“Da tempo immemorabile l'infinito ha
suscitato le passioni umane più di ogni
altra questione. E' difficile trovare un'idea
che abbia stimolato la mente in modo
altrettanto fruttuoso, tuttavia nessun
altro concetto ha più bisogno di
chiarificazione"
(D. Hilbert).
Il concetto di infinito ha ispirato
teorie diverse tra i matematici di
tutte le epoche e li ha costretti a
costruire ragionamenti che portavano
a conclusioni talvolta contrastanti
con proprietà chiaramente intuitive;
tali ragionamenti o tesi vengono per
questo motivo chiamati paradossi.
IL PARADOSSO DI ZENONE
ACHILLE E LA TARTARUGA
Achille deve fare una gara di velocità con una
tartaruga, ma, poichè è nettamente più veloce, decide
di darle un po' di vantaggio. Achille impiegherà un po'
di tempo per raggiungere il punto da dove è partita la
tartaruga, che nel frattempo avrà percorso un tratto
di strada; Achille raggiungerà allora il punto dove è
arrivata la tartaruga, ma essa avrà di nuovo fatto un
altro tratto di strada. Quindi, dato che questo
ragionamento si può ripetere all'infinito, Achille non
raggiungerà mai la tartaruga...
Ma c'è qualcosa di sbagliato nel ragionamento svolto...
Il ragionamento di Zenone
Ciò che accade nella realtà
Achille non raggiunge la tartaruga.
Achille raggiunge la tartaruga (e la supera...)..
Supponiamo che la velocità di Achille sia di
10 m/s e quella della tartaruga sia di 1
m/s .
In 1/10 di secondo Achille raggiunge il
punto in cui si trovava inizialmente la
tartaruga: ma intanto essa si è mossa ed
ha percorso uno spazio uguale ad 1/10 (in
metri).
Per raggiungere la nuova posizione della
tartaruga, Achille dovrà impiegare un altro
tempo, uguale a 1/10*1/10=0.01quindi, in
tutto, avrà impiegato un tempo
t2=1/10+1/100=0.11 (in secondi).
Ma Achille non ha ancora raggiunto la
tartaruga, perché nel tempo di 1/10 di
secondo essa ha percorso 1/100 di metro.
Achille arriverà a questa nuova posizione,
ma impiegherà 1/1000 di secondo, e quindi
un tempo complessivo
t3=1/10+1/100+1/1000=0.111 e così si
procede all'infinito.
Indichiamo con t il tempo necessario ad Achille
per raggiungere la tartaruga; lo spazio percorso
da Achille, dato da 10t, deve risultare uguale alla
somma del vantaggio iniziale della tartaruga con
lo spazio che essa percorre.
Si ottiene così l’equazione :
10t=1+t
che sappiamo risolvere senza difficoltà :
10t-t=1 cioè 9t=1
e, infine, t=1/9 (in secondi).
In Achille e la tartaruga
si tratta di sommare
una serie infinita
di quantità sempre più piccole
L'errore nel paradosso di Zenone consiste
nell'idea che
la somma di un numero infinito
di intervalli finiti
di spazio e di tempo
debba essere infinita.
ARISTOTELE
infinito in atto , entità infinita concepita nella sua interezza
infinito potenziale , qualcosa che è sempre accrescibile,
a cui ci si va avvicinando indefinitamente;
in questa accezione si può pensare ad un processo infinito,
ma non ad oggetti infiniti
L'infinito non è un Assoluto: è qualcosa che
per la sua illimitatezza non può essere concepito
dal nostro pensiero nella sua totalità; esiste solo l’infinito potenziale
per Aristotele dire che i numeri sono infiniti
significa solo che,
qualunque numero si pensi, se ne può trovare
uno maggiore,
ma solo i singoli numeri finiti sono pensabili,
anche se non ne esiste " il più grande".
Aristotele respinge completamente la
possibilità che l'infinito in atto possa essere
utilizzato in matematica
"L'infinito non è ciò al di fuori di cui non c'è
nulla, ma ciò al di fuori di cui c' è sempre
qualcosa".
Per duemila anni,
l'idea dominante
nel pensiero occidentale
sarà l'idea aristotelica
di un infinito potenziale
“1600”
E’ il secolo dell’analisi infinita (detta
analisi infinitesimale), cioè del calcolo di
grandezze infinitamente grandi ed
infinitamente
piccole.
G Leibniz
I. Newton
Leibniz e Newton introducono
l´infinitesimale nella definizione di derivata, come limite,
e l´infinito, in quella dell´integrale, come somma continua.
La fama di Leibniz come matematico è
legata soprattutto alla prima
sistemazione organica del «calcolo
infinitesimale». Di essa egli diede notizia
in due articoli pubblicati negli Acta
Eruditorum .
Tale pubblicazione diede origine ad una
violenta polemica a distanza con Isaac
Newton, il quale rivendicò la priorità della
scoperta e giunse praticamente ad accusare
Leibniz di plagio.
I documenti storici sembrano far capire che entrambi giunsero
indipendentemente alla stessa scoperta (formulata solo in termini
differenti)!
In Newton l’invenzione fu dettata da preoccupazioni essenzialmente
tecniche, in Leibniz essa scaturì da considerazioni di carattere
filosofico.
“1800”
L’ottocento è il secolo della revisione logica e rigorosa di
quanto detto in precedenza.
Con Cauchy (1789 – 1857)
il calcolo infinitesimale trova la sua
sistemazione poggiandosi sulla
definizione di limite di una funzione.
Cauchy
Egli formulò una definizione, relativamente precisa, di limite:
"Quando i valori successivi attribuiti a una variabile si avvicinano
indefinitamente a un valore fissato così che finiscono con il differire da
questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene
detto il limite di tutti gli altri". .
L’ultima parola nell’opera di
consolidamento delle fondamenta
dell’analisi matematica la scrissero il
matematico tedesco Karl Weierstrass
(1815 -1897) e i suoi allievi.
Weierstrass
Il matematico Weierstrass formalizza,con il
concetto di limite, il fatto che:
una serie infinita di termini può “tendere” a un numero finito.
Su queste fondamenta , Weierstrass costruì l’edificio
dell’analisi matematica che resiste ancora ai nostri giorni.
GRANDE RIVOLUZIONE
NEL MONDO MATEMATICO
CANTOR e DEDEKIND
TEORIA DEGLI INSIEMI
G. Cantor
L’ infinito attuale viene concepito
come una grandezza sui generis
e quindi definibile chiaramente.
R. Dedekind
Un insieme è infinito quando è in corrispondenza biunivoca
con una sua parte propria.
 L'insieme N dei numeri interi, ad esempio, è
infinito. Infatti è possibile stabilire una
corrispondenza biunivoca tra l'insieme N di tutti i
numeri interi e l'insieme P dei numeri interi pari,
che è certamente una parte propria di N ;
 Questo infinito viene detto numerabile e indicato con
il simbolo ;
 Cantor dimostra che l'infinito numerabile non è
l'unico infinito; il secondo, quello di R, viene
chiamato continuo.
Il dibattito sul ruolo
dell'infinito nella matematica
non può dirsi concluso ….
l'ambito della verità
è più ampio
di quello del sapere deduttivo
Leibniz fonda il suo calcolo sugli infinitesimi.
Sembra oscillare tra
Una concezione attuale
gli infinitesimi sono enti
matematici effettivi
Una concezione potenziale
gli infinitesimi esprimono
semplicemente un
avvicinamento infinito allo
zero
Qual è il coefficiente
angolare della retta
tangente in un punto di
ascissa x1 ad una curva
y = f(x) ?
Qual è l'area del
trapezoide delimitato dai
due assi, dalla retta
x = x' e dalla curva
y = f(x)?
Il problema della tangente venne
risolto con quello che Leibniz chiamò
«calcolo differenziale».
Esso permette di
ricavare dalla funzione
data una funzione dy/dx ,
«rapporto differenziale»
La d è un operatore che indica
il «differenziale» ovvero
l'«incremento infinitesimo»
delle variabili.
Tale funzione esprime dunque il
coefficiente angolare della retta tangente
al punto di ascissa x1 della funzione originaria.
TERMINI USATI DA LEIBNIZ
rapporto differenziale y'
differenziare
TERMINI MODERNI
derivata
derivare
PROBLEMA DELL'AREA
Il procedimento introdotto venne
chiamato da Leibniz «calcolo integrale».
Esso permette di
ricavare dalla
funzione data f(x) una
funzione ∫ f(x) dx ,
«integrale»
Il simbolo ∫ rappresenta
la somma degli infiniti
prodotti degli
infinitesimi incrementi
dell'ascissa per le
ordinate corrispondenti.
La scoperta forse più importante di
Leibniz
I due problemi considerati sono strettamente legati
differenziazione e integrazione
sono operazioni inverse
Questo venne chiamato il «teorema fondamentale
del calcolo integrale”.
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