EOMETRIA
“I primi elementi”
I punti non si riescono a dividere,
ma quando decidono di unirsi possono creare di tutto
(segmenti, rette, curve e superfici; ma anche immagini sullo
schermo della televisione, quadri, e perfino molte espressioni della
lingua italiana)
IPSSAR - Soverato
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
Osserva le seguenti immagini
Chiesa di S.Miniato a Firenze
Gli oggetti in esse raffigurati sono molto diversi fra loro, ma ci sono degli
elementi comuni
 tutti occupano un certo spazio
 ognuno di essi ha una forma precisa
 ci sono delle forme che sono comuni ad alcuni oggetti
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Osservando le figure possiamo dire che il quaderno ad anelli ha le pagine
rettangolari con i fori circolari, la squadretta ha la forma triangolare, la palla è
sferica e presenta disegni a forma di pentagono, nella facciata della chiesa,
oltre alle porte di forma rettangolare, spiccano elementi decorativi a forma di
rettangolo, cerchio, semicerchio e strutture triangolari
Il triangolo, il rettangolo, il pentagono o più in generale un poligono sono modelli
ideali che servono per descrivere la realtà che ci circonda ed individuare le
proprietà comuni ad alcuni oggetti. La scienza che si occupa di studiare le
proprietà di questi oggetti si chiama geometria.
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Dominijanni
La parola geometria deriva dalla fusione dei due vocaboli della lingua greca
“geo”(terra) e “metrein” (misurare).
La sua origine è antichissima se si pensa che già gli antichi
egizi si servivano di forme ideali come i triangoli per costruire
le piramidi e che sapevano come effettuare le misurazioni dei
terreni, i cui confini venivano periodicamente cancellati dalle
inondazioni del Nilo
A quell’epoca la geometria non poteva ancora dirsi una scienza, perché fu
solo parecchi secoli dopo che cominciò a svincolarsi dai problemi pratici e a
svilupparsi come scienza razionale. Questo passaggio si realizzò
gradualmente dal VI al III sec. a.C., per opera di grandi matematici:
Talete (ca. 624-545 a.C.)
Pitagora (ca. 570-490 a.C.)
Archimede (ca. 287-212 a.C.)
e soprattutto
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Euclide (ca.367283 a.C.)
Euclide nacque ad Alessandria intorno al 300 a.C. ed è considerato il più
famoso matematico di tutti i tempi. La sua popolarità è dovuta alla sua
maggiore opera: gli Elementi, un trattato dove Euclide raccolse tutte le nozioni
di geometria note a quell’epoca.
La geometria di Euclide è sostanzialmente quella che ancora oggi si
studia in tutte le scuole e che si dice appunto geometria euclidea.
Come in ogni disciplina, anche in geometria vi è la necessità di dare
definizioni che servano ad individuare senza equivoci un oggetto
geometrico.
A proposito delle definizioni, nasce una difficoltà. Per definire un concetto bisogna
utilizzare vocaboli che fanno riferimento ad altri concetti, che a loro volta vanno
definiti, utilizzando altri vocaboli … e così via, con il rischio che vi siano concetti
che rimandano l’uno all’altro. Per scongiurare questo rischio, si prese atto che
bisogna rinunciare a definire alcune nozioni dette per questo primitive.
In geometria, dunque, è necessario introdurre alcuni enti ideali primitivi, dei
quali non viene data alcuna definizione.
Gli enti primitivi della geometria sono: punto, retta, piano.
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Dominijanni
Non è possibile dare una definizione di questi oggetti; tuttavia, affinché tutti ne
abbiano la stessa immagine, possiamo fare delle analogie fisiche, indicano per
es. come:
punto la traccia che la punta di una matita lascia su un foglio
•
retta un filo molto sottile ben teso che si estende illimitatamente
piano la pagina superiore di un foglio di carta ben teso e pensato illimitato.
α
Occorre però tenere presente che il punto, la retta ed il piano sono enti
geometrici astratti e che il punto non ha dimensioni, la retta ed il piano sono
illimitati e senza spessore; mentre la traccia della punta della matita, il filo e il
foglio di carta sono oggetti tridimensionali perché concreti.
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Nei primi anni di scuola si studia la geometria intuitiva il cui scopo è
quello di intuire le proprietà degli enti geometrici attraverso
l’osservazione e l’esperimento su corpi reali o modelli fisici.
Negli anni successivi si passa allo studio della geometria razionale,
che altro non è che la geometria intuitiva precisata nei suoi concetti e
nei suoi procedimenti
La geometria razionale è impostata come una scienza ipotetico-deduttiva,
cioè una scienza la cui costruzione procede nel modo seguente:
Si introducono alcuni oggetti detti enti primitivi o fondamentali, e si suppone
che essi verifichino alcune proprietà dette assiomi o postulati; a partire dagli
enti fondamentali e dagli assiomi si deducono proposizioni dette teoremi.
Un teorema è quindi un’affermazione di cui bisogna controllare la verità
mediante un ragionamento che si dice dimostrazione.
La dimostrazione di un teorema è costituita da una sequenza di affermazioni
che, partendo dall’ipotesi, conducono alla tesi.
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Concludendo
GEOMETRIA
Può essere
INTUITIVA
Si basa su
RAZIONALE
Parte da
CONCETTI
OSSERVAZIONI
PROVE
TENTATIVI
PRIMITIVI
ASSIOMI
Definiti mediante
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Dominijanni
Indice
I contenuti
 Gli elementi fondamentali della geometria euclidea
 Postulati e teoremi
 Punto
 Retta
 Piano
 Postulati riguardanti gli enti elementari
 Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
(semirette, segmenti, angoli
Gli obiettivi
 Comprendere il significato di “dimostrazione”
 Cogliere la differenza fra postulato e teorema
 Approfondire la conoscenza degli enti geometrici
fondamentali
 Operare con segmenti ed angoli
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I punti di partenza della geometria
Gli enti primitivi della Geometria sono:
PUNTO
RETTA
PIANO
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Gli elementi fondamentali della geometria
Gli enti fondamentali della geometria sono: il punto, la retta, il piano dei
quali non è data definizione: la loro natura risulta però determinata da
particolari affermazioni che sono chiamati assiomi o postulati.
(Sui postulati o assiomi non si discute: li si considera veri!!!)
Mediante questi enti elementari si definiscono tutte le altre figure
geometriche.
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PUNTO
 PUNTO
Se poggiate la punta di una matita su un foglio di carta la traccia
lasciata dalla matita vi dà l’idea approssimativa di un punto.
Il punto geometrico lo dovete però pensare senza dimensioni; esso
indica soltanto una posizione.
Per distinguere un punto dall’altro, si pone accanto a ciascuno di essi
la lettera maiuscola dell’alfabeto; diremo perciò: punto A, punto B, ecc.
•A
•C
•D
•B
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RETTA
 RETTA
Un filo molto sottile, teso per i due estremi, dà l’immagine concreta di
una retta.
A differenza di questa, la retta geometrica si deve pensare illimitata e
senza spessore.
Su di una retta si possono segnare infiniti punti
Per distinguere una retta dall’altra si pone accanto a ciascuna di esse
Una lettera dell’alfabeto minuscolo; si dirà: retta a, retta b, ecc.
retta a
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PIANO
 PIANO
Un sottile foglio di carta, la superficie dell’acqua stagnante di un lago,
forniscono delle immagini concrete di un piano.
Si tratta naturalmente di immagini molto approssimative perché il
piano geometrico, oltre a non avere spessore, si deve pensare come
indefinitamente esteso in tutti i sensi
I piani si indicano generalmente con le lettere dell’alfabeto greco:
α (alfa), β (beta), γ (gamma), ecc.
α
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Piano α
Postulati riguardanti gli enti elementari
 Alla retta appartengono infiniti punti
 Al piano appartengono infinite rette e quindi infiniti punti
 Esistono infinite rette
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Postulati riguardanti gli enti elementari
 Per due punti distinti passa una sola retta
•
A
•
B
 Per un punto passano infinite rette (l’insieme di tale rette è chiamato fascio
poprio)
A
 Una retta può essere percorsa in due versi, l’uno opposto all’altro
La retta è illimitata e continua, vale a dire non ha fine né inizio; fra due
suoi punti qualunque ne esistono infiniti altri e non ha “buchi”.
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Semiretta – Si dice semiretta ciascuna delle due parti in cui una retta
rimane divisa da un suo punto.

semiretta
A
•
semiretta
origine
Segmento – Un segmento è la parte di retta limitata da due suoi
punti che si dicono estremi del segmento

A
•
segmento
B
•
estremi
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari

Segmenti consecutivi - Due segmenti aventi un estremo in comune si
dicono consecutivi
A
C
•
B

Segmenti adiacenti - Due segmenti si dicono adiacenti se sono
consecutivi ed appartengono alla stessa retta
A
•
B
•
C
•
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Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
Una linea formata a più segmenti consecutivi prende il nome di linea
spezzata
Una spezzata può essere aperta, chiusa o intrecciata
C
A
B
E
D
Spezzata chiusa
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Spezzata aperta
Spezzata
intrecciata
Nuovi enti definiti tramite gli enti elementari
 ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui viene diviso un piano
da due semirette aventi l’origine in comune
Angolo
concavo
Angolo convesso
Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi
lati
Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei
suoi lati
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Angoli particolari
 Angolo PIATTO - Quando la semiretta OA ruota intorno ad O di
mezzo giro, assume la posizione OB, diventa cioè opposta ad OA.
In questo caso si dice che AÔB è un angolo piatto [un lato è il
prolungamento dell’altro ( 180 °)]
Angolo piatto
A
O
PIATTO:180°
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B
Angoli particolari
 Angolo GIRO - Se invece OA ruota di un giro completo intorno
ad O, descrive tutto il piano. Si dice in tal caso che AÔB è un
angolo giro [ i due lati sono sovrapposti (360°)]
B
O
Angolo giro
A
GIRO: 360°
 Angolo nullo - Se la semiretta OA rimane nella posizione
iniziale coincidente con OB, cioè se ha una rotazione nulla, si
dice che AÔB è un angolo nullo
B
A
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O
Angoli particolari
Un angolo si dice RETTO se è la metà di un angolo piatto
RETTO:90°
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Angoli particolari
Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto
OTTUSO: > di 90°
Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto
ACUTO: < di 90°
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Angoli particolari
 Angoli CONSECUTIVI - Due angoli si dicono consecutivi se
hanno lo stesso vertice, un lato in comune e gli altri due lati
situati da parte opposta rispetto al lato comune
C
Lato comune
B
O
A
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Angoli particolari
 Angoli ADIACENTI - Due angoli si dicono adiacenti se oltre ad
essere consecutivi, hanno i lati non comuni appartenenti ad una
stessa retta
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Angoli particolari
 Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i
prolungamenti dell’altro
O
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 Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono
SUPPLEMENTARI
 Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono
COMPLEMENTARI
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Dominijanni
 Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono
ESPLEMENTARI
A cura della Prof.ssa Maddalena
Dominijanni
 Concetti o enti primitivi
Enti che non definiamo esplicitamente
 Assiomi o postulati
Proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto
non dimostriamo
 Teoremi
I teoremi sono proposizioni del tipo se… allora…. Le
proposizioni che seguono il se sono le ipotesi del teorema,
mentre quella che segue l’allora è la tesi del teorema. La tesi
deve essere derivata dalle ipotesi ragionando correttamente e
avvalendosi dei postulati o delle conoscenze già consolidate,
vale a dire dei risultati di altri teoremi.
A cura della Prof.ssa Maddalena
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