GEOMETRIA EUCLIDEA o RAZIONALE CONCETTI FONDAMENTALI GEOMETRIA Può essere INTUITIVA Quella sviluppata dagli antichi Egizi Può essere RAZIONALE Quella sviluppata dagli antichi Greci (organizzata da Euclide) INTUITIVA Si basa su OSSERVAZIONI PROVE TENTATIVI ESPERIENZE RAZIONALE Parte da ENTI e CONCETTI PRIMITIVI Non definibili, ma ASSIOMI o descritti mediante POSTULATI Concetti e enti primitivi Concetti e enti che non si possono definire con idee più elementari Assiomi o postulati Affermazioni che esprimono delle proprietà evidenti, suggerite dalla nostra intuizione e dalla nostra esperienza. Sono proprietà che “supponiamo” essere vere e che pertanto non dimostriamo. ENTI e CONCETTI PRIMITIVI ASSIOMI o POSTULATI Da cui si deducono Mediante definizioni ENTI GEOMETRICI NON PRIMITIVI Mediante dimostrazioni PROPRIETA’ dei NUOVI ENTI GEOMETRICI (=TEOREMI) DALLA GEOMETRIA INTUITIVA (degli antichi Egizi studiata nelle scuole elementari e medie) ALLA GEOMETRIA RAZIONALE (degli antichi Greci studiata nelle scuole superiori) Enti geometrici primitivi Gli enti primitivi della geometria sono: PUNTI RETTE PIANI SPAZIO Concetti primitivi Tra i concetti primitivi della geometria vi sono ad esempio quelli di MOVIMENTO RIGIDO: una figura può muoversi nel piano e nello spazio senza deformarsi; APPARTENENZA: un ente geometrico fa parte di un altro Assiomi o Postulati Gli assiomi scelti devono soddisfare le seguenti condizioni: COMPATIBILITA’: non devono contraddirsi l’uno con l’altro INDIPENDENZA: dalle proprietà affermate dell’uno non si devono poter dedurre le proprietà affermate dell’altro Assiomi fondamentali - Una retta contiene infiniti punti - Un piano contiene infiniti punti e infinite rette - Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani Assiomi di appartenenza - Per due punti distinti passa una ed una sola retta (= due punti distinti appartengono a una sola retta) - Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano (= tre punti non allineati appartengono a un solo piano) - La retta passante per due punti distinti di un piano giace completamente sul piano Assioma di ordinamento -La retta è un insieme di punti totalmente ordinato, tale che: - Dati due punti A e B, o A precede B o B precede A. A B - Se A precede B e B precede C, allora A precede C. A B C Postulato di partizione del piano Una retta r di un piano divide il piano in due parti non vuote tali che: r A B •Se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte r C D •Se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto Enti geometrici non primitivi: definizioni SEMIRETTA: ciascuna delle parti in cui una retta è divisa da un suo punto. Il punto è detto: ORIGINE delle semirette Due semirette si dicono OPPOSTE se: • hanno solo l’origine in comune • appartengono alla stessa retta SEGMENTO: la parte di retta compresa tra due suoi punti A B I punti A e B vengono detti gli estremi del segmento In una retta ci sono infiniti punti (lo dice l’assioma). E in un segmento? SEGMENTI PARTICOLARI Segmenti CONSECUTIVI: due segmenti che hanno in comune un estremo e nessun altro punto Segmenti ADIACENTI: due segmenti che oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta SEMIPIANO: ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta, la retta è detta origine del semipiano Due semipiani si dicono OPPOSTI se: • hanno solo l’origine in comune • appartengono allo stesso piano Rette INCIDENTI: rette complanari che hanno un punto in comune Rette PARALLELE: rette complanari che non hanno nessun punto in comune Rette SGHEMBE: rette non complanari che non hanno nessun punto in comune Postulato di Euclide Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data Fascio PROPRIO di rette: rette complanari passanti per uno stesso punto detto centro del fascio Fascio IMPROPRIO di rette: rette complanari parallele ad una stessa retta ANGOLO: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette aventi l’origine in comune Angolo convesso Angolo concavo Un angolo si dice CONCAVO se contiene i prolungamenti dei suoi lati Un angolo si dice CONVESSO se non contiene i prolungamenti dei suoi lati ANGOLI PARTICOLARI 1 Angolo PIATTO: un lato è il prolungamento dell’altro ( 180° = π); non è né concavo né convesso equivale ad un semipiano Angolo RETTO: è la metà di un angolo piatto (90° = π/2); è convesso ANGOLI PARTICOLARI 2 Angolo GIRO: i due lati sono sovrapposti (360° = 2π); è concavo. equivale ad un piano Angolo NULLO: i due lati sono sovrapposti (0°); è convesso. equivale ad una semiretta Angoli CONSECUTIVI: due angoli aventi in comune il vertice, un lato e nessun altro punto Angoli ADIACENTI: due angoli che oltre ad essere consecutivi hanno i due lati non comuni l’uno sul prolungamento dell’altro (o che appartengono alla stessa retta) Angoli OPPOSTI AL VERTICE: se i lati dell’uno sono i prolungamenti dell’altro SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro a b a+b CONFRONTO DI SEGMENTI a a<b b Dati due segmenti se, sovrapponendo il primo segmento al secondo facendo coincidere un estremo, l’altro estremo è interno al secondo segmento allora il primo è minore del secondo; se è esterno è maggiore. SOMMA DI ANGOLI CONVESSI Dati due angoli convessi la loro somma è l’angolo che si ottiene disponendoli uno consecutivo all’altro Angolo ottuso Un angolo si dice OTTUSO se è maggiore di un angolo retto ed è convesso (quindi è sempre minore di un angolo…. …piatto) Angolo acuto Un angolo si dice ACUTO se è minore di un angolo retto (quindi è sempre…. …convesso) Due angoli la cui somma è un angolo piatto si dicono SUPPLEMENTARI Due angoli la cui somma è un angolo retto si dicono COMPLEMENTARI Due angoli la cui somma è un angolo giro si dicono ESPLEMENTARI Poligonale o spezzata aperta (non intrecciata) Insieme di più segmenti consecutivi lato vertici estremi Poligonale o spezzata chiusa (non intrecciata) Poligonale aperta a cui si aggiunge un segmento che ne congiunge gli estremi POLIGONO Parte di piano delimitata da una poligonale chiusa non intrecciata Poligono convesso: i prolungamenti di TUTTI i suoi lati sono esterni al poligono Poligono concavo: il prolungamento di ALMENO UN lato lo divide in due parti Angoli interni e esterni Angoli esterni Angoli interni L’angolo interno e l’angolo esterno di ciascun vertice di un poligono sono supplementari Figure convesse B A Una figura si dice CONVESSA, se per ogni coppia di punti A e B appartenenti alla figura, il segmento AB è interamente contenuto nella figura Figure concave A B Una figura si dice CONCAVA, se esiste almeno una coppia di punti A e B appartenenti alla figura, tali che il segmento AB non sia interamente contenuto nella figura CONGRUENZA Due figure F1 e F2 si dicono congruenti quando è possibile sovrapporle con un movimento rigido in modo che coincidano punto per punto F1 F2 F1 F2 Proprietà della congruenza RIFLESSIVA: una figura è congruente a se stessa, cioè F1F1 SIMMETRICA: se F1 è congruente a F2, allora anche F2 è congruente a F1, cioè se F1 F2, allora F2 F1 TRANSITIVA: se F1 è congruente a F2, e F2 è congruente a F3 allora anche F1 è congruente a F3, cioè se F1 F2 e F2 F3, allora F1 F3 Bisettrice di un angolo Semiretta che divide un angolo in 2 angoli congruenti Punto medio di un segmento AMMB A M B Punto che divide il segmento in due segmenti congruenti Asse di un segmento AMMB 90° A M B Retta perpendicolare al segmento passante per il suo punto medio Distanza di un punto da una retta P 90° H Segmento di perpendicolare che unisce il punto alla retta, cioè il segmento PH
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