Grafi
Definizioni/1
• Struttura dati per la rappresentazione di
relazioni binarie
• G=(V,E), |V|=n, |E|=m
• V: insieme di Vertici o Nodi
• E={{vi, vj}: vi, vj V} : insieme di Spigoli
– {vi, vj} = {vj, vi} Grafo semplice o non orientato
• E={(vi, vj): vi, vj  V} : insieme di Archi
– (vi, vj)  (vj, vi) Grafo diretto o orientato
• spesso i termini spigolo ed arco vengono
usati come sinonimi
giugno 2002
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2
Esempi
• Relazioni di parentela
– Alberi genealogici
•
•
•
•
•
Relazioni tra classi nei linguaggi OO
Grafo del Web
Assetti societari
Reti di trasporto
................
giugno 2002
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3
Definizioni/2
• Multigrafo: E è un multinsieme
• Pseudografo: E contiene anche coppie
(vi, vi)  cappi
• Circuito in un grafo:
v1, v2,….., vk: (vi, vi+1)  E, v1= vk (senza archi
ripetuti)
• Ciclo in un grafo: Circuito con vi  vj, per i 
j
• Grafo pesato: valore reale wk associato ad
ogni arco ek
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4
Definizioni/3
• Kn: Grafo semplice in cui sono presenti
tutti gli archi.
n 1
n (n  1)
– numero di archi in Kn :  (n  i ) 
i 1
2
• G’=(V’,E’) sottografo
di G=(V,E) se e solo se V’V ed E’  E
• grado(v): # di archi incidenti in v
• (vi, vj)  E: vi adiacente a vj
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5
Esempi di grafi: (a-d) grafi semplici; (c) un grafo completo K4;
(e) un multigrafo; (f) uno pseudografo; (g) un circuito in un grafo
orientato; (h) un ciclo nel grafo orientato
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6
Rappresentazioni
• Lista di adiacenza: ogni vertice è associato
con la lista dei vertici adiacenti.
• Lista di adiacenza può essere una tabella o
una lista concatenata
• Matrice di adiacenza:
aih=1 se (vi, vh)  E, aih=0 altrimenti
• Matrice di Incidenza:
aih=1 se vi  eh, aih=0 altrimenti
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7
Rappresentazioni
di grafi.
Un grafo (a)
rappresentato
con una lista
di adiacenze
(b-c),
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8
Rappresentazioni di grafi. Un grafo (a) rappresentato come una matrice
di adiacenze (d) e come una matrice d’incidenza (e)
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9
Vantaggi e Svantaggi
• Lista di adiacenza: memoria O(m)
Vantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti
a v in O(grado(v))
Svantaggi: inserimenti e cancellazioni su liste
concatenate in O(grado(v))
• Matrice di adiacenza: memoria O(n2)
Vantaggi: Inserimenti e cancellazioni in O(1)
Svantaggi: permette di scorrere i nodi adiacenti
a v in O(n)
• D.: matrice di incidenza ?
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10
Visita di un Grafo
•
Obiettivo: visitare una sola volta
tutti i nodi del grafo.
–
•
Es.: visitare un porzione del grafo del
Web
Difficoltà:
–
–
Presenza di cicli: marcare i nodi visitati
Presenza di nodi isolati: la visita
termina quando sono state considerate
tutte le componenti isolate del grafo
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Visita in profondità - DFS
• La visita procede da tutti gli archi uscenti
da un nodo.
• Se tutti i nodi adiacenti sono stati visitati
allora si torna al nodo “predecessore”.
• Una volta tornati al nodo di partenza si
prosegue da un nodo qualsiasi non visitato.
• I nodi vengono rinumerati secondo l’ordine
di visita.
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12
Esempio di applicazione dell’algoritmo depthFirstSearch
ad un grafo
giugno 2002
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13
L’algoritmo depthFirstSearch applicato ad un grafo orientato
giugno 2002
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14
Implementazione della DFS/1
• I nodi sono inizialmente marcati con 0, i=1.
• Assumi la visita sia arrivata ad un nodo v.
• La visita prosegue da un nodo u adiacente a v se
marcato 0.
• Se nessun nodo adiacente marcato 0 è disponibile
torna al nodo da cui si è raggiunto v oppure termina
se v è il nodo iniziale.
• Ogni volta che un nodo mai visitato è raggiunto,
questo viene marcato con i++
• Viene marcato sia l’nizio che la fine della visita di
un nodo v, risp. num(v) e fin(v)
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15
Implementazione della DFS/2
depthFirstSearch() {
for (tutti i vertici v)
num(v)=fin(v)=0; // Vedi slide succ.
edges = null;
i=j=1; // per aggiornare num(v) e fin(v)
while (<esiste v tale che num(v)==0>)//main
loop
DFS(v);
<visualizza edges>
}
giugno 2002
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16
Implementazione della DFS/3
DFS(v) {
num(v)=i++; //prima visita di v
for (<tutti i vertici u adiacenti a v>)
if (num(u) == 0) {
<inserisci lato (v,u) in edges>
DFS(u);
}
fin(v)=j++; // ultima visita di v
}
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17
implementazione della DFS/4
• l’implementazione iterativa della DFS
utilizza una pila per memorizzare gli
archi uscenti da un nodo visitato
• ad ogni passo si estrae l’arco sulla
cima della pila
• la visita prosegue dal nodo adiacente
se marcato 0
giugno 2002
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Proprietà della DFS
• l’algoritmo DFS visita l’intera componente del
grafo raggiungibile dal nodo di partenza
• se collezioniamo gli archi (edges) che portano alla
scoperta di nuovi nodi, otteniamo una collezione di
alberi che coprono l’intero grafo
– dipende dal fatto che un arco viene seguito solo se il nodo
adiacente non è mai stato raggiunto.
• gli archi seguiti connettono un nodo con marca
inferiore ad un nodo con marca superiore (forward
edges)
• gli archi che non vengono seguiti al contrario
connettono nodi con marca superiore a nodi con
marca inferiore (back edges)
giugno 2002
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Complessità della DFS
• O(n) per inizializzare marcatura dei nodi
• Test degli archi uscenti da un nodo v:
– O(grado(v)) nella rappresentazione con lista di
adiacenza.
– O(n) nella rappresentazione con matrice di
adiacenza.
• Ogni arco viene testato al più due volte,
una volta per ogni estremo
• Complessivamente O(n + m), O(n2) (grafo
denso)
giugno 2002
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20
Visita in ampiezza - BFS
• La visita in ampiezza fa uso di una
coda per memorizzare tutti gli archi
incidenti nel nodo v visitato che
portano ad un nodo marcato 0
• I nodi raggiungibili marcati 0 vengono
quindi marcati
• La visita procede dall’arco (v,u) in
testa alla coda
giugno 2002
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21
implementazione della BFS
breadthFirstSearch() {
for (tutti i vertici v) num(v)=0;
edges = null; i = 1;
while (<esiste v tale che num(v)==0>) {
num(v) = i++;
enqueue(v);
while (<la coda non è vuota>) {
v = dequeue();
giugno 2002
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22
implementazione della BFS/2
for(<tutti i vertici u adiacenti a v>)
if (num(u) == 0) {
num(u) = i++;
enqueue(u);
<inserisci arco (v,u) in edges>
}
}
}
<visualizza edges>
}
giugno 2002
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23
Un esempio di applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch
ad un grafo
giugno 2002
ASD - Grafi
24
Applicazione dell’algoritmo breadthFirstSearch ad un grafo orientato
giugno 2002
ASD - Grafi
25
Ordinamento Topologico/1
• Grafi diretti aciclici (DAG) possono
rappresentare ordinamenti parziali.
• Ordinamento parziale:
i,j,k, se i  j e j  k allora i  k
• Ogni elemento i è rappresentato da un nodo
vi
• i<j sse esiste un cammino diretto da vi a vj.
• Se esiste un ciclo non è possibile
rappresentare un ordine parziale. Perché?
giugno 2002
ASD - Grafi
26
Ordinamento parziale
• Possono esistere coppie tra le quali
non è definito alcun ordine
– Es.: classi sorelle in linuaggi OO
• Modellano molte situazioni di
interesse pratico
– Ereditarietà tra classi Java
– Vincoli di precedenza in progetti
complessi
giugno 2002
ASD - Grafi
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Ordinamento Topologico/2
• Determinare un ordinamento dei vertici
vp(1), vp(2),….., vp(n) tale che se esiste un
cammino da vp(i) a vp(j) allora p(i)>p(j).
• L’ordinamento topologico secondo la
relazione < è ottenuto considerando la
sequenza in ordine inverso
• Per determinare l’ordinamento topologico
occorre che ogni nodo nell’ordine sia
seguito da tutti i suoi predecessori.
• Un vertice pozzo è un vertice che non ha
archi uscenti. In un DAG esiste sempre
giugno
2002 vertice. Perché?
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tale
28
Ordinamento Topologico/3
TopologicalSort() {
for i = 1 to n {
<trova un vertice pozzo v>
num(v)=i;
<elimina dal DAG tutti gli
archi incidenti in v>
}
}
giugno 2002
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29
Ordinamento
topologico:
g,e,b,f,d,c,a
giugno 2002
ASD - Grafi
30
Ordinamento Topologico/4
• In pratica un ordinamento topologico si
ottiene se nella sequenza ogni nodo è
seguito dai suoi predecessori.
• Si esegue una DFS e si ordinano i vertici
secondo il valore fin(v).
• Il valore fin(v) è inferiore a quello dei suoi
predecessori.
• L’ordinamento topologico si ottiene dalla
sequenza ordinata secondo fin(v) scandita
in ordine inverso. Come si dimostra?
giugno 2002
ASD - Grafi
31
Ordinamento Topologico/5
TS(v)
num(v)=i++;
per tutti i vertici u adiacenti a v
if (num(u) == 0)
TS(u);
else if (fin(u)==0)
errore; // identificato un ciclo
/* dopo avere esaminato tutti i predecessori,
assegna a v un numero maggiore di quelli
assegnati a qualsiasi predecessore */
fin(v) = j++;
giugno 2002
ASD - Grafi
32
Ordinamento Topologico/6
topologicalSorting(digraph)
per tutti i vertici v
num(v)= fin(v) = 0;
i = j = 1;
while (esiste v tale che num(v) == 0)
TS (v);
Visualizza vertici in ordine inverso
secondo fin(v);
giugno 2002
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33
Connettività in Grafi diretti
• Due nodi u,v sono connessi in un grafo
orientato se esiste un cammino diretto che
collega u a v.
• Un grafo diretto è fortemente connesso se
per ogni coppia u,v, esiste un cammino da u
a v e da v ad u.
• Un grafo è debolmente connesso se ogni
coppia di nodi è connessa da un cammino
quando gli archi orientati si sostituiscono
con gli archi non orientati.
giugno 2002
ASD - Grafi
34
Componenti fortemente connesse SCC/1
• Un grafo diretto può essere decomposto in
componenti fortemente connesse, V1 , V2 ,…
, Vk, tale che
– V  V1  V2  ....  Vk
– u, v V j u connesso a v e v connesso ad u
– Vj è un insieme massimale
• GT=(V, ET)
giugno 2002
ET : se (u ,v )  E  (v ,u )  E T
ASD - Grafi
35
SCC / 2
Strongly ConnectedComponent(G)
Esegui DFS(G) per calcolare fin(v) per ogni
vertice v;
Calcola GT ;
Calcola DFS(GT) considerando i nodi nel Main
Loop in ordine decrescente di fin(v) ;
Output ogni albero di DFS(GT ) come una
componente fortemente connessa separata
• Complessità: O(m+nlog n). DFS più ordinamento in
ordine decrescente rispetto a fin.
giugno 2002
ASD - Grafi
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G
GT
a
b
c
d
a
b
c
d
8/6
6/8
1/5
5/4
2
1
4
5
h
e
f
4/2
3
7
e
7/7
f
g
3/1
2/3
num/fin
g
h
6
8
num
Radici Alberi DFS: b, c, g, h
SCC: {a,b,e} {c,d} {f,g} {h}
Esempio di esecuzione dell’algoritmo per SCC
giugno 2002
ASD - Grafi
37
Il Problema dei Cammini Minimi
• G=(V,E) è un grafo pesato sugli archi
• d(u,v), (u,v) E: peso sull’arco (u,v)
• Cammino dal nodo s al nodo t:
v1, v2,….., vk: (vi, vi+1) E, v1= s, vk=t
k 1
• Lunghezza del cammino:  d (vi , vi 1 )
i 1
• Il cammino di lunghezza minima non
contiene cicli ……se le distanze sugli archi
sono positive. Come si dimostra?
giugno 2002
ASD - Grafi
38
Il problema dei Cammini Minimi/2
• Determinare il cammino di lunghezza
minima
– dal nodo s al nodo t
– dal nodo s a tutti gli altri nodi V (SSSP)
– tra tutte le coppie di nodi del grafo (APSP)
• Numerose applicazioni: reti stradali, reti di
comunicazione, scheduling di progetti,
progetto di circuiti,….
giugno 2002
ASD - Grafi
39
Single Source Shortest
Paths/1
• Consideriamo un grafo pesato con pesi non
negativi.
• Determinare il cammino minimo da un nodo
s a tutti i nodi V del grafo
• Ogni sottocammino di un cammino minimo è
esso stesso un cammino minimo.
• Ex: s,…,i,…j,…,v: cammino minimo da s a v
i,…,j è un cammino minimo da i a j.
Come si dimostra?
giugno 2002
ASD - Grafi
40
Single Source Shortest
Paths/2
• La collezione dei cammini minimi da s a tutti i nodi
V può essere sempre posta nella forma di un
albero. Come si dimostra?
• Algoritmi per SSSP mantengono ad ogni istante
delle etichette sui nodi.
• Etichette rappresentano delle approssimazioni
delle distanze dalla sorgente.
• Vi sono algoritmi che ad ogni passo fissano alcune
etichette ai loro valori finali, ex Dijkstra.
• Altri algoritmi, ex: Bellmann & Ford, possono
modificare tutte le etichette lungo l’intera
esecuzione dell’algoritmo.
giugno 2002
ASD - Grafi
41
Dijkstra/1
1. Due insiemi di nodi Q ed R.
2. Inizialmente Q= {}, R={1,..,n}
3. v  R, v  s, dist (v)  , dist ( s )  0
4. Ad ogni passo estrai il nodo v in R con min dist(v)
ed inserisci v in Q
5. Per ogni u adiacente a v aggiorna la distanza da s
ad u attraverso nodi in Q:
if dist (u )  dist (v )  d (v, u )
dist (u )  dist (v )  d (v, u )
pred(u)  v
giugno 2002
ASD - Grafi
42
Un’esecuzione
di
DijkstraAlgorithm
giugno 2002
ASD - Grafi
43
Dijkstra/2
• Ad ogni passo si determina la distanza minima di un
nodo v in R. Il nodo viene inserito in Q.
• Dijkstra termina in n passi.
• Ad ogni passo occorre determinare il nodo v in R
con minimo valore dist(v), O(log n) usando un heap
per la coda di priorità.
• Occorre poi eseguire il rilassamento per ogni
adiacente u di v, O(grado(u)) vertici, ed
eventualmente aggiornare la priorità.
Complessivamente O(m log n)
• Complessità di Dijkstra O((n + m )log n).
giugno 2002
ASD - Grafi
44
Dijkstra/3
• Correttezza: Dimostrare che dist(v) è la distanza
minima d(v) da s a v quando v è incluso in Q.
• Per assurdo, considera il primo nodo v inserito in Q
per cui dist(v) > d(v)
• Esiste un cammino da s a v alternativo più breve
che contiene almeno un nodo in R.
• Sia v’ il primo nodo in R sul cammino da s a v.
• v’ è connesso ad s con un cammino formato di soli
nodi in Q, con dist(v’) < dist(v).
• Una contraddizione poiché v’ sarebbe stato
selezionato in luogo di v.
giugno 2002
ASD - Grafi
45
Dijkstra/4
DijkstraAlg(grafo digraph, vertice source)
for tutti i vertici v
dist(v)=  ;
dist(source)=0;
R = tutti i vertici;
while (R!=0)
v = vertice in R con minimo dist(v);
for tutti i vertici u in R adiacenti a v
if dist(u) > dist(v) + d(v,u)
dist(u) = dist(v) + d(v,u);
pred(u) = v;
giugno 2002
ASD - Grafi
46
Dijkstra/5
• La collezione dei pred(u) forma
l’albero dei cammini minimi con
sorgente s.
• Si può risolvere il problema APSP
eseguento n volte Dijkstra a partire
da n sorgenti. Complessità:O(n (m +n)
log n).
giugno 2002
ASD - Grafi
47
Minimo Albero Ricoprente –
MST
• Si desidera selezionare un sottografo di un
grafo che mantenga la connettività tra
tutti i nodi al minore costo possibile.
• Ex: selezionare un sottoinsieme di tratte
aeree che permettono di raggiungere tutte
le destinazioni con costo minimo.
• Assumiamo un grafo semplice e pesi non
negativi d(u,v) sugli archi.
• La rete ottima è un albero. Perché?
giugno 2002
ASD - Grafi
48
8
b
11
8
h
4
i
7
d
9
2
4
a
c
7
14
e
6
1
g
2
f
10
A Graph and its MST
giugno 2002
ASD - Grafi
49
MST / 2
• Strategie Greedy: procedi attraverso una
sequenza di scelte ottime locali.
– in generale portano alla soluzione ottima solo in
casi particolari.
• Per il MST, consideriamo algoritmi che
mantengono la seguente proprietà:
P1. Ad ogni passo l’insieme degli archi
selezionati è un sottoinsieme del MST
finale.
• Ad ogni passo un nuovo arco viene aggiunto
alla soluzione mantenendo P1
giugno 2002
ASD - Grafi
50
MST / 3
• Definiamo un arco “safe” se può essere
aggiunto ad un MST mantenendo P1
• Il generico algoritmo Greedy:
Algorithm_MST(G,d)
A={}
while A non è uno Spanning Tree
trova un arco (u,v) safe per A;
Inserisci (u,v) in A;
return A
• Diversi algoritmi differiscono per la
strategia di ricerca di un arco safe.
• Questo algoritmo ha n-1 iterazioni
giugno 2002
ASD - Grafi
51
archi “safe”
• un taglio (S, V\S) è una partizione dei
vertici negli insiemi S e V\S
• un arco (u,v) attraversa il taglio se uS e v
V\S (o viceversa)
• un taglio rispetta un insieme di archi A se
nessun arco di A attraversa il taglio
• l’arco (u,v) di peso minimo che attraversa il
taglio è safe per A
– è ok un qualsiasi taglio che rispetti A
• dimostrazione?
giugno 2002
ASD - Grafi
52
Algoritmo di Boruvka
• L’insieme A forma un insieme di componenti
connesse
• Safe: Determina l’arco di costo minimo che
connette due componenti connesse in A.
• I pesi degli archi vengono memorizzati in
una coda di priorità.
• Ad ogni passo si estrae il minimo e si
eliminano anche tutti gli archi tra due
componenti che vengono unite.
• Complessità?
giugno 2002
ASD - Grafi
53
8
b
11
8
6
1
h
b
a
4
i
7
7
c
h
giugno 2002
6
g
2
Esecuzione
dell’Algoritmo
di Boruvka
e
10
f
d
9
5
i
1
14
2
g
3
4
d
9
2
4
a
7
c
e
La numerazione indica
l’ordine di selezione
degli archi del MST
f
ASD - Grafi
54
Algoritmo di Kruskal
• Ordina gli archi secondo peso crescente
• Safe: Determina l’arco di peso minimo che
non determina cicli in A.
• Complessità:
– Ordinamento degli archi in O(m log m).
– Verifica m volte se si ha un ciclo. Determinare
l’esistenza di un ciclo può essere svolto in O(log
n)
– In totale O(m log m) = O(m log n)
• L’esecuzione è identica all’algoritmo di
Boruvska
giugno 2002
ASD - Grafi
55
Algoritmo di Prim / 1
• L’insieme A forma ad ogni passo una
singola componente connessa
• Inizialmente A contiene {u,v} tale che
(u,v) è l’arco di costo minimo.
• Ad ogni passo si inserisce in A l’arco
di costo minimo che attraversa il
taglio indotto da A.
giugno 2002
ASD - Grafi
56
Algoritmo di Prim /2
• L’implementazione di Prim è simile a
Dijkstra con Q=A. Un Heap R memorizza il
peso minimo di un arco che connette un
nodo di R ad un nodo di A.
• Ad ogni passo un nodo v di minima priorità è
inserito in A (e rimosso dall’Heap R)
• Per tutti i nodi u in R adiacenti a v si
aggiorna la priorità di u se d(v,u) è minore
della priorità corrente di u.
• Complessità: O(m log n) per l’aggiornamento
della priorità che può essere svolto m volte.
giugno 2002
ASD - Grafi
57
Algoritmo di Prim / 3
PrimAlg(grafo graph, vertice s)
A = {s};
R = tutti i vertici/s;
for tutti i vertici v
rank(v)=min{d(s,v),  };
while R!=0
estrai vertice v in R con minimo rank(v)=d(r,v) r  A ;
A = A  v;
pred(u) = v;
for tutti i vertici u in R adiacenti ad v
if rank(u)>d(v,u)
rank(u) = d(v,u);
giugno 2002
ASD - Grafi
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8
b
a
11
h
b
6
1
g
6
c
4
7
h
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2
14
f
5
g
2
Esecuzione
dell’Algoritmo
di Prim
e
10
d
8
3
i
1
d
4
i
7
7
9
2
4
8
a
c
e
La numerazione indica
l’ordine di selezione
degli archi del MST
f
ASD - Grafi
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