ISOMETRIE
Progetto Scuole Aperte
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Un nuovo modo di studiare la geometria
Una geometria più vicina alla nostra realtà
Tutto si muove e si trasforma
Quali sono le proprietà delle figure che si conservano?
Quali quelle che variano?
S C O P R I A M O L O!!!
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 Continuità
 Convessità
 Parallelismo
 Forma
 misura
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 Si chiama trasformazione geometrica una relazione tra
i punti di uno stesso piano che associa ad un elemento
della prima figura, uno ed uno solo, elemento della
seconda figura, che prende il nome di trasformato
(immagine)
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Le trasformazioni vengono classificate in base
alle proprietà della figura che restano invariate (invarianti) dopo
la trasformazione stessa, esse sono:
 Trasformazioni isometriche (invarianti tutte le proprietà)
 Trasformazioni simili (continuità, convessità parallelismo e
forma)
 Trasformazioni affini (continuità, convessità e parallelismo)
 Trasformazioni proiettive (continuità e convessità)
 Trasformazioni topologiche (continuità)
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Topologie
Affinità
Similitudini
Isometri
e
Omotetie
Simmetria Centrale e
Identità
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Tra le principali trasformazioni geometriche del piano reale si annoverano
le isometrie, cioè le particolari trasformazioni geometriche che
conservano la distanza tra punti.
Le isometrie del piano si possono classificare in:
traslazioni,
rotazioni,
simmetrie centrali,
simmetrie assiali.
Trasformazioni piane non isometriche
Tra le molte trasformazioni geometriche del piano che non mantengono
necessariamente le distanze, si ricordano, in particolare, l’omotetia e la
similitudine nel piano, trasformazioni del piano che conservano i rapporti
tra le distanze, e l’affinità, trasformazione geometrica che conserva il
parallelismo di rette e congruenza tra segmenti.
Dalle definizioni date segue che le isometrie sono particolari similitudini e
che queste sono particolari affinità.
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Si dice ISOMETRIA una trasformazione geometrica che
conserva le distanze ovvero, dati due punti A, B l'isometria fa
corrispondere ad essi due punti A' e B' tali che:
AB = A'B'
Pertanto le figure trasformate risultano congruenti a quelle
date e sono:
►le simmetrie centrali e assiali,
►le traslazioni,
►le rotazioni.
è una trasformazione geometrica che conserva inalterate tutte le misure, sia lineari sia
angolari.
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ISOMETRIE
Una simmetria centrale è una trasformazione che scambia tra
di loro gli estremi di ogni segmento il quale abbia, come punto
medio, un punto fissato detto centro di simmetria.
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Due punti A e B si dicono simmetrici
rispetto ad un punto O ( centro di
simmetria ) quando questo e' punto medio
del segmento che li unisce.
B
O
A
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►L’allineamento dei punti
►L’incidenza e il parallelismo tra rette
►La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli
►Direzioni (una retta viene trasformata in una retta parallela)
►Orientamento delle figure
►L’unico punto unito è O centro di simmetria
►Ogni retta passante per O è unita (ma non luogo di
punti uniti)
►Ogni simmetria centrale è involutoria
►A ogni semiretta di origine O (centro di simmetria)
corrisponde la sua opposta
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Una figura e' simmetrica rispetto ad un centro se
ogni suo punto ammette un simmetrico nella figura.
Ecco alcuni esempi di figure simmetriche rispetto ad
A
un loro punto:
B
A
O
B1
A1
A1
Il centro di simmetria è il punto d'intersezione delle loro diagonali.
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ESCHER: DA CIRCLE
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Notre Dame- Paris
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Lo splendido rosone del Duomo di Orvieto, realizzato dal fiorentino Andrea di
Cione detto l'Orcagna.
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ISOMETRIE
Una riflessione o simmetria assiale è una trasformazione che
"specchia" tutti i punti rispetto a (rispettivamente) un punto,
una retta, o un piano (detti rispettivamente centro, asse o
piano di riflessione
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Fissata una retta r nel piano, la
simmetria assiale è una
isometria del piano in se stesso
che associa ad ogni punto A il
punto A’, simmetrico di A
rispetto a r.
rr
A
90°
A'
La retta r si chiama asse di
simmetria.
r
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►L’allineamento dei punti.
r
B
►L ’ incidenza e il parallelismo tra rette
B'
►La lunghezza dei segmenti
► L’ampiezza degli angoli
F‘
F
C
A
C'
A'
►L’asse è una retta unita formata da punti uniti
►Tutte e sole le rette perpendicolari all’asse sono unite (ma non luoghi di punti uniti)
►Ogni simmetria assiale è involutoria
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20
180°
D
C
A
A1
B
D1
B1
C1
Asse di simmetria
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Esempi di simmetria assiale nell’arte
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ISOMETRIE
Una traslazione è una trasformazione dello spazio euclideo,
che sposta tutti i punti di una distanza fissa nella stessa
direzione mediante un vettore di traslazione.
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(Traslare significa ‘spostare, portare oltre, dal latino “trans-ferre”)
Si definisce traslazione di vettore v , una isometria
del piano in se stesso che associa ad ogni punto P del
piano il punto P’ tale che abbia
►la stessa direzione,
►lo stesso verso
►lo stesso modulo di .
P1
P
v
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► L’allineamento dei punti
► L’incidenza e il parallelismo tra rette
► La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli
angoli
► Direzioni (una retta viene trasformata in una retta
parallela)
A1
► Orientamento delle figure
C
D
ALTRE PROPRIETA’ della
TRASLAZIONE
D1
C1
B1
V
A
►In una traslazione non esistono punti uniti
B
►Ogni retta parallela a V è unita
per verificare che due figure si corrispondono in una traslazione, basta controllare che i segmenti
che uniscono due punti corrispondenti sono paralleli e congruenti.
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ESCHER
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ISOMETRIE
Una rotazione è una trasformazione del piano o dello spazio
euclideo che sposta gli oggetti in modo rigido e che lascia fisso
almeno un punto.
I punti che restano fissi nella trasformazione si chiamano
centro o asse della rotazione.
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►L’allineamento dei punti
►L’incidenza e il parallelismo tra rette
►La lunghezza dei segmenti e l’ampiezza degli angoli
►Orientamento delle figure
►L’unico punto unito è il centro O di rotazione.
►Tutte e sole le rette passanti per O sono unite
per verificare che due figure si corrispondono in una rotazione, basta controllare che ogni
coppia di punti corrispondenti è equidistante dal centro di rotazione O, che si determina come
intersezione degli assi di due segmenti che hanno per estremi due coppie qualsiasi di punti che
si corrispondono.
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P
O
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P1
P
O
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P2
P1
P
O
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