Introduzione ai
Metodi Inversi
Metodi Inversi
Stima dei parametri di un modello a
partire dalle osservazioni (dati)
• stima del parametro
• incertezza sul valore
• risoluzione
Metodi Inversi
Il modello è una relazione matematica che
esprime il legame tra dati e parametri
Problema Lineare
La relazione tra dati e parametri è lineare:
Problema Lineare
Esempio di un classico problema lineare:
stima dei parametri:
m1=coefficiente angolare
m2=ordinata all’origine
Metodo dei Minimi Quadrati
y=m1x+m2
I valori di “best fit” di m1 e
m2 sono quelli che rendono
minima la norma L2:
Metodo dei Minimi Quadrati
N equazioni
(con N numero dei dati)
sistema in forma matriciale
Y
X
M
Metodo dei Minimi Quadrati
Soluzione del problema ai MQ
Localizzazione dei Terremoti
La localizzazione dei terremoti è un problema inverso
Localizzazione dei Terremoti
DATI:
tempi dei primi arrivi delle onde P/S alle stazioni
MODELLO:
Localizzazione dei Terremoti
PARAMETRI:
coordinate ipocentrali
x H,
tempo origine del terremoto
y H,
T0
zH
Localizzazione dei Terremoti
La localizzazione dei terremoti NON è un problema lineare!
Come si fa?
Localizzazione dei Terremoti
Si linearizza!!!
sviluppo in serie di Taylor
arrestato al primo ordine
*  soluzione di prova (o riferimento)
D  differenza tra il parametro attuale e quello di prova
Localizzazione dei Terremoti
date N letture di tempi P/S si ha
ossia
con
Localizzazione dei Terremoti
Il vettore M si calcola mediante soluzione ai minimi quadrati
(xH, yH, zH; T0) è la nuova soluzione di prova
Il procedimento iterativo si ripete finché SRi non diventa minore di
un valore prestabilito (errore sui dati)