Z3
I3
I2
V23
VF3
W
I1 
Z2
VF2
V
V F1
Z1
; I2 
V F2
Z2
; I3 
V F3
Z3
VL = tensione di linea (V12, V23, V31)
VF = tensione di fase (VF1, VF2, VF3)
V L  3 V F
P  V F 1  I 1  cos(1)  V F 2  I 2  cos( 2)  V F 3  I 3  cos( 3)
Q  V F 1  I 1  sen(1)  V F 2  I 2  sen( 2)  V F 3  I 3  sen( 3)
S  P Q
2
2
44
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Caso sistemi simmetrici ed equilibrati
In questa situazione le equazioni precedenti si semplificano. Infatti in tale caso i
moduli delle correnti sono uguali ed anche gli sfasamenti. Quindi le formule
diventano come segue.
P  3  V F  I  cos( )
Q  3 V F  I  sen ( )
siccome V C  3 V F
P  3  3  V F  I  cos( )  3 V C  I  cos( )
Q  3  3  V F  I  sen ( )  3  V C  I  sen ( )
S  P2  Q2 
S
2
2
3


I

cos(

)

3


I

sen
(

)
 VF
  VF

2 
2
2
3


I

cos


sen

 V F  
 
   3 V F  I  3 V C  I


45
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Caso sistemi simmetrici ed equilibrati
RIEPILOGO
P  3 V F  I  cos(  )
P  3 V C  I  cos(  )
Q  3 V F  I  sen ( )
Q  3 V C  I  sen ( )
S  P 2  Q 2  3 V F  I  3 V C  I
46
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Le formule scritte per le potenze utilizzano le tensioni di fase riferite al centro
stella. Tuttavia si può cambiare il punto di riferimento delle tensioni per
semplificare le formule e la misura. Occorre considerare che le potenze non
possono dipendere dal riferimento delle tensioni poiché sono grandezze
energetiche. Quindi qualunque sia il riferimento delle tensioni le potenze
calcolate o misurate non cambiano. Esiste per la dimostrazione di questa
affermazione il teorema di Aron. Consideriamo come riferimento il filo 3.
1
I1
L1
VF1
U
V13
V13
φ1
VF1
Z1
30°
Z2
Z3
I1
a
I1
30°
I2 φ2
L3
L2
I2
V23
W
VF3
VF2
VF1 = V13; VF2 = V23; VF3 = 0
VF2
3≡O
V
I2
b
V23
a  1  30
b   2  30
2
47
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
L’espressione delle potenze si possono semplificare con le formule seguenti.
P  V 13  I 1  cos(1  30)  V 23  I 2  cos( 2  30)
Q  V 13  I 1  sen(1  30)  V 23  I 2  sen( 2  30)
a  1  30
b   2  30
P  V 13  I 1  cos(a )  V 23  I 2  cos( b )
Q  V 13  I 1  sen (a )  V 23  I 2  sen ( b )
S  P Q
2
2
48
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Utilizziamo la formula della potenza attiva che abbiamo ricavato in precedenza per
effettuare praticamente la sua misura. Questo metodo e schema di misura è dovuto ad
Aron. Con esso si può misurare la potenza attiva per ogni sistema anche non
simmetrico e non equilibrato.
Invece è possibile misurare la potenza reattiva solo su sistemi simmetrici ed equilibrati.
Per la potenza attiva si userà le formula e lo schema seguenti, in un sistema generico.
P  V 13  I 1  cos(1  30)  V 23  I 2  cos( 2  30)
±
U
±
L1
V
L3
WA
V13
±
±
L2
W
I1
I2
WB
V23
49
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Dallo schema risulta che il wattmetro WA misura la potenza attiva tra i fili L1 ed L3,
per cui la potenza che misurerà sarà uguale PA = V13*I1*cos( φ1 - 30°).
Analogamente il wattmetro WB misura la potenza attiva tra i fili L2 ed L3, per cui la
potenza che misurerà sarà uguale PB = V23*I2*cos( φ2 + 30°).
Queste due potenze attive sono quelle che compaiono nella formula generale.
Quindi possiamo concludere che con il metodo di Aron si ottiene la potenza attiva
totale sommando PA e PB.
P = PA + PB
50
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Considerazioni sul metodo di Aron
Nella formula della potenza usata nella misura di Aron compaiono due coseni: PA =
V13*I1*cos( φ1 - 30°) e PB = V23*I2*cos( φ2 + 30°). I due angoli φ1 e φ2 sono quelli che
si formano tra la corrente e la corrispondente tensione di fase, cioè con VF1 e VF2 e
si devono considerare positivi se il carico è ohmico-induttivo (corrente in ritardo),
negativi se il carico è ohmico – capacitivo (corrente in anticipo).
1
1
VF1
VF1
V13
V13
φ1
I1
φ1
φ1 > 0
φ2 > 0
I1
φ1 < 0
φ2 < 0
φ2
I2 φ2
VF2
I2
VF2
3≡O
3≡O
V23
Carico ohmico-induttivo
(corrente in ritardo)
2
V23
Carico ohmico – capacitivo
(corrente in anticipo)
2
51
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Considerazioni sul metodo di Aron
caso di carico ohmico _ induttivo
PA = V13*I1*cos( φ1 - 30°) e PB = V23*I2*cos( φ2 + 30°).
Possiamo avere i seguenti casi:
• φ2 = 60°, allora cos( φ2 + 30°) = cos(90°) = 0; in questo caso PB=0 e quindi la
potenza è misurata tutta da PA .
• φ2 > 60°, ( φ2 + 30°) > 90° e quindi il coseno diventa negativo. Ciò significa che il
wattmetro WA tende a segnare “all’indietro”. Per eseguire la lettura si deve invertire
la corrente nella bobina voltmetrica e la potenza misurata dal wattmetro deve
essere considerata negativa.
NOTA: 0 ≤ φ1 ≤ 90° allora – 30 ≤ (φ1 - 30°) ≤ 60° e quindi il cos( φ1 - 30°) > 0;
0 ≤ φ2 ≤ 90° allora 30 ≤ (φ2 + 30°) ≤ 120°.
Quindi se: 30° ≤ (φ2 + 30°) ≤ 90° il cos(φ2 + 30°) ≥ 0,
mentre se: 90° < (φ2 + 30°) ≤ 120° il cos(φ2 + 30°) < 0
52
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Considerazioni sul metodo di Aron
caso di carico ohmico _ capacitivo
Si scambiano le situazioni dei due wattmetri del carico ohmico - induttivo
53
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Nel caso di sistemi simmetrici ed equilibrati la formula della potenza attiva si semplifica
poiché le tre correnti di linea hanno lo stesso modulo e sono sfasate dello stesso
angolo dalla tensione corrispondente. Quindi la formula della potenza attiva diventa:
P  V 13  I 1  cos(1  30)  V 23  I 2  cos( 2  30)
se V 13  V 23  V C
e 1   2  
I1  I 2  I
la potenza P si semplifica :
e
P  V C  I  cos(  30)  V C  I  cos(  30)
54
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
La formula appena trovata si può semplificare come di seguito.
P  V C  I  cos(  30)  V C  I  cos(  30)
P  V C  I  [cos(  30)  cos(  30)]
P  V C  I   [cos( )  cos(30)  sen ( )  sen (30)]  [cos( )  cos(30)  sen ( )  sen (30)]
P  2 V C  I  cos( )  cos(30)
3
2
P  3  V C  I  cos( )
cos(30) 
55
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Considerazioni sulle letture dei due wattmetri WA e WB
P  P A  P B  3  V C  I  cos( )
P A  V C  I  cos(  30)
P B  V C  I  cos(  30)
Carico ohmico: φ = 0° ===> PA = VC*I*cos(-30°) = √3/2; PB = VC*I*cos(+30°) = √3/2;
quindi
P A  PB 
3
V C  I
2
Carico ohmico_induttivo: φ > 0° si ha sempre (φ + 30°) > (φ - 30°) e quindi si ha
cos(φ + 30°) < cos(φ - 30°) e di conseguenza il wattmetro PB indica una potenza
sempre minore di PA.
Si dice che PA è il wattmetro maggiore e PB è il wattmetro minore
56
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Carico ohmico_capacitivo: si scambiano le parti dei due wattmetri, cioè
Si dice che PA è il wattmetro minore e PB è il wattmetro maggiore
57
I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza attiva con metodo di Aron
Abbiamo già notato nel caso generale che se φ = 60° il wattmetro WB legge potenza
PB = 0. anche ora questa situazione è confermata.
PA = VC*I*cos( 60° - 30°)= VC*I*cos(30°) = VC*I*√3/2; PB = VC*I*cos( 60° + 30°)=0
La potenza è misurata completamente dal wattmetro WA.
Se l’angolo φ > 60° allora il wattmetro WB segnerà una potenza negativa. Infatti:
(φ + 30°) > 90° e quindi cos(φ + 30°) < 0 cioè PB = VC*I*cos(φ + 30°) < 0. quindi
occorrerà invertire la bobina amperometrica e la potenza letta si deve considerare
negativa.
Se φ > 90° (carico completamente induttivo) le letture dei due wattmetri saranno:
PA = VC*I*cos( 90° - 30°)= VC*I*cos(60°) =½* VC*I;
PB = VC*I*cos( 90° + 30°)= VC*I*cos( 120°) = -½*VC*I*
I due wattmetri danno valore uguale ma segno opposto. Ciò è coerente con il tipo di
carico (completamente induttivo) che non assorbe potenza attiva, ma immagazzina
solo potenza reattiva.
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I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza reattiva con metodo di Aron
È possibile misurare la potenza reattiva con il metodo di Aron?
Nel caso generale (sistemi non simmetrici e non equilibrati) non è possibile con
il metodo a due wattmetri. Infatti nella formula della potenza reattiva compaiono
delle funzioni seno applicate ad angoli qualsiasi e che quindi non è possibile
riportarli a coseni (come occorrerebbe per avere la potenza con wattmetri)
Q  V 13  I 1  sen(1  30)  V 23  I 2  sen( 2  30)
Se invece abbiamo sistemi simmetrici ed equilibrati la misura di potenza reattiva è
possibile usando due wattmetri, cioè misurando due potenze attive. Consideriamo
ancora le espressioni delle potenze PA e PB per i sistemi citati e troviamo la formula
della potenza reattiva.
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I SISTEMI TRIFASE
LA POTENZA
Misura della potenza reattiva con metodo di Aron
P A  P B  V C  I  cos(  30)  V C  I  cos(  30) 
 V C  I  cos   cos 30  sen  sen30  cos   cos 30  sen  sen30 
 2  V C  I  sen  sen30
1
poichè sen30 
2
P A  P B  V C  I  sen
moltiplica ndo ambo i membri per 3 , si ha :
3  P A  P B   3  V C  I  sen
Q  3  V C  I  sen
Concludiamo quindi che:
Q  3  P A  P B 
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