Moduli 17–18
Programma della giornata
12 PROBLEMI CON
LE BIGLIE
I PROBLEMI
ADDITIVI
(Vergnaud)
Dimat 2009/2010
Il prof. Gérard Vergnaud è considerato
universalmente uno dei fondatori di quella
moderna disciplina che si chiama “Didattica
della Matematica”. I suoi studi sui campi
concettuali, iniziati negli anni ’70, ma arrivati ad
una formulazione definitiva solo nel ’90, hanno
avuto successo planetario, tanto che ancora
oggi si coltivano sia a livello di ricerca, sia nella
pratica didattica.
I tre problemi
Ci sono 4 ragazzi e 7 ragazze attorno ad un tavolo.
Quante persone ci sono in tutto?
Giovanni regala a sua sorella 4 figurine. Adesso ha
11 figurine. Quante ne aveva prima?
Roberto ha fatto due partite alle biglie. Nella prima
partita ha perso 4 biglie. Poi ha giocato una
seconda partita. In tutto adesso ha vinto 7 biglie.
Cosa è successo durante la seconda partita?
4 + 7 = 11
Cause della differente difficoltà
delle situazioni problematiche
Facilità più o meno grande del calcolo
numerico necessario
Ordine
e
presentazione
delle
informazioni
Tipo di contenuto e dominio delle
relazioni considerate
Fattori legati al calcolo relazionale
Tipologie di problemi
Misura – stato: espressa da numeri
naturali: Misurare = contare = trovare
il cardinale dell’insieme
Trasformazione: cambiamento di
stato che avviene nel tempo.
Espressa da numeri relativi
Relazione statica: collega elementi
simultanei della realtà
Sei grandi categorie di relazioni
additive
1.
2.
3.
Due
misure
si
compongono per dare
una misura
Una trasformazione
opera su una misura
per dare una misura
Una relazione collega
due misure
4. Due trasformazioni si
compongono per dare
una trasformazione
5. Una
trasformazione
opera su uno stato
relativo per dare uno
stato relativo
6. Due stati relativi si
compongono per dare
uno stato relativo
Analisi della seconda categoria
di relazioni additive
Una trasformazione opera su una misura (stato) per
dare una misura (stato)
b
a
•
•
c
6 classi di problemi a seconda:
del valore positivo o negativo della trasformazione
della domanda (se verte su stato finale, su
trasformazione o su stato iniziale)
6 grandi classi di problemi
la domanda verte su
c
b
a
Marco ha 4 biglie.
Gioca una partita e ne
vince 6. Quante biglie
B>0
ha dopo la partita
3. Claudio ha 5 biglie.
Gioca
una
partita.
Dopo la partita ha 9
biglie. Cosa è successo
durante la partita?
Alex gioca una partita
alle biglie e vince 4
biglie. Dopo la partita
ha 12 biglie. Quante
ne aveva prima della
partita?
1. Pietro ha 6 biglie.
Gioca una partita e
perde 4 biglie. Quante
B<0
biglie ha dopo la
partita?
Paul ha finito di giocare
una partita e ha 8
biglie.
Prima
della
partita ne aveva 14.
Cosa è successo?
2. Mauro gioca una
partita alle biglie e
perde 7 biglie. Dopo la
partita ha 3 biglie.
Quante biglie aveva
prima della partita?
Problemi relativi alla quarta
categoria di relazioni additive
Due trasformazioni si compongono per dare
una trasformazione
T2
T1
T3
Problemi relativi alla quarta
categoria di relazioni additive
2 grandi classi di problemi
A. Conoscendo
le
due
trasformazioni
elementari T1 e T2 trovare la trasformazione
composta T3
B. Conoscendo la trasformazione composta T3
e una delle due trasformazioni elementari
(T1 o T2), trovare l’altra trasformazione
elementare (T1 o T2)
a. Conoscendo le trasformazioni elementari
trovare la trasformazione composta
T1>0
T2>0
T1<0
T2<0
T3>0
T3<0
T1>0
T2<0
4.
T1 > T2
T3>0
5.
T1 < T2
T3<0
Lorenzo gioca due 6.
partite alle biglie. Alla
prima partita perde 2
biglie. Alla seconda
partita perde 5 biglie.
In
totale,
cos’è
capitato?
T1<0
T2>0
T3>0
Paolo
gioca
due
partite alle biglie. Alla
prima
partita
guadagna 6 biglie.
Alla seconda partita
perde 4 biglie. In
totale, cos’è capitato?
T3<0
T3<0
Michele gioca due
partite alle biglie. Alla
prima
partita
guadagna 4 biglie.
Alla seconda partita
perde 6 biglie. In
totale, cos’è capitato?
T3>0
Analisi della quarta categoria
T1 T2
T3
a. Conoscendo le due trasformazioni elementari trovare la
trasformazione composta
T1 e T2 sono entrambe positive: caso più semplice
T1 e T2 sono entrambe negative: somma di due perdite comporta difficoltà
concettuale.
T1 e T2 sono di segno opposto: difficoltà diverse a seconda della
grandezza relativa dei valori assoluti di T1 e T2
- problema 4 sottrazione (somma di due numeri di segno contrario)
da | T1 | si sottrae | T2 |
- problema 6 sottrazione (somma di due numeri di segno contrario)
da | T2 | si sottrae | T1 | è più difficile.
b. Conoscendo la trasformazione composta e una delle
trasformazioni elementari, trovare l’altra trasformazione
elementare ( Incognita T2)
|T1| > |T3|
|T1| < |T3|
T1>0
T3>0
T1<0
T3<0
T1>0
T3<0
T1<0
T3>0
T2>0
T2<0
T2>0
T2<0
7.Cristiano gioca due
partite. Alla prima
guadagna 5 biglie.
Poi
gioca
una
seconda
partita.
Dopo le due partite
ha guadagnato in
tutto 9 biglie. Cos’è
successo durante la
seconda partita?
8.Giacomo gioca due
partite. Alla prima
partita perde 5 biglie.
Poi
gioca
una
seconda
partita.
Dopo le due partite
ha perso in tutto 8
biglie.
Cos’è
successo durante la
seconda partita?
10.Oliviero gioca due
partite. Alla prima
partita guadagna 2
biglie. Poi gioca una
seconda
partita.
Dopo due partite ha
perso in tutto 7 biglie.
Cos’è
successo
durante la seconda
partita?
T2>0
T2<0
T2<0
T2>0
11.Vincenzo
gioca
due partite. Alla prima
partita guadagna 8
biglie. Poi gioca una
seconda
partita.
Dopo le due partite
ha perso in tutto 2
biglie.
Cos’è
successo durante la
seconda partita?
9.Didier gioca due
partite.
Alla
prima
partita perde 7 biglie.
Poi gioca una seconda
partita. Dopo le due
partite ha perso in tutto
4
biglie.
Cos’è
successo durante la
seconda partita?
Analisi della quarta categoria
T1 T2
T3
b. Conoscendo la trasformazione composta e una trasformazione
elementare trovare l’altra trasformazione elementare
Più difficili dei problemi della classe a.
La soluzione richiede un’operazione di sottrazione tra numeri relativi.
Sottoclassi rispetto al segno delle trasformazioni date e secondo la
grandezza relativa dei valori assoluti.
Problema 11: Solo il 25% di allievi di quinta e prima media è riuscito a
risolverlo, nonostante la semplicità del calcolo numerico.
La difficoltà si situa a livello di calcolo relazionale:
1. Si annulla con la trasformazione – 8 ciò che è stato
guadagnato: (- 8) + (+ 8) + x
2. composizione di – 8 e – 2 per trovare il valore di x:
(- 8) + (- 2)
3. Uguaglianza tra le due catene: (- 8) + (+ 8) + x=(- 8) + (- 2)
semplificando: x= (- 8) + (- 2)
x= (-10)
Questo ragionamento è fuori dalla portata dei bambini almeno fino alla
quinta elementare
b. Conoscendo la trasformazione composta e una
delle trasformazioni elementari, trovare l’altra
trasformazione elementare ( Incognita T1)
T2<0
T3>0
T1>0
|T2| > |T3|
12.Bruno gioca due partite.
Prima gioca una partita e poi un’altra.
Alla seconda partita perde 7 biglie.
Dopo le due partite ha guadagnato in tutto 3 biglie.
Cos’è successo durante la prima partita?
Indicazioni bibliografiche
Vergnaud G., Il bambino, la matematica,
la realtà, Armando ed, Roma 1994
(trad.it)
Nunes t., Bryant P.(1996), Children Doing
Mathematics, Blackwell Publishers,
Oxford
Gli allievi hanno in genere un rapporto negativo con l’errore.
L’errore è un male, non si deve fare, ci porta delle punizioni, si
paga.
L’errore è spesso fonte d’ansia.
Rottura di contratto:
l’errore ha uno statuto positivo.
Questo è un aspetto importante da tener presente anche nelle
discussioni con i genitori. Essi hanno, infatti, un ruolo di
capitale importanza in relazione al senso attribuito dal figlio
all’errore.
La costruzione del sapere dell’uomo, in tutti i campi, è
possibile solo grazie ad un certo numero d’errori.
Il bambino che impara, come il ricercatore e lo scienziato,
non può dunque evitare di commettere degli errori!
Alcuni errori non soltanto sono utili per crescere e avanzare
nel proprio apprendimento, sono addirittura necessari.
L’errore ci parla, c’informa, c’invita ad indagare, a
formulare altre ipotesi, a tentare altre strade.
E’ una sfida da accettare; non deve inibire, frustrare,
colpevolizzare.
Va visto come momento, fase necessario del processo
d’apprendimento, della riuscita, del successo.
Modificare il nostro atteggiamento nei confronti dell’errore è
un cambiamento che non può avvenire immediatamente
La modifica dello statuto dell’errore è sostenuta da tutte le concezioni
pedagogiche che lo considerano secondo una:
logica di tipo costruttivista, che intende l’errore come
informazione rivelatrice di procedure e rappresentazioni
dell’allievo, indice di processi interni
logica di tipo comportamentista: impedire ogni volta che è
possibile, all’allievo, di commettere degli errori affinché il suo
apprendimento sia stimolato da rinforzi positivi
logica di tipo neocomportamentista: considera l’errore solo al
termine della fase d’apprendimento, come risultato giusto o
sbagliato che richiede un intervento di recupero.
L’errore è centrale anche per le concezioni pedagogiche che si fondano sul
concetto di valutazione formatrice (autovalutazione)
ruolo attivo dell’allievo nell’assumere gradatamente la responsabilità e
la valutazione del proprio apprendimento, grazie alla presa di
coscienza dei propri modi di operare, dei propri errori e ostacoli.
Nella situazione tradizionale, nella quale il docente spiega e l’allievo
esegue, il ruolo dell’errore è completamente diverso: la presenza
dell’errore diventa più che altro l’indice del fatto che l’allievo “non ha
capito”
Così come coesistono lezioni tradizionali con situazioni di ricerca,
coesistono spesso, all’interno di una stessa persona, diverse concezioni
dell’errore.
In genere si alternano nelle nostre pratiche d’insegnamento dei momenti
“tradizionali” e dei momenti di rinnovamento.
L’importante è che questi ultimi possano rafforzarsi, non debbano
soccombere di fronte agli inevitabili ostacoli che s’incontrano in
occasione d’ogni cambiamento significativo.
L’errore è parte integrante del processo stesso d’apprendimento e deve
quindi venire ad assumere un ruolo positivo in tutte le attività scolastiche
e, in particolare, nei momenti di laboratorio, dove gli allievi ricercano,
esplorano, costruiscono, valutano nuove conoscenze.
1. Allievo
2. Didattica
3. Sapere
3. Cause psico-pedagogiche
1. Fattori socio-culturali
(“svantaggio”)
Epistemologia del maestro
Obiettivi inadeguati
Uso esagerato di rinforzi
estrinseci
2. Cause psicologiche
(processi cognitivi quali
memoria, attenzione ecc.)
4. Fattori emotivi e
motivazionali
I materiali possono essere auto correttivi .
E’ ancora soprattutto l’insegnante che sì assume la responsabilità della
correzione.
Ciò rappresenta una mole considerevole di lavoro
Come spiegare le resistenze da parte di non pochi docenti di fronte
a questo auspicabile cambiamento?
Tendenza contraddittoria:
da un lato si vorrebbe avere decisamente “meno da correggere”
dall’altro, però, si dice che la correzione è comunque fondamentale,
fornisce delle informazioni importanti e deve quindi essere svolta dal
docente.
Presenza, simultanea, di due diverse epistemologie
(teorie) che definiscono in modo opposto le
responsabilità del docente e dell’allievo,mettendo
l’accento, l’una, sul processo d’apprendimento,
l’altra, sul risultato finale di tale processo.
Docente confronto-scontro
l’impostazione dell’approccio (che lo spinge a responsabilizzare
l’allievo, ad osservare i suoi processi d’apprendimento, a favorire
l’autovalutazione, a differenziare gli interventi e le attività)
“l’immagine che egli ha del suo ruolo” (“l’allievo fa e il maestro
corregge tutto”, assumendosi completamente le responsabilità di sancire
ciò che è “giusto/sbagliato”).
Immagine sostenuta dall’atteggiamento di molte famiglie
E’ soprattutto il docente che deve correggere i
lavori, oppure questa responsabilità deve essere
lasciata in buona parte agli allievi stessi?
- E’ urgente affidare agli allievi maggiore responsabilità nella correzione
dei loro lavori:
a) L’insegnante deve occuparsi più delle procedure e delle strategie che
non dei risultati. Le tracce che rimangono sui fogli corretti non
sempre ci permettono di ricostruire le procedure usate (la logica deve
essere più di tipo costruttivista che neo-comportamentista).
b) E’ meglio correggere in interazione diretta con l’allievo che non “a
distanza”. Nell’interazione le ragioni dell’errore vengono man mano
costruite, mentre nella correzione a” distanza” il docente rischia di
limitare la comunicazione con l’allievo ad un riassunto delle sue
personali riflessioni.
c) Quando l’insegnante è confrontato con grandi quantità di fogli,
finisce, malgrado le buone intenzioni, per occuparsi essenzialmente
dei risultati.
La correzione, in generale è composta di due momenti:
I.
II.
Analisi del risultato (giusto/sbagliato).
Analisi delle procedure, delle strategie, delle tecniche,
dell’organizzazione del compito, dell’ordine e della
presentazione, della scrittura, …
Questo secondo aspetto è quello che necessita di maggior tempo,
pazienza e attenzione. Esso rischia di non essere sufficientemente
approfondito quando il docente è sovraccarico di lavoro.
In conclusione:
La correzione dei lavori degli allievi deve essere
guidata da una valutazione formativa e
formatrice. Di conseguenza, il feedback da parte
del docente o dei compagni all’allievo, quando
possibile, non deve limitarsi ad una semplice
risposta del tipo giusto/sbagliato.
- Agli allievi compete certamente la verifica del risultato.
La verifica del risultato deve fare ancora parte del compito che gli è
stato assegnato.
La risposta giusto/sbagliato l’allievo la può ottenere in molti modi
(feedback da parte della situazione o dei materiali, schede,
classificatore autocorrettivo,...).
Un risultato sbagliato deve essere analizzato.
Nella fase di verifica del risultato il ruolo essenziale del maestro è di fare
in modo che i bambini imparino a porsi delle domande allo scopo di
imparare poi ad autocorreggersi.
L’autocorrezione in se stessa è un importante obiettivo
pedagogico, essa non è solo un mezzo, ma è parte essenziale
dell’obiettivo “imparare ad imparare”
L’autocorrezione non si limiterà al solo risultato, anche se la
verifica del risultato è certamente, per il bambino, la parte più
importante.
La capacità di autocorreggersi non è un prerequisito, ma un obiettivo da
sviluppare sull’arco dell’intero II ciclo.
Constatazione di un errore
Interrogarsi sul compito svolto, sulle procedure messe in atto,
sulle conoscenze utilizzate, ecc....
E’ questo primo, difficile, ma importante passo, che l’allievo deve
imparare a fare; in questo deve essere costantemente aiutato.
Il ruolo del docente diventa essenziale: è a partire dagli errori che
“nascono”, prendono forma, infatti, gli interventi che formano il nucleo
centrale del lavoro e della professionalità del docente.
E’ veramente indispensabile che il docente passi, quasi
ogni giorno, un’ora o più a correggere i lavori degli
allievi?
Occorre essere flessibili: in certi periodi (oppure per allievi in determinati
momenti) è importante che il docente veda ogni foglio; in altri momenti, invece, ciò
che egli osserva durante le ore di laboratorio e nelle interazioni dirette con gli
allievi è più che sufficiente.
Non dobbiamo mai dimenticare la variabile “tempo del docente”: il maestro
deve, infatti, costantemente, fare delle scelte di priorità in base al tempo di cui
dispone (che è sempre, inevitabilmente, inferiore alle necessità…!)
Correzione reciproca fra gli allievi, valorizza i momenti interattivi
Il docente dovrebbe sostenere gli allievi in questo processo, stimolando una
ricerca che vada sempre oltre la pura verifica del risultato giusto/sbagliato.