fine
Quante sono le diagonali di un
poligono convesso?
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
M
3
d
0
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
M
3
4
d
0
2
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
M
3
4
5
d
0
2
5
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
M
3
4
5
6
d
0
2
5
9
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
M
d
3
0
4
2
5
5
6
9
e poi?
37
?
1115 ?
M
?
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
Proviamo a produrre una congettura?
3
3
3 x 6 = 18
3
3
3
3
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
Proviamo a produrre una congettura?
3
3
3 x 6 = 18
3
ma ogni diagonale
è contata due volte!
Quindi sono
18 : 2 = 9
3
3
3
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
E in generale?
3
3
3 x 6 = 18
3
ma ogni diagonale
è contata due volte!
Quindi sono
18 : 2 = 9
3
3
3
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
E in generale?
3
M (M - 3)
3
ma ogni diagonale
è contata due volte!
Quindi sono
d = M (M - 3) : 2
Ci sono M vertici
e da ciascuno
escono (M-3)
diagonali
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURA
Se M è il numero dei vertici,
il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURA
Se un poligono ha M vertici
il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2
Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo
affermare (senza disegnare) che
un poligono con 37 vertici ha
37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629
diagonali
fine
Quante sono
le diagonali di un poligono (convesso)?
CONGETTURA
Se un poligono ha M vertici
il numero delle diagonali è
d = M (M - 3) : 2
Abbiamo una bella congettura.
Se fossimo sicuri che è valida, potremmo
affermare (senza disegnare) che
un poligono con 37 vertici ha
37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629
diagonali
Come possiamo dimostrare che
la congettura vale per ogni M?
fine
Peano ci aiuta con il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
(Assioma dell’Induzione)
Il metodo si compone di due passi:
1. Verifica che la proprietà vale per un numero
naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1)
2. Dimostra che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1
L’assioma afferma che:
Se sono soddisfatte queste due condizioni,
allora la proprietà vale per ogni numero naturale
(a partire dal primo per cui è stata verificata, di
solito 0 o 1 ).
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
la proprietà si propaga da un numero al
successivo
e così via
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
è come quando spingo una tessera del domino
che fa cadere via via quelle che la seguono
0 1
2
3
e così via
fine
Che idea ‘sta sotto’ il
Principio (o Metodo) di Induzione Matematica?
Usiamo alcune metafore:
è come quando spingo una tessera del domino
che fa cadere via via quelle che la seguono
0 1
2
3
4
5
e così via
fine
Applico nel nostro caso il
Principio (o Metodo) di Induzione
Matematica
1. Verifico che la proprietà vale per il numero
naturale 3 (il primo della tabella)
il triangolo non ha diagonali
d = 3 (3 - 3) : 2 = 0. OK
2. Dimostro che se la proprietà vale per un
numero naturale m allora la proprietà vale per il
successivo di m, cioè m+1. 
Fatto questo, sarà certo che la formula
d = M (M - 3) : 2
vale per un poligono con un numero qualsiasi di
vertici M (  3).
fine
Procedo con il passo 2
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1 vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo (m + 1).
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
m (m - 3) : 2
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
Disegno un altro vertice
(m +1)°
Qui
ci sono
m (m
- 3) : 2
m (m
- 3)
diagonali
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
Disegno un altro vertice
(m +1)°
Quante sono le diagonali?
Qui
Qui
Qui
mci(m
cisono
cisono
- sono
3) : 2
mm(m
- -3)-3)3):2
m(m
diagonali
(m
diagonali
diagonali
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
Disegno un altro vertice
(m +1)°
Quante sono le diagonali?
Quelle di prima: m (m - 3) : 2
Qui
Qui
Qui
mci(m
cisono
cisono
- sono
3) : 2
mm(m
- -3)-3)3):2
m(m
diagonali
(m
diagonali
diagonali
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
Disegno un altro vertice
(m +1)°
Quante sono le diagonali?
Quelle di prima: m (m - 3) : 2
Quelle da (m +1)°: m - 2
Qui
Qui
Qui
mci(m
cisono
cisono
- sono
3) : 2
mm(m
- -3)-3)3):2
m(m
diagonali
(m
diagonali
diagonali
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
Disegno un altro vertice
(m +1)°
Quante sono le diagonali?
Quelle di prima: m (m - 3) : 2
Quelle da (m +1)°: m - 2
il segmento 1m: 1
Qui
cicisono
Qui
Qui
cisono
sono
m (m - 3) : 2
mm(m
- -3)-3)3)
m(m
(m
3):2
:2
diagonali
diagonali
diagonali
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
In tutto sono:
m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =
[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =
[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =
[m2 - m - 2] : 2 =
(m + 1) (m - 2) : 2
Qui
cicisono
Qui
Qui
cisono
sono
mm(m
-(m
m(m
-3)-3)-3)
3):2
m(m
3): :2 2
diagonali
diagonali
diagonali
diagonali
fine
2. Dimostro che
se un poligono con m vertici ha
m (m - 3) : 2 diagonali
allora un poligono con m + 1
vertici ha
(m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
cioè faccio propagare la
proprietà da un numero
qualsiasi m al suo successivo
(m + 1).
Fatto!
La proprietà
vale per ogni M
!!!
In tutto sono:
m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =
[m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 =
[m2 - 3m + 2m - 2] : 2 =
[m2 - m - 2] : 2 =
(m + 1) (m - 2) : 2 =
(m + 1) [(m + 1) - 3]: 2
Qui
cicisono
Qui
Qui
cisono
sono
mm(m
- -3)-3)3)
m(m
(m
3):2
:2
diagonali
diagonali
diagonali