Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 Valutazione delle cadute di tensione nelle travi in c.a.p Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 PERDITE DI TENSIONE ISTANTANEE Cadute di tensione Istantanee Pre-Tensione Post-Tensione Riduzione dello sforzo N0 di tiro per effetto della deformazione elastica della trave Rientro dei blocchi di ancoraggio in testata Attrito tra cavi e guaina Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni TRAVE PRE-TESA Perdite di tensione a causa della deformazione elastica Consideriamo il caso di cavo di precompressione centrato. Lo sforzo N0 di tiro registrato ai martinetti non sarà mai applicato all’elemento precompresso (ovvero dopo il taglio dei trefoli), che vedrà su di esso applicato sin dal disarmo direttamente lo sforzo ridotto Nd=N0-DN (sforzo al disarmo) Per congruenza deve aversi che Nd l Ec A DN l Es Ap Da cui si può valutare la relazione tra la caduta di tensioni dovuta alla deformazione elastica e lo sforzo al disarmo Nd: DN Nd Es Ap Ec A Nd n Ap A Da cui può determinarsi quest’ultimo in funzione dello sforzo normale iniziale N0: Nd N0 DN N0 nAp N0 Ac nAs A N0 N0 N0 N0 Es A A n Ap Ac n(As Ap ) Ac n(As Ap ) Ec Ac n(As Ap ) Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni TRAVE PRE-TESA Perdite di tensione a causa della deformazione elastica In termini di tensione di trazione nel trefolo all’atto del disarmo si ha: Nd N0 c, 0 Es Ap d Nd Ap 0 n c, 0 In generale, allora, nel caso di trefoli eccentrici si può calcolare la tensione nel trefolo sottraendo da quella al tiro il valore della caduta di tensione dovuto alla deformazione della fibra di calcestruzzo al livello del trefolo: - e0: eccentricità cavo risultante; N M N e spi ' spi n 0 0 0 yj min yj - yj: eccentricità trefolo j-esimo; I1 I1 A1 Quanto al calcestruzzo le tensioni possono essere calcolate indifferentemente considerando lo sforzo normale al disarmo Nd agente sulla sezione omogeneizzata di calcestruzzo ed armatura “dolce”, ovvero lo sforzo normale al tiro N0 agente sulla sezione trasversale alla quale siano state omogeneizzate anche i trefoli di precompressione: c Ac nAs La seconda possibilità è operativamente più conveniente e nel caso di sforzo di precompressione eccentrico porta alla relazione: Bozza del 19/05/2008 Nd N0 Ac n(As Ap ) c0 y M N N e0 y min y A1 I1 W1s a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 TRAVE POST-TESA Perdite di tensione dovute al rientro degli apparecchi Consideriamo la possibilità che si abbia un rientro degli apparecchi in testata. Ad esempio un rientro di 2 mm su di una trave di 10 m: D ra D ra 2 / 10.000 0.032 spi spi 1.200 / 190.000 Effetto della trazione dei cavi in fasi successive. Consideriamo una trave precompressa con tre cavi posti tutti alla stessa quota ed immaginiamo che ciascuno di essi provochi nella sezione più sollecitata in fase di tiro una tensione nel calcestruzzo sulla fibra al livello dei cavi di 8 N/mm2; allora la tesatura del secondo provoca sul primo una perdita di tensione (per deformazione elastica): D em n c Es 8 6 8 48 MPa Ec Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni TRAVE POST-TESA Perdite di tensione dovute all’attrito cavo-guaina Valutiamo la pressione che il cavo esercita sulla superficie interna della guaina. Prendendo in considerazione un tronco infinitesimo di cavo con raggio di curvatura r, l’equilibrio alla traslazione in direzione normale all’asse del cavo, tenendo conto che l’angolo d è infinitesimo, e trascurando pertanto l’infinitesimo di ordine superiore dN d, vale pn r (2 d) 2 N d pn N r pt f pn f Dall’equilibrio alla traslazione in direzione parallela all’asse del cavo: N pt r d (N dN) dN f d N N r N N0 e f La Normativa Italiana prescrive una relazione lineare per la valutazione delle cadute di tensione istantanee: N0,B N0,A 1 f( z) 0.3 cavo - guaina f 0.5 cavo - cls 0.01 rad/m d r N N+dN pn pt Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni TRAVE POST-TESA Perdite di tensione per attrito: formula EC2 Pmax-DP 0.005 k 0.01 rad/m Pmax x Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO - esempio numerico - Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni 1 TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO - esempio numerico 2 3 N0,i sez 4 cavo xi yi ei tgi i seni cosi N0i 2 1 1 2 3 [cm] 1600 1600 1600 [cm] 140.00 110.00 80.00 [cm] -31.00 -1.00 29.00 0.1500 0.1250 0.0875 0.1489 0.1244 0.0873 0.1483 0.1240 0.0872 0.9889 0.9923 0.9962 2 1 2 3 1500 1500 1500 125.47 97.89 71.52 -16.47 11.11 37.48 0.1406 0.1172 0.0820 0.1397 0.1167 0.0818 0.1393 0.1164 0.0818 0.9903 0.9932 0.9967 3 1 2 3 1400 1400 1400 111.88 86.56 63.59 -2.88 22.44 45.41 0.1313 0.1094 0.0766 0.1305 0.1089 0.0764 0.1301 0.1087 0.0763 0.9915 0.9941 0.9971 4 1 2 3 700 700 700 42.97 29.14 23.40 66.03 79.86 85.60 0.0656 0.0547 0.0383 0.0655 0.0546 0.0383 0.0655 0.0546 0.0383 0.9979 0.9985 0.9993 5 1 2 3 0 0 0 20.00 10.00 10.00 89.00 99.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 Bozza del 19/05/2008 spi(i) 5 Ni [kg/cm ] [kg] [kg] 12000 133780 132300 12000 178370 176993 12000 178370 177691 Ti [kg] 19845 22124 15548 N0,i ( j) spi( j) Ap ( j) Ni ( j) N0,i ( j) cos i Ti ( j) N0,i ( j) sin i N0,i ( j) i a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni 1 TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO - esempio numerico 2 3 4 sez cavo xi yi ei tgi i seni cosi spi(i) 5 N0i Ni Ti 2 1 1 2 3 [cm] 1600 1600 1600 [cm] 140.00 110.00 80.00 [cm] -31.00 -1.00 29.00 0.1500 0.1250 0.0875 0.1489 0.1244 0.0873 0.1483 0.1240 0.0872 0.9889 0.9923 0.9962 2 1 2 3 1500 1500 1500 125.47 97.89 71.52 -16.47 11.11 37.48 0.1406 0.1172 0.0820 0.1397 0.1167 0.0818 0.1393 0.1164 0.0818 0.9903 0.9932 0.9967 11963 11969 11977 133412 132112 177958 176748 178079 177483 18578 20713 14559 3 1 2 3 1400 1400 1400 111.88 86.56 63.59 -2.88 22.44 45.41 0.1313 0.1094 0.0766 0.1305 0.1089 0.0764 0.1301 0.1087 0.0763 0.9915 0.9941 0.9971 11927 11937 11954 133043 131912 177546 176494 177789 177270 17313 19304 13572 4 1 2 3 700 700 700 42.97 29.14 23.40 66.03 79.86 85.60 0.0656 0.0547 0.0383 0.0655 0.0546 0.0383 0.0655 0.0546 0.0383 0.9979 0.9985 0.9993 (2) (1) 11718 spi174393 1 f (2) (1) z 174653 9537 spi 1 2 3 0 0 0 20.00 10.00 10.00 89.00 99.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 5 Bozza del 19/05/2008 [kg/cm ] [kg] [kg] 12000 133780 132300 12000 178370 176993 12000 178370 177691 11669 130450 130170 [kg] 19845 22124 15548 8542 Sezione n.2 1200 1 f 0.1489 0.1397 0.01 z 11792 175754 175626 1196 MPa171791 11501 .3 171791 11415 127885 127885 11632 173737 173737 6723 0 0 0 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni 1 TRAVE POST-TESA: CADUTE PER ATTRITO - esempio numerico 2 3 4 sez cavo xi yi ei tgi i seni cosi spi(i) 5 N0i Ni 2 Ti N0 e0 y [kg] 19845 22124 15548 [kg] [cm] [cm] 486984 1.80 107.20 1 1 2 3 [cm] 1600 1600 1600 [cm] 140.00 110.00 80.00 [cm] -31.00 -1.00 29.00 0.1500 0.1250 0 0.0875 0.1489 0.1483 ( j) 0.1244 j 00.1240 0.0873 0.0872 N N 2 1 2 3 1500 1500 1500 125.47 97.89 71.52 -16.47 11.11 37.48 0.1406 0.1172 0.0820 0.1397 0.1393 0.9903 0.1167 0.1164 0.9932 ( j) ( j) 0.0818 0.0818 00.9967 j 0 N 11963 11969 11977 133412 132112 177958 176748 178079 177483 18578 20713 14559 486343 13.24 95.76 3 1 2 3 1400 1400 1400 111.88 86.56 63.59 -2.88 22.44 45.41 0.1313 0.1094 0.0766 ( j) 0.9915 0.1305 0.1301 0 0.1089 j0.1087 0.9941 0.0764 0.0763 0.9971 11927 11937 11954 133043 131912 177546 176494 177789 177270 17313 19304 13572 485676 23.95 85.05 700 700 700 42.97 29.14 23.40 66.03 79.86 85.60 0.0656 0.0655 0.0655 4 1 2 3 y0.0547 yG0.0546 0.0546 ,i e0 8542 9537 6723 30.79 0.0383 130450 130170 174653 174393 175754 175626 78.21 0.0383 11669 11718 11792 480188 0.0383 0.9979 0.9985 0.9993 1 2 3 0 0 0 20.00 10.00 10.00 89.00 99.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 1.0000 1.0000 11415 11501 11632 127885 127885 171791 171791 173737 173737 0 0 0 473413 96.30 12.70 5 Bozza del 19/05/2008 e0 0.9889 0.9923 0.9962 e N [kg/cm ] [kg] [kg] 12000 133780 132300 12000 178370 176993 12000 178370 177691 a cura di Enzo Martinelli Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI secondo il D.M. 9 Gennaio 1996 Effetti del ritiro del calcestruzzo r 0.00030 (applicazione prima di 14 gg) valori della deformazione r 0.00025 Dr 0.00025 195.000 48.8 [MPa] Dr 0.00030 195.000 58.5 [MPa] Ec 9500 fck 8 [MPa] (applicazione dopo i 14 gg) 1/3 Effetti del fluage del calcestruzzo c,i La fibra di calcestruzzo posta a distanza 2.3 e,i 2.3 E c ei dal baricentro (ed in corrispondenza v,i e,i c,i del j-esimo trefolo/cavo è sottoposta 2.0 e,i 2.0 Ec alla seguente tensione per effetto dei carichi permanenti: c,i N0 N0 e ei M * ei A I I Bozza del 19/05/2008 Dv,i Ep v,i n c,i a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Ritiro cs cd ca ca, 2.5 fck 10 1000000 Esempio cd, k h c0 fck=40.0 MPa; Ac=1500 cm2; u=100 cm. h 0 300 mm h0 2Ac u 0.75 0.38 cd, 0.000285 1000 40 10 ca, 2.5 0.0000750 1000000 ca, 0.000350 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Calcestruzzo - Viscosità Bozza del 05/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI secondo il D.M. 9 Gennaio 1996 Effetti del rilassamento dell’acciaio Se l’armatura da pretensione viene inizialmente sollecitata a livelli superiori al 50% della tensione di rottura (sspi >0.5fptk), si osserva che, a deformazione imposta costante, la tensione si riduce nel tempo. 2 D ril spi 16 0.5 D r fptk Per la contemporanea presenza di ritiro e fluage le armature di precompressione non hanno una deformazione imposta costante; pertanto la caduta di tensione per rilassamento risulta minore e valutabile come segue: ( D r D v ) Dril 1 2.5 D ril spi Tipo di armatura fili trafilati D r 0.15 spi Trecce 0.20 spi Trefoli s pi 0.18 barre laminate s pi 0.12 Armature post-tese: spi va considerato al netto delle cadute per attrito; Armature pre-tese: spi è depurata delle cadute per def. elastica (tensione al disarmo); Bozza del 19/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008: Rilassamento 0.25 Classe 1 0.20 t=500000 h Classe 2 Dpr/pi Classe 3 0.15 0.10 0.05 0.00 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 m Bozza del 05/05/2008 a cura di Enzo Martinelli Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2007/08 CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI Specifiche secondo il D.M. 14/01/2008 – EC2 Caduta di tensione per effetti differiti nel generico cavo o trefolo c,Qp, i N0 N0 e e i A IG Eccentricità del cavo risultante Contributo del Ritiro M Qp e i IG Eccentricità del cavo i-esimo di cui si valuta la caduta di tensione Contributo del Rilassamento E cm f 22000 ck 10 E p 195000 MPa Contributo della Viscosità 0. 3 zcp Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni CADUTE DI TENSIONE PER EFFETTI DIFFERITI - esempio numerico: sezione di mezzeria N N( j) 3767 kN j n= r= = EP= 5.79 0.0003 2.3 2 2000000 kg/cm Cavo n°3: e3 = (3) spi = c= D r(3)= D f(3)= D ril(3)= D ril' (3) = β N0 4843 1.29 N 3767 99.00 cm 1163.17 MPa Cavo n°2: e2 = 11.40 MPa (2) spi = 60.00 MPa c= 151.86 MPa (2) DMPa 42.17 r = (2) DMPa 22.97 f = D ril(2)= D ril' (2) = 2 AP(3)= 99.00 cm 14.86 cm (3) 1150.12Cavo MPa n°1:D sp = 234.83 MPa (2) (3) cm AMPa = 11.40 MPa e1= sp 89.00 928.34 P = (1) spi = 60.00 MPa 151.86 MPa c= D r(1)= 36.74 MPa D f(1)= 19.82 MPa (3) (2) MPaD spkN N1141.53 = 1379.91 = 10.98 MPa sp(2)= 60.00 MPa 146.23 MPa (1) D ril = D ril' (1) 33.41 MPa = N(2)= 2 14.86 cm 231.68 MPa (1) 918.44 MPaAP = (1) 1365.18 kND sp = sp(1)= N(1)= 2 11.15 cm 224.55 MPa 916.98 MPa 1022.28 kN 18.32 MPa Dr 0.00030 200000 60.0 MPa Δσv(1) 5.79 2.3 10.98 146.23 MPa Bozza del 19/05/2008 2 1141.53 16 0.5 0.18 1141.53 33.41 MPa 1900 60.0 146.23 Δσril'(1) 1 2.5 33.41 18.32 MPa 1141.52 N(1) 1115 1141.53 60.00 146.23 18.32 1022.28 kN Δσril(1) Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni Anno Accademico 2005/06 CONCLUSIONI Nella presente unità didattica sono state esposte le problematiche relative alla valutazione delle cadute di tensioni istantanee e differite nelle travi precompresse. La valutazione esplicita delle cadute di tensione è stata valutata con riferimento alle cadute istantanee per attrito tra cavo e guaina o calcestruzzo, caratteristiche del sistema ad armature post-tese. La valutazione degli cadute di tensione per effetti differiti è stata, invece, condotta sia per il caso di sistema pre-teso che post-teso considerando le prescrizioni della normativa italiana. Anche se non mostrato esplicitamente, il calcolo delle cadute di tensione per effetti differiti condotto nella sezione di mezzeria deve essere effettuato anche nelle altre 4 sezioni di controllo seguendo un procedimento analogo. I risultati sono riassunti nelle due tabelle precedenti. Bozza del 19/05/2008 Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni RISULTATI NUMERICI - Cadute di tensione istantanee sez cavo xi yi ei [cm] [cm] [cm] tgi i seni cosi spi(i) N0i 2 N0icosi N0isini N0 e0 y 1 1 2 3 1600 1600 1600 140.00 110.00 80.00 -31.00 -1.00 29.00 0.1500 0.1250 0.0875 0.1489 0.1244 0.0873 0.1483 0.1240 0.0872 [kg] [kg/cm ] 0.9889 12000 133780 0.9923 12000 178370 0.9962 12000 178370 2 1 2 3 1500 1500 1500 125.47 97.89 71.52 -16.47 11.11 37.48 0.1406 0.1172 0.0820 0.1397 0.1167 0.0818 0.1393 0.1164 0.0818 0.9903 11963.3 133371 0.9932 11968.7 177904 0.9967 11976.9 178026 132072 176695 177430 18573 20706 14555 486197 13.24 95.76 3 1 2 3 1400 1400 1400 111.88 86.56 63.59 -2.88 22.44 45.41 0.1313 0.1094 0.0766 0.1305 0.1089 0.0764 0.1301 0.1087 0.0763 0.9915 11926.7 132963 0.9941 11937.4 177439 0.9971 11953.7 177682 131832 176388 177164 17303 19292 13564 485384 23.95 85.05 4 1 2 3 700 700 700 42.97 29.14 23.40 66.03 79.86 85.60 0.0656 0.0547 0.0383 0.0655 0.0546 0.0383 0.0655 0.0546 0.0383 0.9979 11669.2 130092 0.9985 11717.8 174176 0.9993 11791.8 175276 129813 173916 175147 8519 9511 6705 478876 78.21 30.79 5 1 2 3 0 0 0 20.00 10.00 10.00 89.00 99.00 99.00 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 11415.3 127261 1.0000 11501.2 170955 1.0000 11631.7 172896 127261 170955 172896 0 0 0 471112 96.30 12.70 Bozza del 19/05/2008 [kg] [kg] [kg] [cm] [cm] 132300 176993 177691 19845 22124 15548 486984 1.80 107.20 Anno Accademico 2005/06 Corso di Tecnica delle Costruzioni II - Teoria delle Esercitazioni RISULTATI NUMERICI - Cadute di tensione per effetti differiti M* [kgcm] c(i) D r(i) 2 D v(i) 2 D ril(i) 2 2 D ril'(i) 2 D diff(i) 2 sp(i) 2 Ni Nicosi Nisini N0 e0 y [kg] [kg] [kg] [kg] [cm] [cm] [kg/cm ] 73.95 74.58 75.21 [kg/cm ] 600.00 600.00 600.00 [kg/cm ] 985.24 993.65 1002.05 [kg/cm ] 598.34 598.34 598.34 [kg/cm ] 400.73 399.68 398.64 [kg/cm ] 1985.97 1993.33 2000.69 [kg/cm ] 10014.03 10006.67 9999.31 111639.7 110405 148740.8 147095 148631.4 146987 16561 18449 12956 404487 1.71 107.29 1.20 3366600 73.26 75.30 77.25 600.00 600.00 600.00 976.12 1003.25 1029.19 579.15 581.92 586.18 388.40 387.04 386.84 1964.52 1990.29 2016.02 9998.83 9978.39 9960.83 111470.3 110384 148320.4 147312 148059.5 147564 15523 17263 12105 405260 13.20 95.80 1.20 6516000 74.00 77.11 79.93 600.00 600.00 600.00 985.96 1027.37 1064.94 560.33 565.78 574.17 374.06 372.95 374.24 1960.02 2000.32 2039.19 9966.71 9937.07 9914.55 111112.2 110167 147706.3 146831 147371.5 146941 14459 16060 11250 403939 23.89 85.11 1.21 22480200 97.13 102.11 104.17 600.00 600.00 600.00 1294.08 1360.41 1387.95 438.05 459.82 494.11 260.30 267.50 285.86 2154.38 2227.91 2273.81 9514.82 9489.93 9518.01 106074.4 105847 141059.8 140849 141477.2 141374 6946 7703 5412 388070 78.18 30.82 1.25 27801600 109.75 113.98 113.98 600.00 600.00 600.00 1462.32 1518.59 1518.59 334.07 367.45 421.68 183.19 198.23 229.67 2245.50 2316.82 2348.25 9169.78 9184.35 9283.44 102227.8 102228 136517.8 136518 137990.7 137991 0 0 0 376736 96.29 12.71 1.29 0 Bozza del 19/05/2008
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