Onde Elastiche
Taiwan
data : 20/09/1999
tempo : 17:47:19.0 GMT
latitudine : 23.78 °
longitudine : 121.09 °
profondità : 33 km
magnitudo : 6.5 Mb
Foreword
• Equazioni del moto
• Descrizione della sorgente sismica
• Teoria che leghi la descrizione della
sorgente e le equazioni del moto
Ipotesi:
Sovrapposizione lineare del moto
Il moto sismico può essere determinato unicamente dalla combinazione
delle proprietà della sorgente e del mezzo di propagazione
Propagazione delle onde sismiche
Ingredienti:
•Sforzo, deformazione
•Legge di Hooke (comportamento elastico)
•Equazione del moto
Ipotesi semplificative:
•gli spostamenti associati alla propagazione delle onde
sono di piccola entità
•Il comportamento meccanico delle rocce è di tipo
“elastico” (ritorno alla posizione di equilibrio una volta
rimossa la sollecitazione esterna)
corpo elastico e isotropo
u  r   r'  r Spostamento di P in P’
u  r  dr   u  du
Spostamento di Q in Q’
du  dr u scritta per componenti:
Tensore gradiente di
spostamento
du i 
u i
dx j
x j
Espandendo in serie di Taylor una delle componenti
u1  r  dr   u1  r   dr u1  r 
du1  u1  r  dr   u1  r   dr u1 trascurando dr
u i
 1  du  dr
x j
Regime di elasticità lineare
2
Tensore delle deformazioni infinitesime
Per ogni coppia di indici i,j
u i 1  u i u j  1  u i u j 
 



  

x j 2  x j x i  2  x j x i 
1  u i u j 
1
   u   dx 
du i  

dx

 j
i

2  x j x i 
2
deformazione
infinitesima
rotazione rigida
Tensore delle deformazioni infinitesime
1
ε  u     u  u 
2
1  u i u j 
ε ij  



2  x j x i 
L’effetto di una deformazione infinitesima su di un elemento linea dxi è quello di
cambiare la posizione relativa dei suoi estremi di una quantità pari a eijdxj
Il tensore delle deformazioni è simmetrico
Definizione di Sforzo
n
tn
f
τ  lim
ΔS0 ΔS
t
tt
t
Forze di superficie
Forze agenti tra particelle adiacenti
Forze di volume
f(x,t)
Forze tra particelle non adiacenti (es. forza
gravitazionale)
Forze dovute all’applicazione di un processo fisico
esterno al corpo stesso (es. effetto di un magnete sulle
particelle di ferro)
Tensore degli Sforzi
Volume infinitesimo
Tx ,Ty ,Tz sforzi applicati sulle facce del cubetto
Tx  τ xx nˆ x  τ xy nˆ y  τ xz nˆ z
Ty  τ yx nˆ x  τ yy nˆ y  τ yz nˆ z
Tz  τ zx nˆ x  τ zy nˆ y  τ zz nˆ z
 τ xx

τ   τ yx
τ
 zx
τ xy
τ yy
τ zy
τ xz 

τ yz 
τ zz 
τ i, j
j direzione della componente di sforzo
i direzione della normale alla superficie
considerata
La condizione di elasticità lineare equivale a supporre il cubetto in uno stato prossimo all’equilibrio
di conseguenza il momento associato agli sforzi agenti sul cubetto deve essere nullo: τ i, j  τ j, i
Il tensore degli sforzi è un tensore simmetrico
Qualunque forza applicata su di una generica superficie può essere scritta come combinazione
lineare delle componenti del tensore degli sforzi
Legge di Hooke
Relazione Costutiva
rottura
τij  cijkl ε kl
Legge di Hooke
Un corpo che obbedisce alla relazione
costitutiva è lineare e elastico
Per un materiale omogeneo e isotropo:
τij  λδijε kk  2με ij
τij  λδiju k,k  μ  u i,j  u j,i 
in termini di deformazione
in termini di spostamento
Equazioni del moto
Cerchiamo una relazione tra accelerazione, forze di volume e sforzi agenti
su di un volume V racchiuso da una superficie S.
 2u
ρ 2 dV   f dV   T  nˆ  dS

t
V
V
S
Ti  τ ji n j
Bilancio delle forze agenti sul volume V
 T dS   τ
i
S
S
ji
n jdS   τ ji,jdV
V
Teorema della divergenza
 ρu dV   f
i
V
i
 τ ji,j  dV
Bilancio delle forze scritto per componenti
V
ρu i  f i  τ ji, j
Equazione del moto
Equazione d’onda
τij  λδiju k,k  μ  u i,j  u j,i 
Legge di Hooke
ρu i  f i  τ ji, j
Equazione del moto
ρui  fi  μui,jj   λ  μ  ui,ji
ρu  f  μ2u   λ  μ   u 
ρu  f   λ  2μ    u   μ   u 
Teorema di Lamè
Se il campo di spostamento u  u  x,t  soddisfa la condizione:
ρu  f   λ  2μ   u   μ   u 
E se le forze di volume e i valori iniziali di u e u vengono espressi in termini di potenziali di Helmotz
f  Φ   Ψ; u  x,0  A   B; u  x,0  C   D
Con
  Ψ,   B,   D
nulli
Allora esistono due potenziali  e  per u con le seguenti proprietà:
Onda P
i)
ii)
iii)
iv)
Onda S
u      ψ
ψ  0
Φ
   α 2 2
ρ
Ψ
ψ   β 2 2 ψ
ρ
λ  2μ
con α 
ρ
μ
2
con β 
ρ
2
Teorema di Reciprocità (Betti)
Il teorema di reciprocità stabilisce una relazione tra una coppia di soluzioni
per lo spostamento generate da diverse forze applicate
u =u  x,t  f
v =v  x, t  g
condizioni al bordo su S condizioni iniziali t=0
condizioni al bordo su S condizioni iniziali t=0
generalmente diverse
T  u,nˆ 
T  v,nˆ 
  f -ρu   v dV+ T u,nˆ   v dS 
V
S
=   g -ρv   u dV+  T  v,nˆ   u dS
V
S
Il teorema del Betti non coinvolge condizioni iniziali per u e v . È dunque
valido anche se le quantità u u f T  u,nˆ  vengono valutate in un tempo t1=t
e le quantità v v g T  v,nˆ  vengono valutate in un tempo t2=τ-t
Integriamo il Betti in un intervallo temporale (o,τ)
Il termine di accelerazione si riduce ad un termine che dipende solo dal valore
iniziale e finale del sistema
τ
 ρ u  t   v  t-τ  -u  t   v t -t   ρ 
τ
0
0

u  t   v  τ-t   u  t   v  τ-t  dt

t
=ρ u t   v  0  -u  0   v t  +u t   v  0  -u  0   v  τ 
se esiste un tempo τ0 in cui u e v sono ovunque nulli attraverso il volume V
e quindi u =v =0 per t  t 0 allora :
τ
 ρ u  t   v  t-τ  -u  t   v t -t   0
0
Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

+
-
dt  u  x,t   g  x,τ-t   v  x,t -t   f  x,t  dV 
V

+
-


dt  v  x,t -t   T  u  x,t  , nˆ   u  x,t   T  v  x,t -t  , nˆ  dS
S
Funzione di Green per l’elastodinamica
Il campo di spostamento generato da una sorgente impulsiva unidirezionale è
la funzione di Green per l’elastodinamica .
Impulso unitario applicato x =ξ e t =τ in direzione
n̂
Gin(x,t;ξ,τ) la i-esima componente dello spostamento generato
La funzione di Green è un tensore che dipende sia dalle coordinate sia della
sorgente sia del ricevitore, e soddisfa l’equazione:

2
 

ρ 2 Gin  δin δ  x-ξ  δ  t-τ  
G kn 
 cijkl
t
x j 
x l

Reciprocità
Se le condizioni al bordo sono indipendenti dal tempo, il tempo origine può essere traslato:
G  x,t;ξ,τ  =G  x,t-τ;ξ,0 =G  x,-τ;ξ,-t 
Se G soddisfa condizioni al bordo omogenee su S, sfruttando il teorema di Betti
è possibile dimostrare che:
Gnm  ξ1 ,τ;ξ 2 ,0 =Gmn  ξ 2 ,τ;ξ1 ,0
Teorema di Rappresentazione
Campo di spostamento in condizione di passato quiescente

+
-
dt  u  x,t   g  x,τ-t   v  x,t -t   f  x,t  dV 
V

+
-


dt  v  x,t -t   T  u  x,t  , nˆ   u  x,t   T  v  x,t -t  , nˆ  dS
S
g  δin δ  x-ξ  δ  t-τ 
v  G in  x,t;ξ,τ 
u n  x,t  = 
+
-
dτ  fi  x,t  G in  x,τ-t;ξ,0  dV+
V
+
+
-


dτ  G in  x,τ-t;ξ,0  Ti  u  x,t  ,nˆ  -u i  x,t  cijkl n jG kn,l  x,τ-t;ξ,0  dS
S
Il teorema di rappresentazione è uno strumento che consente di sintetizzare lo
spostamento generato da sorgenti realistiche a partire dallo spostamento generato
dalla sorgente più semplice: un impulso unidirezionale, localizzato nello spazio e nel
tempo
Teorema di Rappresentazione
Piano di faglia
Superficie terrestre
Se lo scorrimento avviene su Σ, il campo di
spostamento è discontinuo e l’equazione del
moto non viene soddisfatta all’interno di S.
Tuttavia è soddisfatta all’interno della superficie
S+Σ + +Σ u n  x,t  = 
+
-
dτ  f p  η,τ  G np  x,t-τ;η,0  dV  η+
V
+
+
-


G kp  x,t-τ;ξ,0 
dτ  u i  ξ,τ  cijpq ν j
 G np  x,τ-t;ξ,0  Tp  u  ξ,τ  ,νˆ   d

ξ

q
 

Continuità delle trazioni sulla superficie Σ
 T  u,ν   0
Assenza di forze di volume
Σ è scelta in modo tale che G sia continua su di essa assieme a tutte le sue derivate
u n  x,t  = 
+
-
dτ  u i  ξ,τ  cijpq ν j

G kp  x,t-τ;ξ,0 
ξ q
d
Campo d’onda generato da una sorgente
puntiforme con simmetria sferica
u=δ  x  δ  t  +c22u
 x
δ  t- 
1
 c
u  x,t  =
4πc2
x
u=δ  x-ξ  f  t  +c 2 2u
Se la sorgente si estende su di un volume V:
 2   x, t 
2 2


α

2
t
ρ
 x-ξ 
f  t
c
1


u  x,t  =
2
4πc
x
Tempo di ritardo

x-ξ
Φ  ξ,tα
1

  x,t  
4πα 2ρ 
x-ξ
V
Equazione di Poisson

2
  x, t 
α 2ρ
Φ ξ 
1
  x,t  
dV
2 
4πα ρ V x-ξ


dV
Soluzione per la funzione di Green per l’elastodinamica in
un mezzo omogeneo illimitato e isotropo
f i  X 0  t  δ  x  δi1
u n  x,t   X 0  G n1 Teorema di rappresentazione
Troviamo i due potenziali per la forza tali che:
X0  t  δ  x  xˆ 1     Ψ con  Ψ  0
Usiamo la soluzione dell’equazione di Poisson per costruire i potenziali
W =-
X0  t 
4π
 1,0,0 
V
δ  ξ  dV -X 0  t 
=
xˆ 1
x-ξ
4π x
X0  t   1
  x, t     W =4π x x1 x
X0  t    1
 1
Ψ  x, t     W =
,
 0,

4π  x 3 x x 2 x 
Il secondo passo per trovare lo spostamento è quello di risolvere
l’equazione d’onda per i potenziali di Lamè
X0  t   1
 
+α 2 2
4πρ x1 x
X0  t  
 1
 1
2 2
ψ=
0,
,

ψ


4πρ  x 3 x x 2 x 
La soluzione è data da:
1   1  x /α
  x, t   

 0 τX 0  t-τ  dτ
4  x1 x 
1   1
 1  x /β
ψ  x, t  
,
 0,
 0 τX 0  t-τ  dτ
4  x 3 x x 2 x 
La funzione di Green per lo spostamento dovuta ad una forza di volume X0(t)
nella direzione x1 è dunque:
1   2 1  r/α
u i  x,t       ψ 
τX 0  t-τ  dτ 


4  x i x1 r  r/β
1  r r   r 
1 
r r   r 


 X 0  t-  
 δi1  X 0  t- 
4πρα 2  x i x1   α  4πρβ 2 
x i x1   β 
Introducendo i coseni direttori:
x
r
γi = i 
r x i

 2 1 3γ i γ j -δij

x i x j r
r3
Termine di near field
u i  x,t  =
1
1
3γ
γ
-δ
 i j ij  r3
4πρ


r/α
r/β
τX 0  t-τ  dτ 
1
1  r
1
1  r
γ
γ
X
t
γ
γ
-δ
X 0  t- 


0
i j
ij

2 i j
2
4πρα
r
r
 α  4πρβ
 β
Far-Field onde P
Far-Field onde S
Proprietà del campo far-field onda P
1
1  r
u  x,t  
γ γ X 0  t- 
2 i j
4πρα
r
 α
P
i
Si attenua come r-1
Ha una forma d’onda che dipende dalla combinazione spaziotemporale t-r/α, si propaga con una velocità pari ad α
La forma d’onda è proporzionale alla forza applicata al tempo di
ritardo
La direzione dello spostamento uP in x è parallela alla direzione γ
dalla sorgente. Il campo d’onda far-field per l’onda P è longitudinale: il
moto delle particelle ha la stessa direzione del verso di propagazione
Proprietà del campo far-field onda S
1
1  r
u  x,t  
γ γ -δij  X 0  t- 
2  i j
4πρβ
r
 β
S
i
Si attenua come r-1
Ha una forma d’onda che dipende dalla combinazione spaziotemporale t-r/β, si propaga con una velocità pari ad β
La forma d’onda è proporzionale alla forza applicata al tempo di
ritardo
La direzione dello spostamento uS in x è perpendicolare alla direzione
γ dalla sorgente. Il campo d’onda far-field per l’onda S è trasversale: il
moto delle particelle è normale alla direzione di propagazione