Sorgente Sismica
parte 1:
la sorgente dei terremoti
La Terra come filtro
L’energia accumulata in prossimità della zona
sorgente di onde sismiche per effetto di fenomeni
di natura tettonica viene utilizzata
• in parte per la propagazione di onde
sismiche (fenomeni elastici)
• in parte per i processi di fratturazione alla
sorgente (fenomeni non elastici)
La Terra come filtro
Al di fuori della zona sorgente è ragionevole
assimilare la Terra ad un
filtro lineare e stazionario
La stazionarietà è ristretta al tempo di
propagazione delle onde sismiche
La Terra come filtro
Il sismogramma registrato alla superficie terrestre
è l’uscita di una catena di filtri che modifica la
forma e l’ampiezza del segnale emesso dalla
sorgente
u (t )  S (t ) * P(t ) * I (t )
u ()  S () P() I ()
La Terra come filtro
Più in generale,
u (x, t )  S (, t ) * G (x, , t ) * I (x, t )
e, se è nota la risposta strumentale,
U (x, t )  S (, t ) * G (x, , t )
da cui
U (x, )
S (, ) 
G (x, , t )
Sorgenti di onde sismiche
Interne alla Terra
solida
Esterne alla Terra
solida
Miste
Fratture su faglie
Vento
Eruzioni vulcaniche
Esplosioni sotterranee
Variazioni di pressione
atmosferica
Frane
Circolazione di fluidi
Rumore antropico
Movimenti di magma
Impatti di meteoriti
Cambiamenti di fase
repentini
Aeroplani
Lanci missilistici
Esplosioni
Sorgenti di onde sismiche
La sorgente “dislocativa” è definita come la
discontinuità della funzione spostamento
rispetto alla superficie di faglia:
u (, t )  u (, t )

 u (, t )
Uno dei principali obiettivi della
sismologia è la determinazione della
funzione u dai sismogrammi osservati

Sorgenti di onde sismiche
Il primo punto della faglia che emette onde sismiche è
detto ipocentro del terremoto.
Esso rappresenta il punto dal quale si origina la
frattura.
La sua proiezione in superficie è l’epicentro del
terremoto
Effetto del mezzo di propagazione
La risposta del “filtro Terra” è rappresentata
dalla funzione di Green.
Essa corrisponde allo spostamento indotto
nella posizione x del ricevitore da una forza
impulsiva unidirezionale localizzata nella
posizione  alla sorgente:
G(, t0 ; x, t )
La funzione di Green
Dipende dai parametri elastici del mezzo di
propagazione.
Può essere ricavata analiticamente nel caso
di modelli semplici (e.g., Terra omogenea).
In casi realistici essa viene calcolata
numericamente
La funzione di Green
Soddisfa l’equazione

 2Gip
t 2

 ip(x  )(t  t0 ) 
x j
Gkp 

 cijkl

xl 

In un mezzo elastico, omogeneo, isotropo e
r /
illimitato si trova
1
G  ACV
(t  t  )d
ip
ip
r3

r /
 AipCLP
1  r
 t  
r  
 AipCLS
1  r
 t  
r  
0
La funzione di Green
La dipendenza da r-3 del termine di Campo
Vicino lo rende dominante per distanze
prossime alla sorgente.
La dipendenza da r-1 dei termini di Campo
Lontano è quella tipica delle onde di volume.
A grande distanza dalla sorgente e se r,
G  Far Field P + Far Field S
La funzione di Green
• Approssimazione ad alta frequenza
LR
• Approssimazione ad alta frequenza +
Fraunhofer
RL
• Condizione di sorgente puntiforme
RL
Rappresentazione della sorgente sismica
E’ possibile ottenere una relazione che lega gli
spostamenti in un punto qualunque del mezzo
a quelli avvenuti in prossimità della sorgente?
E’ possibile ottenere una relazione che lega gli
spostamenti in un punto qualunque del mezzo
alla distribuzione di forze che nella regione
sorgente ha prodotto la dislocazione?
In un mezzo elastico
 2u
 2  f  (  2)(  u)      u
t
Rappresentazione della sorgente sismica
Esistono sistemi di forze di volume che siano
equivalenti al processo di dislocazione?
A prima vista NO perché:
•la faglia ha un’estensione finita
•la frattura inizia in un punto e da qui si propaga
secondo fronti di rottura
•le regioni della faglia irradiano via via che
vengono raggiunte dal fronte di rottura
•l’evoluzione nel tempo e nello spazio della
dislocazione può essere fortemente irregolare
Rappresentazione della sorgente sismica
Le caratteristiche medie del processo di frattura
sono:
•l’area complessiva fratturata
•lo spostamento medio sulla faglia u
•la velocità media di propagazione della frattura vR
Rappresentazione della sorgente sismica
Per onde sismiche di periodo maggiore o al più
confrontabile con la durata del processo di frattura e per
lunghezze d’onda grandi se paragonate alla dimensione
della sorgente è possibile ottenere un modello “medio”
In tale modello la sorgente viene considerata puntiforme e
la funzione u(t) ha una dipendenza dal tempo che
approssima il processo di emissione di energia durante la
dislocazione
Rappresentazione della sorgente sismica
La complessità del modello aumenta al diminuire del
rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni della sorgente.
Rappresentazione della sorgente sismica
Tale modello è sufficientemente semplice da poter essere
rappresentato mediante un sistema di forze dinamicamente
equivalente. Per simulare il processo di dislocazione è
necessaria almeno una coppia di forze variabili nel tempo
Un tale modello, tuttavia, non include esplicitamente l’inizio
e l’arresto della frattura
Rappresentazione della sorgente sismica
Tale modello è sufficientemente semplice da poter essere
rappresentato mediante un sistema di forze dinamicamente
equivalente. Per simulare il processo di dislocazione è
necessaria almeno una coppia di forze variabili nel tempo
Un tale modello, tuttavia, non include esplicitamente l’inizio
e l’arresto della frattura
Rappresentazione della sorgente sismica
Qual è il modello “buono”?
Intuitivamente, quello a doppia-coppia. Infatti il modello a
singola-coppia introduce nel mezzo un momento non
bilanciato
Rappresentazione della sorgente sismica
Teoricamente, in un mezzo omogeneo e approssimazione
far-field, nel caso del modello a doppia coppia si ha
1
1    r 
u 
sin 2 cos 
f  t   rˆ

3
4
r t    
P


1
1    r 
ˆ
ˆ
u 
cos 2 cos   cos  sin 
f  t  

3
4
r t    
S
Rappresentazione della sorgente sismica
I diagrammi di radiazione per le onde P sono gli stessi per
entrambi i modelli dinamici equivalenti.
Essi invece differiscono per le onde S.
Sul piano =0,
onde P
onde S
Rappresentazione della sorgente sismica
Quando i dati disponibili sono diventati sufficienti è stato
possibile dimostrare sperimentalmente che le osservazioni
per le onde S riproducevano il diagramma per il modello a
doppia-coppia.
Il sistema a doppia-coppia di forze è del tutto equivalente a una
coppia di dipoli ortogonali (assi principali).
Il dipolo diretto verso la sorgente è l’asse di compressione o asse P.
Il dipolo che si allontana dalla sorgente è detto asse di tensione o
asse T.
Il tensore Momento Sismico
E’ possibile esprimere il tensore momento sismico in
termini del tensore momento sismico per unità di
superficie e/o del tensore momento sismico per unità
di volume:
M ij   m dS   m dV
S
ij
V
ij
S
V
Se rappresentiamo la sorgente mediante forze di
volume equivalenti, si ha 3
V
f i  
j 1
mij
x j
Le forze di volume possono quindi essere calcolate
una volta che sia noto il tensore momento
Il tensore Momento Sismico
La rappresentazione della sorgente in termini di forze
è dunque del tutto equivalente a quella in termini del
tensore momento sismico.
Proprio come per le forze equivalenti, il tensore
momento sismico è definito solo all’interno della
regione focale ed è nullo al di fuori di essa.
Il tensore Momento Sismico
Supponiamo che le forze di volume siano diverse da
zero solo all’interno del volume focale V0 e che sulla
sua superficie  gli sforzi e gli spostamenti siano nulli.
Si può dimostrare che lo spostamento in un punto
qualunque di un volume V la cui frontiera è S è dato
da



Gmi 
ui   d  f k Gki dV   d   G jiT j  u j c jkmn
 k dS
xn


V0

S 
dove Ti=ijj è il vettore degli sforzi
Il tensore Momento Sismico
Se il mezzo è infinito, le condizioni sulla superficie S
sono omogenee (sforzi e deformazioni nulli) e quindi

ui (x, t )   d f k (, )Gki (, ; x, t )dV

V0
Tale relazione è nota come
teorema di rappresentazione della sorgente sismica
La funzione di Green si comporta come propagatore
degli effetti delle forze dalla regione sorgente al
ricevitore
Il tensore Momento Sismico
Sostituendo la relazione tra forze e tensore momento
nel teorema di rappresentazione di ricava

 mkj 
Gik dV
ui   d   
  
j 

V0 
e integrando per parti rispetto alle coordinate spaziali


Gik
ui   mkj Gkj d   d mkj
dV
 j


V0
Il tensore Momento Sismico
In assenza di momenti e forze esterne, la somma di tutte le forze
e momenti interni al volume V, tranne che per il volume sorgente
V0, deve essere nulla. E’ allora possibile scegliere
opportunamente l’origine del sistema di riferimento in modo che
sia mkjGkj=0 e quindi

Gik
ui   d mkj
dV
 j

V0
Se il tensore momento sismico è definito solo sulla
superficie , interpretando mkj come la densità
superficiale del tensore momento, si può scrivere in
modo equivalente 
Gik
ui   d mkj
dV
 j


Il tensore Momento Sismico

Gik
ui   d mkj
dV
 j

V0

Gik
ui   d  mkj
d
 j


In definitiva, lo spostamento elastico all’esterno della
regione focale può essere derivato dall’integrale,
esteso alla regione sorgente (V0 oppure ) del
prodotto del tensore momento sismico per la derivata
della funzione di Green.
La quantità mkj rappresenta la sorgente in maniera del
tutto generale e corrisponde ad un qualunque sistema
di forze avente risultante e momento risultante nulli
Il tensore Momento Sismico
Per una sorgente puntiforme le equazioni precedenti
possono essere scritte in maniera compatta come
Gik
ui  M kj 
 j
Il tensore Momento Sismico
Si può dimostrare che, in approssimazione far-field, lo
spostamento associato ad una coppia di forze che
giace nel piano kj è dato da
i  k  j 1  
 r 
ui 
M kj  t  

3
4 r t 
  
per le onde P, e da
 (  i  k  ik )  j 1  
 r 
ui 
M kj  t  
3
4
r t 
  
per le onde S, essendo
i 
r
xi
il coseno direttore
Il tensore Momento Sismico
In un sistema di coordinate sferiche
1
1    r 
u(x, t ) 
sin 2 cos 
M 0  t   rˆ

3
4
r t    


1
1    r 
ˆ
ˆ

cos 2 cos   cos  sin 
M 0  t  

3
4
r t    
essendo M0 la funzione momento scalare dipendente
dal tempo
Il tensore Momento Sismico
Spesso risulta conveniente esprimere i diagrammi di radiazione
in un sistema di coordinate geografico. In particolare viene
individuato un sistema di riferimento locale (l, m, n) nelle
direzioni, rispettivamente, P, SV e SH. In tal caso,
u P (r , t ) 
1
 r 
P  

M

0t 

3
4 r
t    
 r 
1
SV  
u (r , t ) 

 M 0  t  
43 r
t    
SV
u SH (r , t ) 
 r 
1
SH  

M
 0  t  
3
4 r
t    
Il tensore Momento Sismico
dove, ad esempio,
 P  cos  sin  cos 2 ih sin 2
 cos  cos  sin 2ih cos 
 sin  sin 2(cos 2 ih  sin 2 ih sin 2 )
 sin  cos 2 sin 2ih sin 
con
   f  s