ANALISI DINAMICA
DELLE STRUTTURE
1
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
La forza applicata f(t) è di intensità variabile nel tempo
12.00
8.00
4.00
0.00
-4.00
-8.00
-12.00
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
2
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
La forza applicata f(t) è di intensità variabile nel tempo
Anche lo spostamento u(t) sarà variabile nel tempo
0.02
0.01
0.00
-0.01
-0.02
-0.03
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
3
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
La forza applicata f(t) è di intensità variabile nel tempo
Anche lo spostamento u(t) sarà variabile nel tempo
È quindi possibile misurare per il sistema strutturale:
velocità:
accelerazione:
d u (t )
v(t ) 
 u (t )
dt
d 2 u (t )
a(t ) 
 u (t )
2
dt
4
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
A seguito dello spostamento nasce la forza
di richiamo elastico
f e (t )  k u (t )
rigidezza
5
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
A seguito dello spostamento nasce la forza
di richiamo elastico
f e (t )  k u (t )
A seguito dell’accelerazione nasce la forza
d’inerzia
f I (t )  mu(t )
massa
6
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
A seguito dello spostamento nasce la forza
di richiamo elastico
f e (t )  k u (t )
A seguito dell’accelerazione nasce la forza
d’inerzia
f I (t )  mu(t )
A seguito della velocità nasce la forza di
dissipazione
coefficiente di
smorzamento
f v (t )  cu (t )
7
viscoso
Analisi dinamica delle strutture
Oscillatore elementare
Equazione di equilibrio dinamico
(equazione del moto del sistema)
f I (t )  f v (t )  f e (t )  f (t )  0
mu (t )  cu (t )  k u (t )  f (t )
Nel caso di azione sismica si ha:
mu (t )  cu (t )  k u (t )  mu g (t )
Nel caso di comportamento non lineare si ha:
mu(t )  cu(t )  F u(t )   mug (t )
8
Analisi dinamica delle strutture
Strutture reali
Equazione del moto
Mu(t )  Cu(t )  F  u(t )    M ug (t )
La risoluzione è perseguita
Matrice
smorzamento
Matrice
attraverso
didiForze
massa
procedure
di richiamo
approssimate
di integrazione di equazioni
differenziali non lineari
9
Analisi dinamica delle strutture
Strutture reali
L’integrazione dell’equazione del moto richiede la conoscenza
dell’accelerogramma
Mu(t )  Cu(t )  F  u(t )    M ug (t )
ug (t )
t
10
ANALISI SISMICA DI
STRUTTURE ISOLATE
11
Isolamento sismico
Negli ultimi trent’anni l’ingegneria sismica ha compiuto notevoli
progressi sviluppando moderne strategie di protezione sismica
passiva, quale l’Isolamento Sismico
Queste strategie richiedono l’uso di particolari dispositivi che vengono
inseriti negli edifici per modificarne la risposta complessiva sotto
sisma e disaccoppiare il moto del suolo da quello della struttura
12
Isolamento sismico
L’andamento dello spettro di risposta proposto dal D.M. 2008 dimostra
che le accelerazioni spettrali Se possono essere drasticamente ridotte
se si riesce ad aumentare notevolmente il periodo principale T della
struttura
13
Isolamento sismico
Le strutture tradizionali, a base fissa, hanno periodo principale T
abbastanza bassi, che in genere ricadono nell’intervallo in cui
l’accelerazione spettrale Se viene notevolmente amplificata
F0 ag
T
14
Isolamento sismico
Se alla base si interpone, tra fondazione e struttura, un elemento
molto deformabile in senso orizzontale il periodo cresce notevolmente
e conseguentemente l’accelerazione si riduce a valori molto più bassi
F0 ag
Se
T
TI
15
Isolamento sismico
L’efficacia del sistema di isolamento è tanto maggiore quanto più alto
è il rapporto tra il periodo TI della struttura isolata e il periodo T della
struttura a base fissa
TI
 2.5  3
T
F0 ag
Se
T
TI
16
Isolamento sismico
Strutture molto alte o dotate di massa modesta hanno periodo elevato
e di conseguenza non traggono grossi vantaggi dall’isolamento in
termini di riduzione dell’accelerazione spettrale
A fronte di una riduzione modesta dell’accelerazione spettrale, c’è il
problema degli spostamenti che, risulterebbero troppo elevati. Con
periodi superiori ai 3 secondi si potrebbero avere spostamenti tali da
rendere inagibile il fabbricato; inoltre, i collegamenti verticali, scale e
ascensori, condotte idriche, telefoniche, impianti in genere,
diventerebbero ingestibili per fabbricati ad uso civile
17
Isolamento sismico
Per suoli soffici (categorie D - E) gli spettri presentano amplificazioni
particolarmente rilevanti per gli alti periodi. Come conseguenza per
questi terreni la riduzione di accelerazione, e quindi il beneficio
dell’isolamento, è molto minore
2.00
D
1.60
1.20
E
C
0.80
B
A
0.40
0.00
0.00
0.50
1.00
1.50
2.00
2.50
3.00
18
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori elastometici
Sono costituiti da strati alterni di lamierini in acciaio e di elastomero, e
possono avere all’interno un nucleo in piombo
19
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori elastometici
Sono costituiti da strati alterni di lamierini in acciaio e di elastomero, e
possono avere all’interno un nucleo in piombo
20
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori elastometici
Sono costituiti da strati alterni di lamierini in acciaio e di elastomero, e
possono avere all’interno un nucleo in piombo
21
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori elastometici
Sono costituiti da strati alterni di lamierini in acciaio e di elastomero, e
possono avere all’interno un nucleo in piombo
22
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori elastometici
Sono costituiti da strati alterni di lamierini in acciaio e di elastomero, e
possono avere all’interno un nucleo in piombo
Sono caratterizzati da bassa rigidezza orizzontale, per garantire
l'incremento del periodo proprio della struttura, ed elevata rigidezza
verticale, per ridurre l'abbassamento sotto carico
Il nucleo in piombo ha lo scopo di limitare gli spostamenti elastici e
conferire un’adeguata capacità dissipativa per diminuire ulteriormente
l’energia in ingresso
23
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori elastometici
- Vanno utilizzati insieme ad elementi ad attrito (slitte) che garantiscono
la rigidità orizzontale sotto azioni orizzontali modeste (vento)
- Richiedono ispezioni periodiche per verificarne la funzionalità
- Dopo un evento sismico possono risultare danneggiati e/o presentare
spostamenti residui. In questo caso è necessario la loro sostituzione ed
il ricentraggio dell’edificio
- Sono relativamente costosi
24
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Sono costituiti da una coppia di superfici curve che scorrono l’una
sull’altra
Isolatore a curvatura semplice
Isolatore a doppia curvatura
25
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Sono costituiti da una coppia di superfici curve che scorrono l’una
sull’altra
Isolatore a curvatura semplice
Isolatore a doppia curvatura
26
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Sono costituiti da una coppia di superfici curve che scorrono l’una
sull’altra
27
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Sono costituiti da una coppia di superfici curve che scorrono l’una
sull’altra
28
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Sono costituiti da una coppia di superfici curve che scorrono l’una
sull’altra
29
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
- Sfruttano la legge fisica del moto del pendolo per allungare il periodo
naturale della struttura isolata
r
N

r
T  2
r
u
r
g
w
30
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
- Sfruttano la legge fisica del moto del pendolo per allungare il periodo
naturale della struttura isolata
F
N
N

F
R
R
F
N
N /r
1
u
F
N
u   N sgn(u )
r
31
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
- Sfruttano la legge fisica del moto del pendolo per allungare il periodo
naturale della struttura isolata
- Hanno la duplice funzione di dissipare energia per attrito e di generare
la forza di richiamo per il ricentraggio della struttura attraverso l’azione
della gravità
- Non richiedono ispezioni periodiche per verificarne la funzionalità
- Sono meno costosi degli isolatori elastomerici
32
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Il periodo è indipendente dalla massa della struttura, con notevole
vantaggio nel caso di isolamento di edifici leggeri
r
T  2
g
33
Isolamento sismico
Tipologie di isolatori: Isolatori a pendolo scorrevole (friction pendulum)
Il periodo è indipendente dalla massa della struttura, con notevole
vantaggio nel caso di isolamento di edifici leggeri
La forza di richiamo, e quindi la rigidezza orizzontale, dipende
linearmente dallo sforzo assiale, e cioè dalla massa che compete al
singolo isolatore. Ne segue che i baricentri di massa e rigidezza di
piano risultano sempre coincidenti
F
N
u   N sgn(u )  k (u )u
r
sgn(u ) 
1
k (u )  N   

u 
r
34
Isolamento sismico
D.M. 2008: modellazione
Capitolo 7.10 COSTRUZIONI E PONTI CON ISOLAMENTO E/O
DISSIPAZIONE
La sovrastruttura e la sottostruttura sono modellate come sistemi a comportamento
elastico lineare
Il sistema di isolamento può essere modellato, in relazione alle sue caratteristiche
meccaniche, come avente comportamento visco-elastico lineare oppure con legame
costitutivo non lineare.
Se viene utilizzato un modello lineare, si deve adottare una rigidezza equivalente riferita
allo spostamento totale di progetto per lo stato limite in esame, di ciascun dispositivo facente
parte del sistema di isolamento
35
Isolamento sismico
D.M. 2008: modellazione
Rigidezza equivalente Keff
Keff
36
Isolamento sismico
D.M. 2008: modellazione
Il comportamento del sistema di isolamento può essere modellato come lineare equivalente
se sono soddisfatte tutte le seguenti condizioni:
a) la rigidezza equivalente del sistema d’isolamento è almeno pari al 50% della rigidezza
secante per cicli con spostamento pari al 20% dello spostamento di riferimento;
b) lo smorzamento lineare equivalente del sistema di isolamento, come definito in
precedenza, è inferiore al 30%;
c) le caratteristiche forza-spostamento del sistema d’isolamento non variano di più del 10%
per effetto di variazioni della velocità di deformazione, in un campo del ±30% intorno al
valore di progetto, e dell’azione verticale sui dispositivi, nel campo di variabilità di progetto;
d) l’incremento della forza nel sistema d’isolamento per spostamenti tra 0,5ddc e ddc,
essendo ddc lo spostamento del centro di rigidezza dovuto all’azione sismica, è almeno pari
al 2,5% del peso totale della sovrastruttura.
37
Isolamento sismico
D.M. 2008: analisi
Per le costruzioni con isolamento alla base l’analisi dinamica lineare è ammessa quando
risulta possibile modellare elasticamente il comportamento del sistema di isolamento, nel
rispetto delle condizioni di cui al § 7.10.5.2.
Per il sistema complessivo, formato dalla sottostruttura, dal sistema d’isolamento e dalla
sovrastruttura, si assume un comportamento elastico lineare.
L’analisi può essere svolta mediante analisi modale con spettro di risposta o mediante
integrazione al passo delle equazioni del moto, eventualmente previo disaccoppiamento
modale, considerando un numero di modi tale da portare in conto anche
un’aliquota significativa della massa della sottostruttura, se inclusa nel modello
38
Isolamento sismico
D.M. 2008: analisi
Nel caso di integrazione al passo delle equazioni del moto è necessario
utilizzare accelerogrammi spettrocompatibili
Capitolo 3.2.3.6 IMPIEGO DI ACCELEROGRAMMI
Gli stati limite, ultimi e di esercizio, possono essere verificati mediante l’uso di
accelerogrammi, o artificiali o simulati o naturali.
Gli accelerogrammi artificiali devono avere uno spettro di risposta elastico coerente con lo
spettro di risposta adottato nella progettazione. (Spettrocompatibilità)
39
Isolamento sismico
D.M. 2008: analisi
Nel caso di integrazione al passo delle equazioni del moto è necessario
utilizzare accelerogrammi spettrocompatibili
40
Isolamento sismico
D.M. 2008: analisi
Nel caso di integrazione al passo delle equazioni del moto è necessario
utilizzare accelerogrammi spettrocompatibili
41
Isolamento sismico
D.M. 2008: verifica
Verifiche agli stati limite di esercizio
La verifica allo SLD della sovrastruttura deve essere effettuata controllando che gli
spostamenti interpiano ottenuti dall’analisi siano inferiori ai 2/3 dei limiti indicati per lo SLD
nel § 7.3.7.2
I dispositivi del sistema d’isolamento non debbono subire danni che possano
comprometterne il funzionamento nelle condizioni di servizio. Tale requisito si ritiene
normalmente soddisfatto se sono soddisfatte le verifiche allo SLV dei dispositivi. In caso di
sistemi a comportamento non lineare, eventuali spostamenti residui al termine dell’azione
sismica allo SLD debbono essere compatibili con la funzionalità della costruzione
42
Isolamento sismico
D.M. 2008: verifica
Verifiche allo SLV
Lo SLV della sottostruttura e della sovrastruttura deve essere verificato con i valori di gM
utilizzati per le costruzioni non isolate
Le condizioni di resistenza degli elementi strutturali della sovrastruttura possono essere
soddisfatte considerando gli effetti dell’azione sismica divisi del fattore q=1,50 combinati con
le altre azioni secondo le regole del § 3.2.4.
Verifiche allo SLC
I dispositivi del sistema d’isolamento debbono essere in grado di sostenere, senza rotture,
gli spostamenti d2 , valutati per un terremoto avente probabilità di superamento pari a quella
prevista per lo SLC, Nel caso di sistemi a comportamento non lineare, allo spostamento
ottenuto con l’azione sismica detta, occorre aggiungere il maggiore tra lo spostamento
residuo allo SLD e il 50% dello spostamento corrispondente all’annullamento della forza,
43
seguendo il ramo di scarico a partire dal punto di massimo spostamento raggiunto allo SLD.
Isolamento sismico
D.M. 2008: verifica
Incremento spostamenti per eccentricità accidentali
44
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees
Il software C.D.S. Win – OpenSees consente di eseguire analisi lineari o
non lineari, statiche o dinamiche di strutture isolate tramite isolatori
elastomerici, ad attrito od a pendolo scorrevole
Nel caso di analisi dinamiche con integrazione al passo delle equazioni
del moto il software C.D.S. Win – OpenSees consente la generazione di
serie di accelerogrammi spettrocompatibili da utilizzare nell’analisi
45
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Parametri di impostazione dell’analisi
46
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Parametri di impostazione dell’output
47
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Generazione di accelerogrammi
È possibile generare accelerogrammi artificiali od importare
accelerogrammi naturali o generati esternamente
Codici per la generazione di accelerogrammi artificiali: Rexel, Simqke,
Belfagor, …
Sia per gli accelerogrammi generati da C.D.S. Win che per quelli
importati si procede ad una verifica di spettrocompatibilità degli stessi
48
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Generazione di accelerogrammi
49
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Generazione di accelerogrammi
50
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Selezione dati isolatori
Friction pendulum
Dati per analisi
non lineare
Dati per
effetto P - d
51
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: Selezione dati isolatori
Elastomerici
Dati per analisi
non lineare
Dati per
effetto P - d
52
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: effetto P - d
Gli spostamenti orizzontali degli isolatori sono di notevole entità e quindi
non sono trascurabili gli effetti P - d
u
Md  N  u
N
N
53
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: effetto P - d
Gli spostamenti orizzontali degli isolatori sono di notevole entità e quindi
non sono trascurabili gli effetti P - d
u
Md  N  u
N
M1
M1  1M d
; M 2  2Md
1  2  1
M2
N
1  0.5
Isolatori lastomerici: 
 2  0.5
54
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: effetto P - d
N
N
N
N
Isolatori friction pendulum
a semplice curvatura:
Isolatori friction pendulum
a doppia curvatura:
1  0.0

 2  1.0
1  0.5

 2  0.5
55
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
56
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
57
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
58
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
59
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
60
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
61
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: output risultati
62
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: verifiche
63
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: confronti con analisi modale
64
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
I risultati di analisi dinamiche di un singolo isolatore ottenute tramite
C.D.S. Win - OpenSees sono state confrontati con quelli derivanti
dall’integrazione esatta dell’equazione del moto di un oscillatore
elementare avente legame costitutivo non lineare identico a quello
dell’isolatore
isolatore friction pendulum
isolatore lastomerico
65
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
Accelerogramma
3.00
a g  m  s 2 
2.00
1.00
0.00
-1.00
-2.00
t s
-3.00
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
66
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
isolatore friction pendulum
0.06
u m
Time history spostamento orizzontale
0.04
FPS (C.D.S. Win)
SDOF (Integrazione esatta)
0.02
0.00
-0.02
-0.04
t s
-0.06
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
67
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
isolatore elastomerico
0.015
u m
Time history spostamento orizzontale
0.010
FPS (C.D.S. Win)
SDOF (Integrazione esatta)
0.005
0.000
-0.005
-0.010
t s
-0.015
0.00
5.00
10.00
15.00
20.00
25.00
30.00
35.00
40.00
68
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
isolatore friction pendulum
5.00
f  kN 
Ciclo di isteresi forza-spostamento orizzontali
2.50
0.00
FPS (C.D.S. Win)
-2.50
SDOF (Integrazione esatta)
u m
-5.00
-0.06
-0.04
-0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
69
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
isolatore elastomerico
60.00
f  kN 
Ciclo di isteresi forza-spostamento orizzontali
40.00
20.00
0.00
FPS (C.D.S. Win)
SDOF (Integrazione esatta)
-20.00
-40.00
u m
-60.00
-0.01
-0.01
-0.00
0.00
0.00
0.01
0.01
70
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
I risultati di analisi dinamiche di tre semplici strutture isolate ottenute
tramite C.D.S. Win - OpenSees sono state confrontati con quelli derivanti
dall’analisi modale
Struttura 1
Struttura 2
Struttura 3
71
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
72
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
73
Isolamento sismico
C.D.S. Win - OpenSees: accuratezza
74