Indici temporali di un flusso di
pagamenti
Indici temporali di un flusso di
pagamenti
• Consideriamo una rendita costituita da n
rate R1, R2, …, Rn non necessariamente
costanti, con valuta t1, t2,…,tn.
• Vogliamo associare ad una rendita un
indice temporale che sintetizzi la
distribuzione delle rate nel tempo.
• Vita a scadenza: tn-t0
Scadenza media aritmetica
• È la media aritmetica delle scadenze ti
ponderate con pesi dati dagli importi Ri
delle rate
n
 Rk t k
t  k n1
 Rk
k 1

n  R
t   n k
k 1
  Rk
 k 1


t k



La scadenza media aritmetica non dipende né dal
tasso di valutazione né dal regime di attualizzazione.
ESEMPIO
• La scadenza media aritmetica di una
rendita così costituita:
(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6).
10000  2  11500  4  13000  6
t
 4,174
10000  11500  13000
Scadenza media
• È definita come la scadenza z di un unico capitale W di
importo pari alla somma delle rate in modo tale che il
valore attuale di W, in un regime di sconto opportuno,
coincida con il valore attuale della rendita.
n
n


Wg ( z )    Rk  g ( z )   Rk g k (tk )
 k 1 
k 1
In particolare, se il regime di sconto è quello composto,
W (1  i )
z
n
n


z
   Rk (1  i )   Rk (1  i ) k
 k 1 
k 1
Passando ai logaritmi otteniamo:
Scadenza media
 n

 n
z
k 
ln   Rk   ln( 1  i )  ln   Rk (1  i ) 
 k 1 
 k 1

z
n
n
k 1
k 1
ln  Rk  ln  Rk 1  i 
ln 1  i 
• la scadenza media dipende:
- dal regime di attualizzazione
- dal tasso di valutazione usato.
k
Scadenza media
• Si dimostra che, per i regimi di sconto fin
qui descritti, la scadenza media esiste
sempre, è unica e risulta compresa tra la
scadenza della prima e dell'ultima rata.
• Si dimostra inoltre che, nel regime a
sconto commerciale, la scadenza media e
la scadenza media aritmetica coincidono
(DIM).
Proprietà della scadenza media in
regime composto
• La scadenza media è sempre inferiore alla
corrispondente scadenza media aritmetica per
qualunque valore positivo del tasso di interesse
periodale i:
z
n
n
k 1
k 1
ln  Rk  ln  Rk 1  i 
zt
ln 1  i 
i  0
k

n  R
t   n k
k 1
  Rk
 k 1


t k



La scadenza media è funzione decrescente
del tasso di interesse periodale i: dz
di
0
Proprietà della scadenza media in
regime composto
• All’approssimarsi a 0 del tasso di interesse periodale i, la
scadenza media tende a coincidere con la scadenza
media aritmetica:
lim z  t
i 0 
• All’aumentare del valore del tasso di interesse
periodale i, la scadenza media tende a coincidere
con la scadenza della prima rata:
lim z  t1
i  
Esempio
• Si prevede di incassare Euro 500 tra un mese e
Euro 800 tra due mesi. Qual è la scadenza
media in regime composto al tasso annuo i =
8%?
• Il tasso da utilizzare è quello equivalente
mensile i12 = 0.006434.
ln 1300  ln(500(1  0.006434) 1  800(1  0.006434)  2 )
z
ln 1  0.006434
z = 1.6146 mesi.
La scadenza media z è un mese e 18 giorni.
Durata media finanziaria
(duration)
• È una scadenza media aritmetica avente
per pesi i valori attuali delle rate:



k 
n
Rk v 

D  n
tk
k
k 1 
  Rk v 
 k 1

Misura la distanza da t0 del baricentro della distribuzione temporale delle
masse
ESEMPIO
• La duration di una rendita così costituita:
(10000; 2), (11500; 4), (13000; 6),
tasso interesse annuale 0,1
2
4
6
10000(1,1)  2  11500(1,1)  4  13000(1,1)  6
d
 3,921
2
4
6
10000(1,1)  11500(1,1)  13000(1,1)
Duration rendita rata costante

k
n 
Rv
D   n
k
k 1 
Rv

 k 1


 tk



• La duration è indipendente dalla rata
Esempio
• Consideriamo le due rendite finanziariamente
equivalenti (valore attuale = 110) e il fattore di
sconto composto
A  10;0, 110;1
1
g (t ) 
1  0.1t
B  66;1, 60,5;2
DA  0,909
DB  1.4545
z A  0.913
z B  1.466
t A  0.917
t B  1.478
Scadenza media aritmetica

n  R
t   n k
k 1
  Rk
 k 1


t k



t A  0 * (10) / 120  1* (110) / 120  0,917
t B  1* (66) / 126,5  2 * (60,5) / 126,5  1,478
Scadenza media
z
n
n
k 1
k 1
ln  Rk  ln  Rk 1  i  k
ln 1  i 
ln120  ln(10  110(1  0.1) 1 )
zA 
 0.913
ln 1  0.1
ln126.5  ln(66(1  0.1) 1  60.5(1  0.1) 2 )
zB 
 1.466
ln 1  0.1
duration



k 
n
R
v
t
D  nk
k
k
k 1 
  Rk v 
 k 1

110(1,1) 1 1
dA 
 0,909
110
66(1,1) 1 1  60,5(1,1) 2  2
dB 
 1,4545
110
Esercizi
• ACD: cap.5 es.5.10, cap. 10 es.10.16
punto a), es.10.18 punto a)
• BC: cap. 2 es.8,