– Progetto Docente –
Applica le competenze acquisite
• Realizzazione di un lavoro didattico di formazioneinformazione relativo alla parte finale del corso
Lezione di Geometria. L’opera di
Gauss e le geometrie non-euclidee.
(2^ parte)
Prof. Massimo Ottone
Novembre 2002
Curvature e geodetiche
• Abbiamo avuto modo di dire come il
contributo di Gauss consistette nel
fornire un insieme di formule utilizzabili
su qualsiasi tipo di superficie: piana,
sferica, ellissoidale o irregolare a piacere;
e nel definire una grandezza, chiamata
curvatura, assegnata a ciascun punto
della superficie.
Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
• Nel caso di quel grande frutteto che ricopre la Terra quasi
per intero (di cui si è parlato nel paragrafo precedente), il
rilievo geodetico metterebbe in evidenza una curvatura
positiva. Maggiore è tale curvatura, tanto più rapidamente
gli alberi si avvicinano tra loro.
Curvatura negativa e curvatura nulla
• La formula di Gauss si applica
anche nel caso di curvatura negativa, in cui gli intervalli fra gli
alberi aumenterebbero con la
distanza dalla linea di base.
• Ancora una volta, quanto più
negativa fosse la curvatura,
tanto più rapidamente aumenterebbe la distanza fra un albero
e l’altro. Per tornare al nostro
esempio, pensiamo ad un pianeta a forma di clessidra e supponiamo di piantare un frutteto prendendo come linea di base il suo equatore.
• Solo nel caso di curvatura nulla,
come in un piano euclideo o su
un cilindro, gli intervalli fra gli
alberi resterebbero identici: si
noti come anche una superficie
cilindrica ha curvatura nulla.
Linee rette e geodetiche
• La “distanza in linea d’aria” di un rilievo geodetico segue sempre
una linea retta, ma non è una retta euclidea, si chiama
geodetica e ha la proprietà di rappresentare il cammino più
breve tra due punti.
• Per esempio: per chi si muove sulla superficie terrestre
(supposta sferica) senza avere la possibilità di staccarsi da
questa né di scendere sotto di essa, il percorso più breve tra
due punti è un arco di circonferenza.
• Per tale motivo la distanza tra Milano e Wellington (Nuova
Zelanda) viene indicata in circa 18.600 km. In realtà il segmento
di retta che unisce Milano e Wellington misura circa 12.700 km.
• Quest’ultima misura non ha alcun valore pratico, perché tale
segmento di retta passa vicino al centro della Terra.
• Perciò le geodetiche sulla Terra sono archi di circonferenza.
Come misurare la curvatura?
• Rimanendo su una superficie, non è affatto facile capire se essa
sia o non sia euclidea.
• Le prove a sfavore della Terra piatta sono tutte dovute ad
osservazioni astronomiche o all’effettuazione di percorsi
sufficientemente lunghi come la circumnavigazione.
• Gauss ha elaborato un sistema per cui, senza uscire dalla
superficie è possibile misurare il tipo di curvatura: se la somma
degli angoli interni di un triangolo (a+b+g) tracciato sulla
superficie è >180° la curvatura relativa sarà positiva, se è <180°
sarà negativa, se è =180° sarà nulla.
a+b+g
a + b + g    
a + b + g    
a
b
g
a
b
g
a
g
b
• Disegnato su di una sfera, un triangolo equilatero può avere retti
tutti e tre i suoi angoli interni.
90°
La somma degli angoli
interni di questo triangolo non è di 180°, ma,
come è evidente, 270°.
90°
90°
• Abbiamo così fatto l’importante scoperta, tra l’altro, di un modo
per determinare le dimensioni di una sfera usando solo
misurazioni superficiali
• Un cerchio tracciato su una superficie non piana è sempre
definibile come il luogo di tutti i punti che si trovano ad una
distanza data (il raggio) da un punto fisso (il centro).
• La distanza sarà misurata ovviamente lungo una geodetica.
• Supponendo che la Terra sia una sfera con una
circonferenza di 40.000 chilometri, essa avrebbe un
cerchio avente centro al polo nord e raggio 10.000
chilometri.
• Si noti come il rapporto tra circonferenza e diametro
è molto meno di =3,14…, e, in questo caso, vale 2.
•
Ogni cerchio su una sfera ha in effetti una circonferenza minore rispetto a un
cerchio dello stesso raggio sul piano. L’entità della differenza determina
esattamente la curvatura della sfera: quanto maggiore è la curvatura, tanto
minore è la circonferenza.
•
Viceversa, se la circonferenza è maggiore di quella di un cerchio dello stesso
raggio su un piano, la superficie ha curvatura negativa; quanto maggiore è il
rapporto fra la circonferenza e il raggio, tanto più negativa è la curvatura della
superficie
Conclusione su Gauss
• Nell’articolo che Gauss pubblicò nel 1827 sulle superficie curve,
spiegò anche che una carta topografica, per essere perfetta, –
cioè rispettare la scala, gli angoli e le distanze – deve avere la
stessa curvatura della superficie che intende descrivere: è una
diversa (e più profonda) dimostrazione del teorema di Eulero
sull’impossibilità di disegnare una carta perfetta della Terra.
• Stanno ormai nascendo le geometrie non–euclidee, ma pochi
sviluppi della matematica si sono imbattuti in una resistenza
così accanita e addirittura indignata come quella che accolse la
geometria non–euclidea.
• Oltre duemila anni di “onorato servizio” come prototipo di
pensiero chiaro e di ragionamento logico – nonché la
consacrazione datale da Kant come conoscenza sintetica a
priori – facevano della geometria euclidea un fondamento
irrinunciabile.