Cupole
corso di Statica e
Stabilità delle
Costruzioni murarie e
Monumentali
prof. Luis Decanini
Andamento
tridimensionale degli
sforzi
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Analisi grafica:
sforzi lungo i
meridiani e i
paralleli
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Si ripercorre un
procedimento grafico
ottocentesco, dovuto a un
lavoro di Schwedler del
1851, e riproposto da
Ridolfi nel Manuale
dell’architetto pubblicato
dopo la seconda guerra
mondiale.
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CNR, Manuale
dell’architetto 1953
FORZE E PUNTI
SIGNIFICATIVI
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Spicchio di cupola con le
forze applicate nei
baricentri (di conci e
sovraccarico) e le posizioni
H, degli estremi superiori
di nocciolo delle sezioni
baricentriche, e c, degli
estremi inferiori di nocciolo
delle sezioni di giunto fra
un concio e l’altro. La
scelta dei punti c ed H è
arbitraria è può essere
modificata se il poligono
ottenuto non è
soddisfacente.
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Si ipotizzi che in H1
agisca una forza
orizzontale, sulla cui
natura e intensità si
tornerà fra breve.
Il punto a1 è allora
intersezione fra la
retta d’azione della
forza P1 e l’ orizzontale
per H1.
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Si ipotizzi che la risultante fra la forza Q1
agente in H1 e la forza P1 passi per c1.
Conducendo la parallela alla retta a1 - c1
per 1 e intersecandola con l’orizzontale
per O si determina il punto O1 e l’intensità
della forza Q1.
La forza Q1 si può interpretare come la
risultante di due forze di uguale intensità e
direzione ortogonale alle facce verticali
degli spicchi, agenti quindi secondo i
paralleli. La direzione delle forze Q”
teoricamente è arbitraria, poiché è
sufficiente che ricada all’interno del cono
di attrito. Tuttavia in condizioni di
simmetria, di forma e carico, deve
risultare ortogonale alle facce dello
spicchio.
La presenza di questi sforzi rende il
comportamento delle cupole diverso da
quello di altre volte, nelle quali le
sollecitazioni sono piane.
Si individua quindi l’intersezione b2 fra la
congiungente a1 - c1, lungo la quale agisce
R1, e la retta d’azione della forza P2.
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La risultante della forza R1 e del peso del concio 2 P2 passerà per
b2. Si può poi individuare il punto a2, come intersezione della
parallela a O1 - 2, per b2, e dell’orizzontale per H2
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Si
ipotizzi
che
la
risultante fra la forza Q2
agente in H2 e la somma
delle forze precedenti
passi per c2.
Conducendo la parallela
alla retta a2 – c2 per 2 e
intersecandola
con
l’orizzontale per O1 si
determina il punto O2 e
l’intensità della forza Q2.
Prolungando la retta
Individuazione a2 - c2 si
determina l’intersezione
b3 con la retta d’azione
della forza P3.
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La risultante della forza R2 e del peso del concio 3 P3 passerà per b3. Si può
poi individuare il punto a3, come intersezione della parallela a O2 - 3, per
b3, e dell’orizzontale per H3.
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Si prosegue la costruzione finché, giunti al sesto concio, la congiunte a6 - c6 si
sovrappone alla parallela O5 - 6 per b6. La spinta orizzontale, dovuta alle componenti
contenute nei paralleli della cupola, si annulla. Se infatti, come al solito, si manda la
parallela ad a6 - c6 (- b7) per 6 si determina il punto O6 coincidente con O5. (Tale
coincidenza non sempre si verifica; infatti più spesso O6 si trova a sinistra di O5, vedi
diapositiva seguente).
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Immaginando la presenza di un
settimo concio si può proseguire la
costruzione come fino ad ora. La
parallela a O6 - 7 per b7 determina
l’intersezione a7; congiungendo
quest’ultimo con c7 si vede che b7
rimane a sinistra della retta a7-c7.
Se ora si manda la parallela ad a7
- c7 (- b8) per 7 si determina il
punto O7 a sinistra di O6: per
l’equilibrio è quindi necessaria
una spinta dei paralleli pari a Q7,
che però proprio nei paralleli
comporta lo scambio di sforzi di
trazione, incompatibile con le
ipotesi fatte sul comportamento
non reagente a trazione della
muratura.
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Bibliografia
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1748