Secondo la meccanica classica, che afferma che
l’energia cinetica è uguale a K  1 mv 2
2
2K
la velocità è data da v 
m
Di conseguenza, un corpo m, a
seconda dell’energia cinetica
che acquista, potrebbe
raggiungere qualsiasi velocità.
Secondo le previsioni relativistiche, invece, la
velocità v, pur potendosi avvicinandosi molto
alla velocità della luce c, non la potrà mai
raggiungere.
Secondo la meccanica classica un corpo può raggiungere
qualsiasi velocità.
v
2K
m
Vale infatti la relazione
dove K è l’energia
cinetica trasferita al corpo, inizialmente fermo, e m è la sua
massa.
Se ad esempio cedessimo ad un elettrone 1 Mev di energia,
secondo la meccanica classica la velocità raggiunta
dall’elettrone sarebbe di 5.9 108m/s, che equivale a circa
due volte la velocità della luce (c) nel vuoto.
Secondo la relatività speciale invece, un corpo non può
muoversi con velocità superiore o uguale a quella della luce
nel vuoto.
Fino a quale velocità posso accelerare un corpo?
Nel 1963 lo scienziato William Bertozzi
effettuò un esperimento in proposito, con
l’intento di dimostrare l’esistenza della
velocità limite. Facendo uso
dell’apparato sperimentale
schematizzato nel seguito, venivano
creati degli elettroni liberi che poi erano
accelerati mediante opportune differenze
di potenziale.
In relazione ad ogni “spinta” data agli elettroni, cioè ad ogni energia
trasferita ad essi, Bertozzi misurò la velocità acquisita dalle
particelle cariche.
L’apparato sperimentale
- generatore elettrostatico di Van de Graaff: una macchina
per produrre cariche elettriche e fornire loro un’energia cinetica
fino a 1,5 MeV tramite lavoro elettrostatico.
- LINAC (acceleratore lineare): un tubo metallico al cui
interno, nella prima parte dell’esperimento, non vi sono campi
elettrici, a differenza della seconda parte, durante la quale
contribuisce ad accelerare gli elettroni.
- disco di alluminio: su cui urtano gli elettroni al loro arrivo
e abbastanza spesso da impedire che essi lo attraversino.
- oscillografo: uno strumento connesso alle posizioni di
partenza e arrivo degli elettroni tramite due cavi identici che
introducono lo stesso ritardo.
Acceleratore lineare (LINAC)
Disco di
alluminio
Van der Graaf
Oscillografo
L’esperimento
Bertozzi procedette alla misurazione della velocità degli elettroni *
al variare della loro energia cinetica, ovvero al variare delle
differenze di potenziale fornite loro** per accelerarli
*
La velocità è ottenuta dal rapporto tra lo spazio (la lunghezza del tubo percorso) e il tempo
di volo (ovvero quello intercorso tra l’ingresso nel LINAC e l’arrivo al disco di alluminio).
**
L’energia cinetica di un corpo può essere espressa in eV (1 eV (electron-volt) = 1,6 x
10-19 J = energia acquistata da un elettrone che attraversa la differenza di potenziale di 1 V).
Infatti, per il teorema delle forze vive la variazione di energia cinetica K in un intervallo di
tempo ∆t ha un valore K2 - K1, che è uguale al lavoro L compiuto nello stesso intervallo di
tempo, ovvero K2 - K1 = L. Inoltre dall’elettrostatica si sa che il lavoro fatto dalle forze del
campo, quando un elettrone passa da un punto a potenziale V1 a uno a potenziale V2, è dato da
L = e(V1 - V2). Dunque K2 - K1 = e(V2 - V1), ovvero K = eV.
Prima misurazione*
Energia cinetica = 0.5 Mev
v2 = 6,7 x 1016 m2/s2
Quarta misurazione **
Energia cinetica = 4,5 MeV
v2 ≈ 9 x 1016 m2/s2
Seconda misurazione *
Quinta misurazione **
Energia cinetica = 1 MeV
v2 = 7,8 x 1016 m2/s2
Energia cinetica = 15 MeV
v2 ≈ 9 x 1016 m2/s2
Terza misurazione *
Energia cinetica = 1,5 MeV
v2 = 8,4 x 1016 m2/s2
* L’accelerazione viene fornita agli elettroni
solo dal Van de Graff. L’apparato
acceleratore del LINAC è, infatti tenuto
spento. Esso funge da semplice tubo in cui è
creato il vuoto in modo che la velocità degli
elettroni stessi non cambi.
**L’accelerazione
è fornita agli
elettroni sia dal Van de Graff, sia del
LINAC, che viene acceso.
I valori di v2 previsti dalle leggi della meccanica classica (v2 =
2K/m)
erano nettamente superiori a quelli ottenuti
sperimentalmente.
Energia cinetica
Valori sperimentali
K(MeV)
(vsper)2
(m/sec)2
6.8*1016
7.7*1016
8.3*1016
8.8*1016
9.0*1016
0.5
1.0
1.5
4.5
15.0
Valori previsti dalle leggi
della meccanica classica
(vclass.)2
(m/sec.)2
17.6*1016
35.3*1016
53*1016
160*1016
530*1016
La linea tratteggiata rappresenta
le previsioni della meccanica
classica.
La curva continua rappresenta i
valori ottenuti sperimentalmente,
che collimano con le previsioni
della relatività.
La linea orizzontale in rosso
corrisponde alla velocità della
luce nel vuoto.
Osservazioni
I valori di v2 corrispondono a quelli sperimentali solo per valori molto
bassi di energia cinetica.
Al crescere dell’energia cinetica la velocità degli elettroni aumenta, ma
molto meno di quanto dovrebbe in base alle leggi della meccanica
classica.
Quando la velocità degli elettroni aumenta, aumenta anche la loro massa
inerziale, ovvero la resistenza che oppongono all’accelerazione.
Al crescere dell’energia cinetica la velocità tende a stabilizzarsi intorno a
un valore fisso v2 = 9 x 1016 m2/s2, che rappresenta la velocità limite.
Il valore della velocità limite corrisponde a quello della velocità della
luce.
Conclusioni
La velocità della luce è la velocità limite alla quale
una particella può avvicinarsi senza mai raggiungerla.
L’esperimento è in accordo con le previsioni della relatività, che
aveva proposto una nuova formula per calcolare l’energia cinetica.
K=mc2 [(1/V1 - v2/c2) - 1]
Dimostrazione
Per questa formula è impossibile che la velocità v raggiunga o superi
quella della luce, perché si otterrebbe un valore negativo sotto radice.
I valori della velocità
calcolati con questa
formula corrispondono
a quelli sperimentali.
Ene rgia cinetica
Valori sperimentali
K(MeV)
(vsper)2
(m/s ec)2
6.8*1016
7.7*1016
8.3*1016
8.8*1016
9.0*1016
0.5
1.0
1.5
4.5
15.0
Valori previst i dalle leggi
relativisti che
(vrel.)2
(m/s ec.)2
6.7*1016
8.0*1016
8.4*1016
8.9*1016
9.0*1016
E’ stato quindi dimostrato…
… che la velocità della luce è la velocità limite!
Einstein aveva ragione!
Energia totale relativistica E
Si ottiene dalla somma dell’energia che un corpo di massa m
possiede a riposo e la sua energia cinetica.
E = mc2 + 1/2 mv2
E = mc2 (1 + v2/2c2)
1 + v2/2c2  1/V1 - v2/c2
E = mc2
Energia cinetica relativistica K
Si ottiene dalla differenza tra l’energia totale del corpo e la sua
energia a riposo.
K = mc2 - mc2
K = mc2 ( - 1)
K = mc2 [(1/V1 - v2/c2) - 1]
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