Analisi dei meccanismi locali
(a cura di Michele Vinci)
Tutte le immagini riportate sono tratte dal testo:
“Metodi di calcolo e tecniche di consolidamento per edifici in muratura” – Michele Vinci – Flaccovio Ed.
Analisi dei meccanismi locali
Per gli edifici in muratura esistenti, oltre ad analisi di tipo globale (per esempio,
pushover), occorre effettuare anche l’analisi dei meccanismi locali.
Analisi dei meccanismi locali
Tra le più comuni tipologie di meccanismo citiamo:
•
•
•
•
•
•
Ribaltamento semplice;
Flessione verticale;
Flessione orizzontale;
Ribaltamento composto;
Ribaltamento del cantonale;
Sfondamento del timpano.
Si segue il metodo previsto dalla normativa (C8.A.4 della Circolare 617/2009)
Per l’applicazione del metodo si fanno le seguenti ipotesi:
•
•
•
•
Resistenza nulla a trazione della muratura;
Assenza di scorrimento tra i blocchi;
Deformabilità nulla dei macroelementi;
Resistenza infinita a compressione della muratura.
Analisi dei meccanismi locali
Il metodo di calcolo si articola nei seguenti passi:
• Trasformazione di una parte della costruzione in un sistema labile,
detta catena cinematica, attraverso l’individuazione di corpi rigidi,
definiti da piani di frattura ipotizzabili per la scarsa resistenza a trazione della
muratura, in grado di ruotare o scorrere tra loro;
• Valutazione del moltiplicatore orizzontale dei carichi a0 (detto anche
moltiplicatore di attivazione del meccanismo) che comporta l’attivazione
del meccanismo;
• Valutazione dell’evoluzione del moltiplicatore orizzontale dei carichi a al crescere
dello spostamento dk di un punto di controllo della catena cinematica,
fino all’annullamento della forza sismica orizzontale (si ottiene la curva a–d);
• Trasformazione della curva ottenuta in una curva di capacità a*-d*, in
accelerazioni a* e spostamenti d* spettrali;
• Verifica di sicurezza attraverso gli spostamenti o resistenze richieste per la
struttura
Analisi dei meccanismi locali
Determinazione del moltiplicatore a0
Il moltiplicatore a0 può essere determinato in due modi, o attraverso l’equilibrio
alla rotazione rispetto ad un punto di rotazione o attraverso il principio dei lavori
virtuali. Il primo si utilizza per casi semplici, il secondo per casi più complessi.
Secondo il principio dei lavori virtuali il lavoro delle forze interne e quello delle
forze esterne devono essere uguali:
Lfe – Lfi = 0
La normativa esplicita la precedente attraverso la seguente:
n m
 n


a0
Pi   x, i 
Pj   x, j  
 i1

j

n

1




n
o
Pi   y, i  Fh   h  L fi

i1
h1
Risolvendo la relazione si ottiene il moltiplicatore a0
Analisi dei meccanismi locali
Determinazione del moltiplicatore a0
Esempio
MStab
 MRib
MStab 
MRib 
W t

8100  0.5
2
a0  W  h
2
 2025 daNm
2

a 0  8100  3
2
 12150  a 0 daNm
Uguagliando le ultime due si ottiene:
a0 
t
h
 0.167
Analisi dei meccanismi locali
Determinazione del moltiplicatore a0
Esempio
 1



a0
 Pi   x,i  
 i1


1
Pi   y, i  0

i1
α0  W   x  W   y  0
α0 
y
x
α0 


y
x

l'sen 
l'cos 
 tg  
t
 0.167
h
Analisi dei meccanismi locali
Analisi cinematica non lineare
In analogia con quanto visto per l’analisi globale statica non lineare , anche
nel caso del calcolo dei meccanismi locali, la soluzione passa attraverso la
determinazione della curva di capacità della struttura e la trasformazione del
sistema reale in un sistema equivalente. Come per l’analisi pushover, anche
nel caso dei meccanismi locali, la verifica si effettua confrontando la
“capacità di spostamento” con lo “spostamento richiesto”.
Curva di capacità
Al fine di conoscere la capacità di spostamento della struttura fino al
collasso, il moltiplicatore orizzontale a dei carichi deve essere valutato anche
sulle configurazioni variate (o deformate) della catena cinematica. L’analisi
deve essere condotta fino al raggiungimento della configurazione in cui si
ottiene a = 0. In altre parole, si devono considerare più configurazioni
deformate della struttura, per le quali si calcola il moltiplicatore a dei carichi.
Analisi dei meccanismi locali
Analisi cinematica non lineare
Nelle configurazione deformata,
aumenta il braccio delle forze
instabilizzanti e diminuisce quello
delle forze stabilizzanti. Per questo
motivo, generalmente, l’andamento
della curva è decrescente.
Analisi dei meccanismi locali
Analisi cinematica non lineare
Per ogni configurazione variata si ottiene il valore del moltiplicatore a in
funzione dello spostamento orizzontale dk del punto di controllo (generalmente
coincidente con l’estremo della catena o con il baricentro delle masse),
ottenendo la curva di capacità (a - dk) della catena cinematica.

d
a  a 0 1  k
 d
k,0





dk,0 è lo spostamento del punto di controllo che annulla il moltiplicatore dei carichi
orizzontali
Analisi dei meccanismi locali
Analisi cinematica non lineare
Curva di capacità dell’oscillatore equivalente
Noto l’andamento del moltiplicatore orizzontale a dei carichi in funzione dello
spostamento dk del punto di controllo della struttura, occorre definire la curva di
capacità dell’oscillatore equivalente, come relazione tra l’accelerazione spettrale a* e
lo spostamento spettrale d*. In analogia a quanto visto per l’analisi globale, occorre
definire i parametri che definiscono l’oscillatore equivalente.



M* 
n m

i1

2
Pi   x, i 

n m
P  
g
i
Massa partecipante
2
x,i
i1
n+m è il numero delle forze peso Pi applicate sulla struttura, le cui masse, per effetto
dell'azione sismica, generano forze orizzontali sugli elementi della catena cinematica;
Analisi dei meccanismi locali
Analisi cinematica non lineare
e*

gM*
n m
P
Frazione di massa partecipante
i
i1
L’accelerazione sismica spettrale a* si ottiene moltiplicando per l’accelerazione di
gravità il moltiplicatore a e dividendolo per la frazione di massa partecipante al
cinematismo ed il fattore di confidenza:
a* 
a0* 
ag
e *  FC
a0  g
e *  FC
Accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo
Analisi dei meccanismi locali
Analisi cinematica non lineare
Lo spostamento spettrale d* dell’oscillatore equivalente si ottiene, in via
approssimata, noto lo spostamento del punto di controllo dk, dalla relazione seguente
con riferimento agli spostamenti virtuali della configurazione iniziale (indeformata):
n m
d*
 dk
 Pi  
2
x,i
i1
n m
 x, k
 Pi  
x,i
i1
x,k è lo spostamento virtuale del punto assunto come riferimento per la
determinazione di dk
Analisi dei meccanismi locali
Resistenza e capacità di spostamento
La resistenza e la capacità di spostamento relativa allo Stato limite di danno (SLD)
e Stato limite di salvaguardia della vita (SLV) si ottengono dalla curva di capacità, in
corrispondenza dei seguenti punti:
•
•
SLD: dall’accelerazione spettrale a 0* corrispondente all’attivazione del meccanismo
SLV: dallo spostamento spettrale d u* corrispondente al minore tra:
a)
il 40% dello spostamento per cui si annulla l’accelerazione
spettrale a*, valutata su una curva in cui si considerino
solamente le azioni di cui è verificata la presenza fino al collasso;
b)
lo spostamento corrispondente a situazioni localmente incompatibili
con la stabilità degli elementi della costruzione (ad esempio,
sfilamento di travi, rottura di tiranti, ecc.), nei casi in cui questo sia
valutabile.
Analisi dei meccanismi locali
Verifica allo stato limite di danno (SLD)
La verifica di sicurezza nei confronti dello Stato limite di danno (SLD) è
soddisfatta qualora l’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo a 0*
sia superiore all'accelerazione di picco della domanda sismica:
Nel caso in cui la costruzione (catena cinematica) interessata al cinematismo sia
appoggiata sul terreno di fondazione:
a 0*  a g  S
Se la porzione di costruzione interessata dal cinematismo non è a contatto con
la fondazione (posta a quota superiore), bisogna che sia verificata anche la
seguente:
a 0*  S e T1  ψZ   γ
 
y(Z) è il primo modo di vibrazione nella direzione considerata (Z/H)
g è il corrispondente coefficiente di partecipazione modale (3N / (2N + 1))
T1 è il periodo fondamentale della struttura pari a 0.05 H0.75
Analisi dei meccanismi locali
Verifica allo stato limite di danno (SLV)
Analisi cinematica lineare
La verifica di sicurezza nei confronti dello Stato limite di danno (SLV) è
soddisfatta qualora l’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo a 0*
sia superiore all'accelerazione di picco della domanda sismica:
Nel caso in cui la costruzione (catena cinematica) interessata al cinematismo sia
appoggiata sul terreno di fondazione:
a 0* 
ag  S
q
Se la porzione di costruzione interessata dal cinematismo non è a contatto con
la fondazione (posta a quota superiore), bisogna che sia verificata anche la
seguente:
Se T1  ψ Z   γ
a 0* 
q
dove q è il fattore di struttura che può essere assunto pari a 2
Analisi dei meccanismi locali
Verifica allo stato limite di danno (SLV)
Analisi cinematica non lineare
La verifica di sicurezza nei confronti dello Stato limite di salvaguardia della vita
consiste nel confronto tra la capacità di spostamento ultimo d u* del meccanismo
locale e la domanda di spostamento Dd(Ts) ottenuta dallo spettro di risposta in
termini di spostamento in corrispondenza del periodo secante Ts.
 
du*  D d Ts
d *s
Ts  2
a *s
d*s  0.4  du*
Δ d (Ts )  SDe (Ts )
Analisi dei meccanismi locali
Verifica allo stato limite di danno (SLV)
Analisi cinematica non lineare
Se la porzione di costruzione interessata dal cinematismo non è a contatto con la
fondazione (posta a quota superiore), occorre che sia verificata anche la seguente:
 
d u*  S De T1  y ( Z )  g 
0.75
T1  0.05  H
 Ts 
 
 T1 
2
2
T
 Ts 
 1 -   0.02 s
T1
 T1 
dove H è l’altezza dell’edificio espressa in metri
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice
Tale meccanismo si verifica generalmente per la carenza di connessione tra la
parete investita dal sisma e quelle ortogonali. In presenza di cordoli, tiranti, ecc.,
difficilmente si manifesta questo tipo di meccanismo, in quanto tali elementi ne
ostacolano il ribaltamento.
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice
Cerniere cinematiche
C1
(base piano 1)
C2
(base piano 2)
Carichi
P1
(peso parete piano 1)
P2
(peso parete piano 2)
Ps1
(peso solaio piano 1)
Sv = Ps2
So
(peso tetto)
(Forza statica orizz. del tetto)
a0 P1, a0 P2, a0 Ps1, a0 Ps2
(Azioni inerziali)
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
L fe 
n
P
x, i
i1
  x, i 
n
P
y, i
  y, i  0
i1
a 0 Ps2   x2  P2   x1   S o   x2  P2   y1  Ps2   y2  0
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
x  b  θ
y  a  θ
 x1  y G2
 y1 
t2
2
 h1   θ

 x2  h 2  
 y2  x 2   
t2
2

Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
a0 Ps2  h2    P2 y G2  h1     So  h2    P2
a0 
M* 
e* 
a 0* 
P2  Ps2 
t2
2
 So  h2
Ps2  h 2  P2  y G2  h1 
P2   x1  Ps2   x2 
g
2

P2   2x1  Ps2
gM*
P2  Ps2

  2x2


2 
0.027  980.6
0.91  1.35
 21.56

G2  h1  Ps2  h 2


g  P2  yG2  h1

11210  1916
2
  Ps2
t2
0
2
 0.027
P y
980.6  12.38
t2
 0.91

2

2
 Ps2  h 22 

 12.38 daNm
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
Verifica SLD
a 0*  a g  S
 
a 0*  S e T1  ψZ   γ
0.75
T1  C1  H
 0.2 s
 
S e T1  192.3 cm/s2
ψZ  
320
 0.5
640
32
γ
 1.2
22 1
a0*  21.56  0.052  980.6  1.5  76.50 cm/s2
a0*  21.56  192.3  0.5  1.2  115.38 cm/s2
(Non Verificato)
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
Verifica SLV (analisi cinematica non lineare)
Occorre calcolare il moltiplicatore dei carichi
orizzontali per una configurazione deformata

 x1  y G2

 h1  D y1  
 t2

 y1  
 D x1   
2



 x2  h 2  D y2  θ
 t2

 D x2   
2

 y2  
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
Verifica SLV (analisi cinematica non lineare)

a
t

t

P2   2  D x1   Ps2   2  D x2   S o  h 2  D y2
 2

 2




Ps2  h 2  D y2  P2  y G2  h1  D y1


 0.0094
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
Verifica SLV (analisi cinematica non lineare)
 798.5  α
P2   2x1  Ps2   2x2
d* 
dk 
 x2  P2   x1  Ps2   x2 
a*

P2
 y G2  h1   Ps2  h 22
2
  y G2  h1   Ps2  h 2 
h 2  P2
dk  0.64  dk
du*
 0.4  d0*  2.19 cm (Capacità di spostamento)
d *s
 0.4  du*  0.88 cm
0.88
Ts  2  
18.11
 1.39 s
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
Verifica SLV (analisi cinematica non lineare)
du*
 2.19  Δ d (Ts )  SDe (Ts )  7.08 cm
(non verificato)
du*  2.19  Δ d (Ts ) 
 0.434  0.5  1.2 
 1.39 


0.2


2
2
 1 - 1.39   0.02 1.39


0.2
 0.2 
 2.09 cm
(verificato)
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Cerniera C2
Verifica SLV (analisi cinematica non lineare)
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Arretramento cerniera
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Arretramento cerniera
fd 
a
N 
6e
1 

l  t' 
t' 
2N
3  l  fd
Analisi dei meccanismi locali
Ribaltamento semplice – Pareti con più paramenti
a0 
t
2h
 0.083
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale
Esempio
N = 30000 daN
a 0 P1   x1  P2   x2   P1   y1  P2   y2  N   yN  0
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale
Esempio
 x2  h1  1 
 x2  h1  1 
h2
2
h2
2
 2 
 2 
h1
2
h1
2
 1
 1
 xN  0
 yN  t  1 
a0 
h1 
t

  2  t  1 
  1
2
 2  h2 
2t
2N
N


h1
g  h1  h  l g  h - h1   h  l
(Moltiplicatore in funzione di h1)
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale
Esempio
a '0  
2t

h12
2N
g  h12
hl

N
g  h - h1   h  l
0
2
N  2  g  l  h  t   h12  4  h  N  g  l  h  t   h1  2  h 2  N  g  l  h  t   0
h1,min 


h  2  N  g  l  h  t   2  N  N  g  l  h  t 
a 0, min  4.15 cm
N  2  g  l  h  t 
 184.34 cm
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale
Esempio
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione verticale – Parete con più
paramenti
a 0, min  2.08
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione orizzontale
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione orizzontale
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione orizzontale – Parete non confinata
n



a 0 P1   y1  P2   y2   PSi   ySi   H   xH  0


i1


La soluzione del problema richiede la conoscenza dell’entità della forza H
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione orizzontale – Parete non confinata
Momento stabilizzante:
M Sta  Ps  t s  Pm 
t
2
Momento instabilizzante:
MIns  H  hH
Dall’uguaglianza delle precedenti si ottiene:
H
1 
t
 Ps  t s  Pm  
hH 
2
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di flessione orizzontale – Parete non confinata
Bisogna individuare la forma dei macroelementi più probabili e scegliere quello
con moltiplicatore minore
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento composto
Il meccanismo di ribaltamento composta si manifesta quando pareti di muratura
investite dal sisma ruotano intorno ad una cerniera cilindrica orizzontale e
trascinano anche porzioni di pareti ad esse ortogonali. Generalmente questo tipo di
meccanismo si manifesta quando:
•
•
•
Ammorsamento tra pareti ortogonali ben eseguito;
Assenza di elementi in testa al muro che ne impediscono la rotazione
(presenza di cordoli, tiranti, ecc.).
Il meccanismo è favorito anche dalla scadente fattura dei muri ortogonali di
controvento che tendono a lesionarsi facilmente.
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento composto
Una delle difficoltà più importanti per questo tipo di meccanismo è quella di
determinare la porzione di muratura (cuneo di distacco) delle pareti ortogonali
che partecipano al cinematismo. Generalmente si procede per tentativi.
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento composto
Anche la tipologia dei solai può incidere sulla scelta del cuneo di distacco.
Nei casi in cui il cuneo di distacco tende a zero, il meccanismo degenera in
quello a ribaltamento semplice.
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento composto
a 0 P1   x1  P2   x2  Ps1   xs1  P1   y1  P2   y2  Ps1   ys1  0
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento del timpano
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento del timpano
2
 2

α 0   Pi   YPi  PT   YPT   Psi   YPsi  


i1
i  1

2
2
i1
i1
  Pi   ZPi - PT   ZP -  Psi   ZPsi  0
T
a0 
P1  P2  PT  Ps1  Ps2  2t cosβ  t  tgβ  senβ

P1  xG1  P2  xG2  PT  xB  Ps1  xs1  Ps2  xs2 

Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento del cantonale
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo di ribaltamento del cantonale
P  x  P2  x 2  Ps  x s
a0  1 1
 0.184
P1  z1  P2  z 2  Ps  h
Analisi dei meccanismi locali
Meccanismo su una porzione di parete