11. Il diagramma HR e gli Ammassi Stellari
Come produrre un diagramma HR in base a osservazioni
• Nelle lezioni precedenti abbiamo visto che il diagramma HR (Luminosità-Temperatura)
risulta utile per studiare le stelle nelle varie fasi evolutive
• Per potere paragonare i ragionamenti teorici sulle tracce evolutive con i risultati,
dobbiamo imparare a produrre in pratica il diagramma HR
• Per produrre un diagramma HR, dobbiamo stimare, per ogni data stella, la sua
luminosità bolometrica L e la sua temperatura efficace Te.
Come di stima in pratica la luminosità bolometrica L di una stella
Per stimare la luminosità L di una stella è necessario effettuare due misure:
a) La misura del flusso bolometrico f (erg s1 cm2) misurato sulla Terra (quello
che per il Sole abbiamo chiamato costante solare). In pratica questo viene
fatto su un range ristretto di lunghezze d’onda, applicando poi opportune
correzioni
b) La misura della distanza r . Abbiamo visto che l’unica misura diretta della
distanza è quella ottenuta col metodo della parallasse. Quando questo non è
applicabile dobbiamo faremo solo stime indirette della distanza.
Ottenute queste due informazioni, possiamo stimare la luminosità L in base alla:
L = f 4r2
Come si stima in pratica la temperatura superficiale Te di una stella
• Nel caso del Sole, avevamo immaginato di effettuare un fit dello spettro con uno
spettro di corpo nero e avevamo ricavato il parametro Te
• Sebbene questa procedura sia teoricamente corretta, riprodurla in
pratica implica avere un numero elevato di filtri molto stretti.
• In questo modo, misurando il flusso in ogni banda infinitesima si può
“disegnare” lo spettro e poi farne un fit
• nella pratica si ha a disposizione solo un numero limitato di bande
adiacenti (tipicamente U, B e V), e questo anche per avere un “flusso
apprazzabile” in ogni banda
• E in effetti, in teoria basterebbe una misura di flusso in due sole bande (per esempio B e V),
perché in uno spettro di corpo nero il rapporto fra il flusso in due bande è funzione solo della
temperatura Te
fV / fB = funzione di Te
• Si dimostra che in termini di magnitudini in banda B e V questa relazione è:
MB  MV = -0.71 +7090 / T
che scriveremo anche:
B  V = -0.71 +7090 / T
le costanti derivano da una calibrazione a
cui corrisponde BV = 0 per una stella a
10000 °K
• La quantità BV è quello che in astronomia di chiama un indice di colore
• In generale quindi, date due bande x e y, la definizione di indice di colore di una
stella è data dalla:
CI = mx –my = Mx –My
Da notare che il termine di distanza che
connette M a m sparisce, trattandosi
della stessa stella
• che in termini di flusso si scrive:
CI = costante  2.5 Log[f(x)/f(y)]
Come abbiamo già detto, in corpo nero un unico indice di colore caratterizza
univocamente la particolare curva di emissione (cioè Te)
Il problema dell’arrossamento dello spettro
• In pratica però la misura di un solo indice di colore non è sufficiente a fare una
stima attendibile della temperatura.
• Infatti, le polveri presenti nel mezzo interstellare che ci separa d una stella ne
attenuano la luce, ma in modo non uniforme a tutte le lunghezze d’onda.
• La diffusione (scattering) è più efficace sulla luce blu che su quella rossa
Nube di polvere
• A causa dello stesso fenomeno (questa volta nell’atmosfera) il Sole al
tramonto appare più rosso di quando è al meridiano (al tramonto il cammino
ottico in atmosfera è maggiore che quando è al meridiano)
• per quantificare questo “arrossamento” (che in effetti è un deficit di blu), è utile
definire un’altra grandezza fisica in termini di magnitudini, l’estinzione A :
M = m – 5 Log (d) + 5 A
che rappresenta l’estinzione in magnitudine dovuta a tutto il mezzo fra l’osservatore e
la stella. Cioè ci dice “quanta magnitudine” è stata “persa” nel mezzo interstellare
• Risulta inoltre utile definire la quantità E (“eccesso di colore”) come la differenza fra
un dato Color Index (CI) effettivamente osservato e quello intrinseco. Per esempio:
EBV = (BV)  (BV)0
•Come abbiamo detto, l’estinzione è funzione
della lunghezza d’onda, in particolare si è potuto
verificare che in generale, l’estinzione nella banda
visibile Av è connessa all’eccesso di colore B-V
dalla relazione:
Av 3 x E BV
Correzione dell’arrossamento
• In uno spettro di corpo nero, In
1.2
0.8
assenza di arrossamento nel mezzo
interstellare, gli indici di colore BV e
UB si dispongono lungo una curva
ben precisa
(a)
UB
0.4
• Supponiamo di trovare una stella in
una posizione “anomala” (a)
?
0.0
• Assumendo che questa anomalia sia
?
0.4
?
(b)
0.8
1.2
dovuta ad arrossamento nel mezzo
interstellare, possiamo correggere la
sua posizione tenendo conto della
andamento dell’arrossamento con 
• Lo spostamento in BV che ne deriva
0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
BV
è l’eccesso di colore EBV definito in
precedenza
• Nel caso di una stella osservata nella posizione anomala (b), la correzione risulta ambigua,
essendoci varie intersezioni con la curva degli indici di colore intrinseci
• Se tuttavia questa stella si trova nello stesso ammasso stellare della precedente, possiamo
univocamente determinarne la posizione corretta
• Effettuata la correzione per l’arrossamento, la stima dell’indice di
colore “corretto” consente di fare una stima di Te
• Inoltre, l’eccesso di colore consente anche di stimare l’estinzione. Per
esempio abbiamo visto che l’estinzione in banda V è connesso
all’eccesso di colore in BV dalla relazione:
Av 3 x E BV
• La stima dell’estinzione consente di fare una stima “circostanziata”
della distanza il che aiuta nella stima della luminosità L di cui abbiamo
accennato in precedenza.
Altro metodo per stimare la temperatura superficiale Te di una stella:
Classificazione spettrale
• L’idea di stimare la temperatura in base alla classificazione spettrale, nasce
dalla considerazione che, data un certa composizione chimica della fotosfera, il
pattern delle righe di assorbimento o di emissione dipende dalla temperatura
della fotosfera stessa, e quindi in ultima analisi da Te
• In generale, in base a semplici considerazioni di termodinamica possiamo
affermare che
a) a basse temperature la materia tende a trovarsi in stati legati
 si tende a osservare transizioni fra i livelli atomici più bassi
b) ad alte temperature la materia tende a trovarsi in stati ionizzati
 si tende a osservare transizioni fra i livelli atomici più alti
• La classificazione delle stelle, ordinata nel senso della temperatura
discendente (quindi a partire da righe di assorbimento o emissione di stati
ionizzati) è convenzionale ed è la seguente:
O B A F G K M
Diagramma HR di stelle vicine
• Il diagramma HR di stelle vicine, quelle per
le quali la distanza può essere determinata in
base alla parallasse, può essere costruito
abbastanza facilmente in quanto la luminosità
L può essere determinata senza ambiguità
• Tuttavia, il diagramma HR di un generico
campione di stelle vicine non è molto utile per
lo studio dell’evoluzione delle stelle, in quanto
contiene stella di età diversa, cioè stelle che
sono “comparse” sulla sequenza principale a
epoche diverse.
• L’ideale per noi, per verificare le nostre teorie
sull’evoluzione
stellare,
sarebbe
avere
campioni di stelle, con tutte le stelle di un
campione aventi la stessa età, in modo da
seguire “il percorso” sul diagramma HR in
funzione per esempio della massa iniziale.
• Questi campioni di stelle esistono e sono gli ammassi stellari: gruppi di stelle
omogenee chimicamente, della stessa età e tutte (pressoché) alla stessa distanza.
Ammassi Stellari
Ammassi aperti: Contengono tipicamente 103
stelle. Sono localizzati per lo più lungo il disco
Galattico, a basse latitudini, e sono composti da
stelle di Popolazione I
Ammassi Globulari: Contengono tipicamente
106 stelle. Sono localizzati prevalentemente
lungo l’alone della Galassia e sono composti da
stelle di Popolazione II
Ammassi Aperti
• Per le stelle di un dato Ammasso, possiamo costruire il diagramma HR riportando in
ordinata il flusso f, dato che le stelle sono tutte alla stessa distanza
La figura mostra il diagramma HR di due ammassi aperti in cui notiamo:
• E’ ben visibile una porzione della sequenza principale
• La sequenza appare troncata in basso, dovuto al flusso limite delle osservazioni
•Selezionando uno stesso intervallo di temperatura e selezionando il corrispondente
intervallo sulla scala delle ordinate (flusso), che corrisponde allo stesso intervallo di
luminosità, osserviamo un offset, che indica che uno dei due ammassi è più vicino, e in
questo infatti ci possiamo spingere più in basso in luminosità
•Quando facciamo questa “normalizzazione” in luminosità, appare evidente che uno dei
due ammassi è più vecchio dell’altro (le stelle più massive si sono tutte evolute)
• Se da un lato lo studio di un singolo ammasso può essere fatto basandosi sul flusso
apparente, ignorando quindi la distanza, nel paragonare i diagrammi HR di ammassi diversi è
invece necessario potere fare una normalizzazione in L, per cui serve la distanza relativa
• In prima approssimazione, questo può essere fatto proprio facendo scorrere in due grafici
finché le sequenze principali non coincidono.
• Con questo esercizio, non solo possiamo fare un confronto relativo degli ammassi (per
esempio una stima dell’età), ma possiamo ricavare la distanza di tutti gli ammassi del nostro
campione se riusciamo a ottenere un misura indipendente della distanza di uno di essi.
• La figura mostra il risultato della “somma” dei
diagrammi HR di un campione di ammassi aperti,
normalizzati facendo coincidere le sequenze principali
• I vari rami presenti in figura (dal basso verso l’alto)
osservati provengono da ammassi di età decrescente.
• In sostanza, la figura consente (muovendosi dall’alto
verso il basso) di osservare le fasi evolutive in funzione
delll’età.
• Infatti nei rami in alto, si osserva il distacco dalla
sequenza delle stelle più giovani (ricordiamo che le
stelle massive evolvono prima)
• Come abbiamo detto, con questo esercizio di normalizzazione dei diagrammi
HR, se riusciamo a determinare la distanza di anche uno solo degli ammassi del
nostro campione, possiamo ricavare la distanza di tutti gli altri.
• La distanza dell’ammasso delle Hyades:
Hyades:
Ammasso
aperto
contenente circa 200 stelle
• Misura della velocità v di recessione
media dell’Ammasso fatta in base a
misure Doppler di spostamento di righe
negli spettri
• Variazione nel tempo del diametro
dell’Ammasso apprezzabile.
• Dalla relazione:
d/(vt) = /
si ricava la distanza
Un altro caso, utile per la determinazione delle distanze, può essere quello in
cui in almeno un ammassi del nostro campione si osservano Cefeidi
• Le Cefeidi sono spesso presenti negli Ammassi Aperti. Queste stelle hanno
l’inviluppo esterno instabile e “pulsano” in modo abbastanza regolare.
• Si osserva una correlazione stretta fra il periodo di pulsazione P e la luminosità L
Quindi:
• Misurando il periodo P, possiamo
stimare la luminosità L
• Misurando il flusso apparente f,
possiamo ricavare la distanza d dalla:
f = L / 4d2
Quindi anche in questo caso, per tutti gli Ammassi Aperti utilizzati nella
“normalizzazione” della luminosità L, possiamo stimare la distanza.
Ammassi Globulari
Ammasso Globulare M3
• Gli Ammassi Globulari contengono stelle
(106) di Popolazione II e sono più vecchi
degli Ammassi Aperti (12x109 anni)
• Il “turn-off” della sequenza principale è
tipicamente di 0.8 M
• Una classe particolare “blue straggler”
sembra avere massa più elevata del turn-off.
• Questa apparente contraddizione sembra
essere dovuta a un arrichimento di massa a
spese della stella compagna in un sistema
binario.
• Sul braccio orizzontale si trova un classe di
stelle variabili pulsanti (che per questo non
vengono indicate), chiamate RR-Lyrae
• Anche questa classe di variabili, come le
Cefeidi, mostra una relazione LuminositàPeriodo che può essere utilizza per
ricavarne la distanza (e stimare quindi la
distanza dell’ammasso)
Le stelle variabili RR-Lyrae e le Cefeidi di Popolazione 2
• In aggiunta alle RR-Lyrae, cje si distinguono per l’intervallo più breve dei periodi di
pulsazione, negli Ammassi Globulari si osserva anche un’altra classe di stelle pulsanti,
denominate Cefeidi di Pololazione II
• Le Cefeidi di Popolazione II hanno periodi di pulsazione simili a quelli delle Cefeidi
osservate negli ammassi aperti.
• Sono tuttavia distinguibili da queste per la diversa forma della curva di luce
Dinamica degli Ammassi Stellari
• Le attuali conoscenze sul fenomeno della formazione stellare a partire da una nube di gas e
polveri è consistente con l’idea che le stelle tendono a formarsi in ammassi.
• Tuttavia, né il Sole, né la maggior parte delle stelle di Popolazione I nella Galassia si trovano
al momento in un ammasso. Perché ?
• Per capire questo fatto occorre capire come funziona la dinamica di un ammasso
• Prima osservazione: anche in un ammasso denso, le dimensioni delle stelle sono piccole
rispetto alle distanze che le separano.
• Questo fatto implica che le stelle sono libere di muoversi nell’ammasso e di passare una
davanti all’altra, interagendo quindi per effetti di gravità (subendo quindi fenomeni di scattering),
senza però andare incontro a collisioni dirette
• Questi fenomeni di scattering generano una sorta di “random walk”
Equilibrio dinamico
• In prima approssimazione, un sistema sferico di stelle dal punto di vista dinamico è il
risultato dell’equilibrio fra:
• attrazione gravitazionale verso il centro esercitata dall’ammasso “nel suo
insieme” su ogni singola stella
• l’inerzia associata al “random walk” di quella particolare stella rispetto al
centro dell’ammasso
• Le stelle, non “collassano” l’una sull’altra verso il centro dell’ammasso
• Ma tendono a percorrere orbite aperte avvicinandosi e allontanandosi dal centro
•statisticamente non c’è un avvicinamento netto verso il centro
• Al “percorso orbitale medio” si sommano dei piccoli ma continui effetti di deflessione dovuti
agli “urti” (intesi come scattering e non come vere e proprie collisioni)
• Questi urti caotici tendono a stabilire una distribuzione Maxwelliana delle velocità
Equilibrio “termodinamico”
• Le stelle di un ammasso quindi sono caratterizzate da una velocità quadratica media V
analoga alla espressione (3kT/m)½ di un gas classico
• La maggior parte delle particelle di questo “gas” (le stelle) avranno velocità simili a V
• Tuttavia, la distribuzione Maxelliana ha comunque una sua “coda” e ci sarà comunque un
certo numero di stelle aventi velocità v >> V
• Gli “urti gravitazionali” casuali, tendono a stabilire una sorta di “equilibrio termodinamico”,
ma senza riuscirci completamente:
Le stelle la cui velocità eccede la velocità di fuga
dall’ammasso, vengono definitivamente perse
Il teorema del Viriale:
• La condizione di stabilità di un sistema autogravitante, è formalizzata attraverso
l’enunciato del il Teorema del Viriale:
• La condizione di stabilità implica un preciso bilanciamento fra energia cinetica
(agitazione termica) ed energia potenziale gravitazionale. Infatti:
• Se prevale l’energia termica Et, il sistema si espande non è più stabile
• Se prevale l’energia potenziale gravitazionale Eg, il sistema si comprime non è più stabile
• Secondo il Teorema del Viriale, in un sistema stabile:
Et =  ½ Eg
• E’ interessante notare che, essendo l’energia potenziale negativa, se il sistema si contrae
l’energia potenziale diventa sempre più negativa
• In base alla formula quindi, se il sistema si contrae, l’energia termica, aumenta.
• Ma, in base al teorema del Viriale, solo ½ della energia gravitazionale rilasciata rimane
nel sistema sottoforma di energia termica, l’altro ½ viene rilasciato sotto forma di
radiazione
L’applicazione del Teorema del Viriale era quindi alla base dell’argomento di KelvinHelmotz con il quale si cercava di determinare la riserva di energia nel Sole. L’argomento è
infatti corretto, anche se abbiamo visto che nel caso del Sole, la riserva di energia
gravitazionale non è sufficiente a tenere conto del tempo di vita del Sole
Applicazione del Teorema del Viriale: stima della velocità di fuga dall’ammasso
• Consideriamo un ammasso stellare sferico, autogravitante,
composto da N stelle di massa m aventi velocità
quadratica media V, e aventi distanza media R fra ogni coppie stelle
• Per calcolare la velocità di fuga ve dall’ammasso di una delle N stelle eguagliamo l’energia cinetica
corrispondente alla velocità di fuga, alla energia potenziale “sentita” dalla stessa stella (dovuta cioè alle N-1 stelle
rimanenti):
½ m ve2 = G [(N1)m] m / R
(essendo R la distanza media fra le stelle, che possiamo anche adottare come il raggio caratteristico
dell’ammasso)
• D’altra parte, il teorema del Viriale afferma che l’energia cinetica di agitazione termica Et delle N stelle è uguale
al ½ dell’energia potenziale gravitazionale Eg cambiata di segno: Et =  ½ Eg
• La quantità totale di energia cinetica disponibile Et è data da:
Et =N ½ mV2
• Per il calcolo dell’energia potenziale possiamo ragionare come segue:
• Ricordiamo che abbiamo assunto una distanza media fra coppie di stelle pari a R
• L’energia potenziale gravitazionale associata a ogni coppia è Gm2/R
• Essendoci N(N1)/2 possibili coppie di stelle nell’ammasso, si ha
Eg = G N(N1) m2 /2R
• Dal teoream del Viriale si ha quindi la relazione:
N ½ mV2 =  ½ G N(N1) m2 /2R
che paragonata alla relazione per la velocità di fuga:
½ mve 2 = G [(N1)m] m / R
implica:
ve = 2V
Tempo di “rilassamento” di un ammasso
• La “perdita” di stelle aventi velocità v > ve, implica un “riaggiustamento” delle velocità delle
rimanenti stelle, così da “ripopolare” la coda delle alte velocità della Maxwelliana
• Il tempo richiesto per questo riaggiustamento è definito tempo di rilassamento trelax
• Una stima approssimata di trelax è data dal tempo che intercorre fra due successivi “urti”
• Per stimare questo tempo, associamo ad ogni stella una “sfera di influenza” di sezione
pari a un’area di “sezione d’urto” r2
r
V
Vtrelax
• Data una particella che si sta muovendo con la sua sfera d’influenza a velocità V
• Il tempo trelax è definito dalla condizione che il cilindro di volume r2Vtrelax intercetti
un’altra stella
• Dato un numero n di stelle per unità di volume, la condizione da imporre è quindi che la
“somma dei volumi di tutti questi cilindri” sia pari al volume unitario:
 r2Vtrelax = 1
n r2Vtrelax = 1
da cui si ricava per il tempo di rilassamento
Trelax = 1 / nr2V
• Resta da definire opportunamente r
• normalmente si sceglie la distanza per cui l’energia potenziale gravitazionale di una coppia di
stelle eguaglia l’energia cinetica “tipica” ½ mV2 di ogni stella:
Gm2/r = ½ mV2
• Risulta pertanto:
trelax = V3 / 4G2m2n
• Si dimostra che il “tempo di evaporazione”, definito come il tempo necessario affinché una
frazione 1/e di stelle superino la velocità di fuga ve, e’ connesso al tempo di rilassamento da:
tevap = 96 trelax
L’evaporazione nel caso di masse di più di una specie
• In un incontro (scattering) fra due stelle di massa m1 << m2, succede che la stella più leggera
subisce una forte deviazione, mentre quella più massiva cambia di poco la sua traiettoria
• Come in un gas, le stelle tendono ad una distribuzione caratterizzata dall’equipartizione
dell’energia cinetica
• Statisticamente quindi la quantità ½mv2 si mantiene costante
• Le stelle più massive tenderanno ad avere velocità più basse della media
• Le stelle leggere tenderanno ad avere velocità più alte della media
Quindi a seguito dell’equipartizione dell’energia cinetica:
• Le stelle più leggere tendono ad avere velocità v > ve (evaporano)
• Le stelle più massive tendono ad avvicinarsi l’una all’altra verso il centro
• L’ammasso si contrae
• Nel contrarsi rilascia energia di legame
• Di conseguenza le stelle massive acquistano nuova energia cinetica
• Negli “incontri” successivi con stelle più leggere rimaste ancora intrappolate
nell’ammasso, queste ultime acquistano sempre più velocità: l’evaporazione aumenta
• In sostanza si crea una configurazione “nucleo centrale” + “inviluppo” simile a quello di
una gigante rossa!
Un ammasso stellare è quindi una sorta “gas” autogravitante in cui competono le
leggi della termodinamica e la legge della gravitazione
• Il nucleo interno, composto prevalentemente da stelle massive, tende a contrarsi
• L’energia di legame rilasciata nella contrazione aumenta l’agitazione termica
delle stelle massive che si trovano nel nucleo
• Negli “urti” con queste stelle massive, le stelle più leggere acquistano velocità ed
evaporano
In sostanza:
• l’ammasso tende sempre più a contrarsi e “scaldarsi” al centro
• continua a iniettare all’esterno stelle leggere
e come tutti i sistemi autogravitanti, tende inesorabilmente alla catastrofe
In un ammasso stellare il nucleo composto da stelle massive è destinato a
collassare e l’inviluppo composto da stelle leggere è destinato a essere espulso
Avevamo visto che in una stella questa tendenza alla catastrofe, propria del
sistema autogravitante, è rallentata dall’innesco delle fusioni nucleari al centro
In un ammasso che cosa rallenta il cammino verso la catastrofe ?
Si ritiene che ci possano essere vari effetti che aiutano l’ammasso a liberarsi
dell’inviluppo di stelle leggere, rallentando il collasso
Le forze di marea della stessa Galassia possono strappare le stelle leggere
dell’inviluppo dell’ammasso
Il ruolo delle binarie: L’interazione di stelle singole con sistemi binari nel
nucleo dell’ammasso può imprimere una notevole velocità alla stella singola
incidente lanciandola via dall’ammasso
Una possibile conclusione della vita di un ammasso potrebbe essere
l’espulsione di tutte le stelle, lasciando al centro un singolo sistema binario
molto stretto.