Un po’ di calcoli..
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La notazione numerica

Come si scrivono i numeri?
UN PROBLEMA TECNICO

Si ha spesso a che fare con numeri molto grandi o
molto piccoli



Dipende dalle nostre unità di misura
E dall’enorme estensione dell’Universo
Inoltre non si conosce mai un numero “esattamente”:
la fisica non è una scienza esatta!
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La notazione numerica
Soluzione

Si usa la notazione scientifica



O la notazione tecnica
Di solito la notazione scientifica nei
calcoli... 12 345,67  1,234567 10 4
… e la notazione tecnica nei risultati
(non sempre) 12 345,67  12,34567 10 3
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3
La notazione numerica


Ogni numero è separato quindi in
mantissa e ordine numero di grandezza
Nella mantissa si scrivono solo le cifre
di cui si è sicuri


Cifre significative
Ogni numero definisce quindi un
intervallo

Intervallo di confidenza
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La notazione numerica


Ogni numero deve sempre essere
accompagnato dal suo intervallo di confidenza
Esempi 1, 2  1, 2  0.05
1, 2  0,07
1, 2  0,02
1, 2
0.04
0.01

Senza di esso il numero non ha senso!
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La notazione numerica

Attenzione alle operazioni


In prima approssimazione si accetta il
fatto che il numero delle cifre significative
si conserva nelle operazioni
Eccezione: la differenza
 La differenza comporta sempre una perdita
di precisione!

Il controllo della precisione nei calcoli è un
problema decisamente complesso
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6
RICORDATE
1, 2 1, 2  1, 4
NON 1, 44!
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7
La differenza


Fate sempre molta attenzione a questa
operazione
1,
234
567
89

Esempio:
1, 234 567 78 

0, 000 000 11  1,110
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7
8
Come si trasmettono gli errori?
Un problema importante
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La propagazione degli errori
COSA VUOL DIRE
PROPAGAZIONE DEGLI
ERRORI?

Un semplice esempio

Data un’imprecisione su x, con che
precisione ci è noto il valore di x2
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?
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La propagazione degli errori

Facciamo un caso semplice:

Poiché le formule sono di solito di tipo algebrico




Prendiamo il logaritmo naturale del tutto
Differenziamo
Prendiamo i moduli del risultato
…ed avremo una regola semplice per calcolare come
si propagano gli errori percentuali!

In prima approssimazione, e con una sovrastima
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Esempio

2
Ecco un caso fittizio:
 ab
ln x  ln  3
 c
2
ab
x 3
c
f

f

1
 ln  a   2 ln  b   3ln  c   ln  f 
2
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Esempio

Differenziamo
dx da
db
dc 1 df
d  ln x  

 2 3 
x
a
b
c 2 f

Prendiamo i moduli
dx da
db
dc 1 df
d  ln x  

2 3 
x
a
b
c 2 f
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Esempio

Se gli errori sono piccoli rispetto alle
quantità, potremo approssimare la
formula precedente con
x  a   b   c  1  f 
  ln x  

  2    3    
x  a   b   c  2 f 

Regola pratica molto comoda, che porta
ad una leggera sovrastima dell’errore
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La notazione numerica

Per quanto riguarda voi


Difficilmente supererete la III cifra
significativa
Non pensate che “calcoli precisi” possano
darvi precisioni che non esistono già in
partenza

Se gli operandi sono noti al 10% non potete
pretendere che con operazioni matematiche
otteniate precisioni di 1/1.000.000!
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La notazione numerica
LA PRECISIONE
UNA VOLTA PERSA,
NON SI RIACQUISTA PIU’
PIÙ O MENO COME I SOLDI
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QUINDI...




Usate sempre la notazione scientifica
Attenzione al numero di cifre
significative
Effettuate i calcoli con la massima
precisione che avete a disposizione
Date i risultati numerici con la
precisione del vostro dato noto peggio
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La notazione tecnica
(engineer notation)
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La notazione tecnica



Nei risultati finali si preferisce spesso
usare la notazione tecnica
La mantissa varia da 0 a 1000
Gli ordini di grandezza variano di 1000
Si usano prefissi alle unità, per es.
9
nm  nano-metro  10 m
kg  kilo-grammo  10 g
3
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Prefissi per grandi dimensioni
Yotta
Zetta
Exa
Peta
Tera
Giga
Mega
kilo
Y
Z
E
P
T
G
M
k
24
21
18
15
12
9
6
3
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Prefissi per piccole dimensioni
milli
micro
nano
pico
femto
atto
zepto
yocto
m -3
 -6
n -9
p -12
f -15
a -18
z -21
y -24
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Le grandezze fisiche
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I campioni delle grandezze

Nello studio della Natura si individuano
anzitutto delle grandezze fondamentali

Ciò avviene anche in tecnologia


Viscosità, durezza, potere detonante di una benzina,
rendimento termico di una stufa a legna…
Si può passare dalla grandezza fisica (potere
detonante, ad es.) al numero solo


Definendo un campione
Definendo una procedura di misura
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I campioni delle grandezze

Campioni e procedure vengono stabiliti
da organismi appositi



National Bureau of Standards (USA)
Istituto Colonnetti (TO)
…
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I campioni delle grandezze

Vengono definiti da Commissioni
Internazionali
NIENTE
DI IDEALISTICO/CONCETTUALE
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I campioni delle grandezze

I criteri che si usano per scegliere i
campioni sono




Disponibilità
Facilità di riproduzione
Precisione
Assieme al campione dev’essere
garantita la sua portabilità
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I campioni delle grandezze

Esempio

Quando comprate un misuratore di
lunghezza vi è garantito


Che un millimetro sia un millimetro...
…Entro certe tolleranze



E la precisione la pagate!
Per ogni grandezza è definito un
campione
Per ogni misura è definito un metodo
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I campioni delle grandezze
La definizione di ogni grandezza
fisica è basata esclusivamente
sulla ricetta che definisce la
sua misura


Definizione operativa delle grandezze fisiche
Il tempo? Ciò che si misura con gli
orologi!
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Lo spazio
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Lo spazio

Inizialmente si erano prese delle sbarre di
ferro


spesso murate sulle facciate dei Palazzi del Comune
Poi si definì il metro


Prima 1/40.000.000 del meridiano terrestre
Poi la distanza fra due tacche di una sbarra di Pt-Ir
conservata a Parigi

Circa uguale ad una yard

Circa la lunghezza di un braccio
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Lo spazio

È sempre importante la riproducibilità, la
disponibilità ed anche il fatto che il campione
sia in qualche modo “intuitivo”


Sia basato più o meno su una scala “umana”
Tenete presente che

Noi non abbiamo percezioni istintive di lunghezze
superiori ai 100 m ed inferiori al mm

Più o meno come l’uomo delle caverne…
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Lo spazio


Oggi non viene più definito un
campione di lunghezza né di tempo
Vengono definiti infatti


Un campione di frequenza (reciproco di
un tempo)
Un campione di velocità

e da questi si derivano tempo e lunghezza
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Il tempo
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Il tempo

Inizialmente definito più o meno sul

…poi definito come 1/86400 del giorno
battito del polso
solare medio

Ci si basa sul fatto che la rotazione della Terra
avvenga con velocità angolare costante!


Il che è falso...
…infine su orologi sempre più sofisticati

Meccanici, al quarzo, atomici
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Il tempo

Oggi siamo agli orologi atomici (1967)
Si definisce un secondo come il
tempo che occorre ad un
133
atomo di Cs a compiere
9 192 631 770 vibrazioni
(per una particolare linea
spettrale)
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Il tempo

In fisica classica il tempo si considera
assoluto


= indipendente dai sistemi di riferimento
Misure precise danno deviazioni di
già con aerei a 900 km/h


10 13
Precisioni attuali degli orologi
_
 Circa 1s in 300 000 anni
Quindi in realtà spazio e tempo sono
intercorrelati!
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Il tempo

Pertanto un sistema di riferimento dovrà
stabilire


Posizioni
Tempi


CON OROLOGI “SINCRONIZZATI”
Per definire degli
EVENTI
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