“Metodi per la Ricerca Sociale e Organizzativa”
Corso di Laurea in Scienze dell’Organizzazione
Facoltà di Sociologia
Università degli Studi di Milano-Bicocca
2009
Simone Sarti
1
LOGICA TRIVARIATA
2
Logica trivariata
Quando ad una relazione bivariata
aggiungiamo una terza variabile
operiamo un’analisi trivariata.
3
Perché considerare una terza variabile?
Quando consideriamo un’ipotesi causale tra
due fenomeni ed empiricamente
corroboriamo l’esistenza di una relazione,
non possiamo tuttavia escludere che i
due fenomeni non siano dovuti ad un
terzo che non abbiamo preso in
considerazione.
4
La causa di un fenomeno in senso generico può
essere definita come la somma totale delle
condizioni , la totalità delle contingenze alla cui
realizzazione segue invariabilmente il
conseguente. (Campelli 1999)
Tuttavia, “Nulla può meglio mostrare l’assenza di
qualsiasi fondamento scientifico per la
distinzione fra la causa d’un fenomeno e le sue
condizioni della maniera capricciosa in cui
scegliamo fra le condizioni quella che preferiamo
chiamare causa “ (J.S.Mill)
5
Cause ed effetti ?
1.Il numero di pompieri impegnati nello
spegnere un incendio è correlato con la
stima finale dei danni provocati
dall’incendio stesso.
2.I bambini nelle cui case vi sono più
finestre mostrano migliori rendimenti
scolastici.
6
Presenza di un effetto SPURIO, cioè di una
terza variabile, antecedente alle due, che è la
“vera” causa della relazione!
1. Considerando le dimensioni dell’incendio,
la relazione tra numero di vigili del fuoco
e stima dei danni sparisce.
2.Considerando la ricchezza patrimoniale
dei genitori, la relazione tra numero di
finestre e rendimento scolastico sparisce.
7
Posizione delle variabili
Una volta ipotizzata una relazione tra due
variabili X “indipendente” e Y
“dipendente”, l’altra o le altre variabili
considerate possono assumere quattro
posizioni:
variabili antecedenti,
variabili intervenienti,
variabili susseguenti,
variabili concomitanti.
8
Variabili antecedenti
Quelle variabili che nell’ordine causale
precedono sia X che Y.
A
X
Y
9
Variabili intervenienti
Quelle variabili che nell’ordine causale
precedono Y ma seguono X.
I
X
Y
10
Variabili susseguenti
Quelle variabili che nell’ordine causale
seguono sia Y che X.
S
X
Y
11
Variabili concomitanti
Quelle variabili che nell’ordine causale
precedono Y ma sono correlate (senza
direzione causale) ad X.
C
X
Y
12
LOGICA degli effetti
EFFETTO SPURIO:
X
Y
l’inserimento di una
variabile di controllo Z,
annulla la relazione tra
X e Y.
Z
X
Y
13
LOGICA degli effetti
EFFETTO SOPPRESSO:
X
Y
l’inserimento di una
variabile di controllo Z,
rende palese la
relazione tra X e Y.
Z
X
Y
14
SCOMPOSIZIONE degli effetti
Variabili categoriali e
differenze di probabilità
15
Esempio 1
ESEMPIO 1. tra variabili dicotomiche.
Incrocio tra titolo di studio e fiducia
nel sistema giudiziario …
X
Y
X
Titolo di studio (L – H)
Y
Fiducia nel sistema giudiziario (S – N)
16
Esempio 1
… controllato per la variabile
antecedente Z
Z
X
Z
Y
Coorte di nascita (G – A)
17
Esempio 1
Effetto bivariato XY= Effetto causale netto + Effetto spurio
=
dyx
dyx.z +
d(yx)z
Z
d(yx)z
dyx
X
Y
X
Y
dyx.z
18
Esempio 1
Tavola di contingenza educ * fidu
fidu
educ
1 Medio-bas sa
2 Alta
Totale
Conteggio
% entro educ
Conteggio
% entro educ
Conteggio
% entro educ
1 Si
231
43.6%
90
58.1%
321
46.9%
2 No
299
56.4%
65
41.9%
364
53.1%
Totale
530
100.0%
155
100.0%
685
100.0%
Fonte: EB 60.1 Italia (30 e più anni)
19
Esempio 1
dyx
Effetto bivariato: educaz. e fiducia giustizia
In un incrocio dicotomico l’effetto bivariato è
misurabile attraverso una semplice differenza di
probabilità.
dyx equivale alla differenza di probabilità
sull’avere fiducia nella giustizia dato l’avere un
titolo di studio alto piuttosto che basso.
20
Esempio 1
dyx
Effetto bivariato: educaz. e fiducia giustizia
Pr (Y=1 | X=2) – Pr (Y=1 | X=1)
Equivale alla probabilità che la variabile Y assuma
valore y, dato che la variabile X assume valore x:
Pr (Y=y | X=x)
La categoria di riferimento è la “SI” (Y=1).
dyx = 0,581 - 0,436 = 0,145
21
Esempio 1
dyx = 0,581 - 0,436 = 0,145
La relazione tra possesso della laurea (piuttosto
che un titolo di studio inferiore) e fiducia nella
giustizia (“si” piuttosto che “no”) è positiva.
22
Esempio 1
GIOVANI Z=1
Tavola di contingenza educ * fidua
fidu
educ
1 Medio-bas sa
2 Alta
Totale
Conteggio
% entro educ
Conteggio
% entro educ
Conteggio
% entro educ
1 Si
119
42.5%
64
59.3%
183
47.2%
2 No
161
57.5%
44
40.7%
205
52.8%
Totale
280
100.0%
108
100.0%
388
100.0%
2 No
138
55.2%
21
44.7%
159
53.5%
Totale
250
100.0%
47
100.0%
297
100.0%
a. eta = 1 Giovani
ANZIANI Z=2
Tavola di contingenza educ * fidua
fidu
educ
1 Medio-bas sa
2 Alta
Totale
Conteggio
% entro educ
Conteggio
% entro educ
Conteggio
% entro educ
1 Si
112
44.8%
26
55.3%
138
46.5%
a. eta = 2 Anziani
23
Esempio 1
Effetti condizionati di Z
Considerando Z, troviamo diversi effetti di X su Y.
dyx|z=1 = 0,593 -0,425 = 0,168
dyx|z=2 = 0,553 -0,448 = 0,105
24
Esempio 1
Effetto condizionato complessivo di Z
Considerando che le numerosità in Z tra giovani
ed anziani sono diverse, occorre ponderare gli
effetti condizionati.
Giovani= 388/685 = 0,567
quota di giovani (qg)
Anziani= 297/685 = 0,433
quota di anziani (1 - qg)
dyx.z = (0,168*0,567) + (0,105*0,433) = 0,141
25
Esempio 1
Effetto bivariato = Effetto causale + Effetto spurio
dyx = dyx.z + d(yx)z
d(yx)z Effetto spurio
d(yx)z =dyx – dyx.z = 0,145 – (0,141) = 0,004
26
Esempio 1
L’effetto della variabile Z è sostanzialmente
nullo, ossia la relazione tra titolo di studio e
fiducia nella giustizia permane immutata anche a
parità di fascia d’età. Non c’è effetto SPURIO.
Z
~0
~0
X
+
Y
27
Esempio 2
ESEMPIO 2. tra variabili dicotomiche.
Incrocio tra genere e fiducia nei
sindacati …
X
Y
X
Genere (M - F)
Y
Fiducia nei sindacati (S - N)
28
Esempio 2
… controllato per la variabile interveniente I
condizione occupazionale (occupato/non
occupato)
I
X
Z
Y
Condizione occupazionale (O - D)
29
Esempio 2
Effetto bivariato XY = Effetto diretto + Effetto indiretto
dyx = c + a*b
I
a
X
b
c
Y
30
Esempio 2
SI
NO
M
31,7
68,3
F
23,3
76,7
N=1000
31
Esempio 2
dyx
Effetto bivariato: genere e fiducia nei sindacati
In un incrocio dicotomico l’effetto bivariato è
misurabile attraverso una semplice differenza di
probabilità.
dyx equivale alla differenza di probabilità sull’avere
fiducia nei sindacati dato l’essere femmina piuttosto
che maschio.
32
Esempio 2
dyx Effetto bivariato: genere e fiducia nei
sindacati
Pr (Y=1 | X=2) – Pr (Y=1 | X=1)
Equivale alla probabilità che la variabile Y assuma
valore y, dato che la variabile X assume valore x:
Pr (Y=y | X=x)
La categoria di riferimento è la “SI” (Y=1).
dyx = 0,233 - 0,317 = -0,084
33
Esempio 2
dyx = 0,233 - 0,317 = -0,084
La relazione tra genere (essere femmina piuttosto
che maschio) e fiducia nei sindacati (“si” piuttosto
che “no”) è negativa.
34
Esempio 2
OCCUPATI I=1
SI
NO
M
33,9
66,1
F
30,8
69,2
Ni=1=750
NON OCCUPATI I=2
SI
NO
M
12,5
87,5
F
9,5
90,5
Ni=2=250
35
Esempio 2
Effetti condizionati di I
Considerando I, troviamo diversi effetti di X su Y.
dyx|i=1 = 0,308 - 0,339 = -0,031
dyx|i=2 = 0,095 -0,125 = -0,030
36
Esempio 2
Effetto diretto c a parità di I
Considerando che le numerosità in I nella
condizione occupazionale sono diverse, occorre
ponderare gli effetti condizionati.
Occupati= 750/1000 = 0,750
quota occupati (qo)
Non occupati= 250/1000 = 0,250
quota non occupati (1-qo)
dyx.i = (-0,031*0,750) + (-0,030*0,250) = -0,031
37
Esempio 2
Effetto bivariato XY = Effetto diretto + Effetto indiretto
dyx = c + a*b
-0,084 = -0,031 + Effetto indiretto
Effetto indiretto = -0,084 - (-0,031) = -0,053
I
a
X
b
c
Y
Esempio 2
L’effetto indiretto della variabile I (occupazione) è
circa due terzi (-0,053 di -0,084) dell’effetto
complessivo tra genere e fiducia nei sindacati. Ciò
significa che la tendenza a mostrare sfiducia nei
sindacati da parte delle femmine è dovuta in buona
parte alla condizione occupazionale.
I
X
-0,084
a*b = -0,053
Y
X
c = -0,031
Y
39
SCOMPOSIZIONE degli effetti
Le correlazioni
40
Ipotizziamo che la variabile Z influenzi la
relazione tra Y e X.
Come misurare l’effetto di X su Y al netto di Z ?
Z
X
rYX
Y
X
rYX .Z
Y
41
Correlazioni tra le variabili:
SYX
rYX 
SY S X
rXZ
S XZ

SZ S X
SYZ
rYZ 
S Z SY
Matrice di correlazione, r.. osservati
Z
X
X
rYX .Z
Y
Z
X
1
Z
.453
Y
.322 .596
Y
.453 .322
1
.596
1
42
E’ possibile calcolare il coefficiente di correlazione
parziale tra X e Y “tenendo costante” Z:
rYX .Z 
rYX  rXZ rYZ
1  R 1  R 
2
XZ
2
YZ
43
Coefficiente di correlazione parziale tra X e Y “tenendo
costante” Z:
Correlazione lorda
Correlazione di Z su X e Y
Misura quanto Z spiega di X eY
rYX .Z 
rYX  rXZ rYZ
1  R 1  R 
2
XZ
Residui di Z-X e Z-Y
2
YZ
Più la Z spiega X eY, più
grande è il denominatore
44
E’ possibile calcolare il coefficiente di correlazione
parziale tra X e Y “tenendo costante” Z:
rYX .Z 
rYX  rXZ rYZ
1  R 1  R 
2
XZ
Matrice di correlazione, r.. osservati
Z
X
2
YZ
 0,073
rYX .Z
rYX  0,322
rYX .Z  0,073
X
Y
Z
X
1
Z
.453
Y
.322 .596
Y
.453 .322
1
.596
1
45
La correlazione tra X e Y
tenendo sotto controllo Z
diventa praticamente nulla.
Z
X
rYX .Z
rYX  0,322
Y
rYX .Z  0,073
46
Correlazioni fra tre variabili
Correlations
eta
ascoli Anni di scolarità
reddito Reddito
mens ile (euro)
Pears on Correlation
Sig. (2-tailed)
N
Pears on Correlation
Sig. (2-tailed)
N
Pears on Correlation
Sig. (2-tailed)
N
reddito
Reddito
ascoli Anni
mens ile
eta
di s colarità
(euro)
1
-.247**
.168**
.
.000
.000
1414
1414
1414
-.247**
1
.211**
.000
.
.000
1414
1414
1414
.168**
.211**
1
.000
.000
.
1414
1414
1414
**. Correlation is s ignificant at the 0.01 level (2-tailed).
Calcolare la correlazione parziale tra anni di scolarità e reddito
47
SCOMPOSIZIONE degli effetti
Regressione e correlazione
48
Ipotizziamo un’antecedenza (lineare) causale:
Y  b0  b1 X 1  b2 X 2
X1
b1  bYX1
Y
X2
b2  bYX 2
49
La regressione trivariata
La covariazione tra le variabili indipendenti X e la
dipendente Y può essere ricostruita attraverso una
figura complessa chiamata iperpiano.
La regressione stima i valori dei parametri a e b che
minimizzano i valori osservati e quelli predetti che
costituiscono l’iperpiano.
Più tecnicamente la regressione minimizza la
somma degli errori di predizione al quadrato.
50
La regressione trivariata
Il valore α esprime il valore predetto di Y, quando
tutti i regressori Xk sono uguali a 0.
I valori bk rappresentano la variazione (gli effetti)
apportati dalle rispettive variabili Xk al netto degli
effetti delle altre variabili incluse nel modello.
O anche:
“a parità di ogni altra condizione considerata”.
51
Assunti per la regressione trivariata a
partire dai coefficienti campionari
1.Relazione lineare tra variabili dipendenti ed
indipendenti.
2. Gli errori sono:
-distribuiti normalmente,
-il valore atteso è zero,
-hanno varianze costanti (omoschedasticità),
-sono tra loro indipendenti,
52
Pesi di correlazione e causazione
Esistono legami bidirezionali, che si
sostanziano in “coefficienti di correlazione” e
legami unidirezionali (o causali) che si
sostanziano in coefficienti di regressione.
53
Esempio di modello causale (regressione)
Matrice di correlazione, r.. osservati
X1
X1
b1*
0.453
X2
Y
b2*
eY
X2
X1
1
X2
.453
Y
.322 .596
Y
.453 .322
1
.596
1
Yˆ  0.065 X 1  0.566 X 2
Stime effettuate con il
metodo dei minimi quadrati
Coefficienti standardizzati
54
Coefficiente di determinazione multiplo
2
Y  X1 X 2
R
b r
*
1 YX1
b r
*
2 YX 2
Il coefficiente di determinazione multiplo della variabile Y, è
dato dall’insieme degli effetti beta delle variabili X che
agiscono direttamente su essa, pesate per la correlazione
osservata tra le X e la Y.
In sostanza R2 è la somma degli effetti netti tra le X e la Y.
55
Esempio di modello causale (regressione)
Yˆ  0.065 X 1  0.566 X 2
RY2. X1 X 2  b1*rYX 1  b2*rYX 2
RY2. X1 X 2  0.065  0.322  0.566  0.596
2
Y . X1 X 2
R
 0.358
peY  1  RY2. X
1 X2
Matrice di correlazione
X1
X2
X1
1
X2
.453
Y
.322 .596
Y
.453 .322
1
.596
1
 0.801
56
Analisi dei coefficienti di regressione std
Yˆ  0.065 X 1  0.566 X 2
X1
0.453
X2
b1*  0,065
Y
b2*  0,566
Essendo std i beta possono essere
confrontati direttamente. I due
effetti sono positivi, ma l’effetto di
X2 è molto più intenso.
Precisamente l’aumento di una
unità di X2 corrisponde
all’aumento di 0.566 deviazioni
standard di Y.
Una unità di X produce solo lo
0,065 di aumento in Y.
57
Yˆ  0.065 X 1  0.566 X 2
X1
b1*  0,065
0.453
X2
Y
b  0,566
*
2
Matrice di correlazione r..
X1
X2
X1
1
X2
.453
Y
.322 .596
Y
.453 .322
1
.596
1
RY2. X1 X 2  b1*rYX 1  b2*rYX 2  0.358
peY  1  RY2. X1 X 2  0.801
58
Analisi dei residui
 r
2
Y . X1 X 2
*
1 YX1
R
 r
*
2 YX 2
 0.358
Ciò significa che le variabili antecedenti del modello (X1 e X2 nell’esempio) contribuiscono a spiegare circa un terzo della varianza
di Y.
peY  1  R
2
Y . X1 X 2
 0.801
Il peso causale del fattore
residuale è 0,801.
La correlazione con “altre”
cause pesa 0,801.
59
REGRESSIONE TRIVARIATA
UN’APPLICAZIONE
60
Ipotizziamo un’antecedenza (lineare) causale:
Y  b0  b1 X 1  b2 X 2
Anni
scolarità
padre
X1
b1  bYX 1
Y
Anni
scolarità
madre
X2
Anni
scolarità
figlio
b2  bYX 2
61
Regressione trivariata
Matrice di correlazione, r.. osservati
Correlazioni
AS_pa
AS_pa
X1
b1
AS_ma
0.716
ascoli
Y
Correlazione di Pears on
Sig. (2-code)
N
Correlazione di Pears on
Sig. (2-code)
N
Correlazione di Pears on
Sig. (2-code)
N
1
1082
.716**
.000
1082
.499**
.000
1082
AS_ma
.716**
.000
1082
1
1082
.461**
.000
1082
ascoli
.499**
.000
1082
.461**
.000
1082
1
1082
**. La correlazione è s ignificativa al livello 0,01 (2-code).
X2
b2
eY
Yˆ  7,567  0,353 X 1  0,251X 2
Stime effettuate con il
metodo dei minimi quadrati
62
Yˆ  7,567  0,353 X 1  0,251X 2
YˆZ  0,347 X z1  0,212 X z 2
Coefficientia
Modello
1
(Costante)
AS_pa
AS_ma
Coefficienti non
s tandardizzati
B
Errore s td.
7.567
.213
.353
.038
.251
.044
Coefficienti
s tandardizzati
Beta
.347
.212
t
35.503
9.320
5.707
Sig.
.000
.000
.000
a. Variabile dipendente: as coli
63
Varianza spiegata dal modello
2
Y . X1 X 2
R
peY  1  R
2
Y . X1 X 2
b r
*
1 YX1
 0.533
b r
*
2 YX 2
 0.270
Il peso causale del fattore
residuale è 0,801.
La correlazione con cause terze
pesa 0,801.
64
Riepilogo del modello
Modello
1
R
R-quadrato
.521 a
.271
R-quadrato
corretto
.270
Errore s td.
della stima
3.464
a. Stimatori: (Cos tante), AS_ma, AS_pa
65
L’effetto di interazione
66
L’effetto di interazione
Quando l’effetto causale esercitato dalla variabile
indipendente X sulla variabile indipendente Y si manifesta in
modi diversi a seconda del valore assunto dalla variabile di
controllo Z.
Z
X
Y
67
Y=0 Y=1
X=0
X=1
0 1
1 3
Z=0
Z=1
Y=0 Y=1
X=0
X=1
0 1
0 0
Y=0 Y=1
X=0 0 0
X=1 1 3
68
Y
Effetto di
interazione di Z
(dicotomica) su
X e Y (cardinali)
β>0
X
Z=0
Z=1
Y
Y
βz=0>0
X
βz=1<0
X
69
Esempi di effetti di interazione (titolo*età)
70