Metodi FEM in 2D
G. Puppo
Riassunto

Autovalori e aliasing
 Membrana elastica
 Problema di convezione-diffusione agli
elementi finiti
 Problema di convezione-diffusione alle
differenze finite
 Stabilizzazione
Autovalori esatti e
approssimati
Per studiare l’andamento degli autovalori esatti del problema del
filo elastico e degli autovalori approssimati, uso questa function:
function [landa_exa,landa_disc]=autovalori_1d(n)
% Calcola i primi autovalori esatti del problema del
% filo elastico, e i corrispondenti
% autovalori del problema discreto
h=1/(n+1);
for l=1:n
landa_exa(l)=l^2*pi^2;
landa_disc(l)=(2-2*cos(l*pi*h));
end
landa_disc=landa_disc/h^2;
Ottengo questi risultati
N = 19
N è il numero di nodi interni
N = 49
N. B.: Solo i primi autovalori sono approssimati con precisione
In due dimensioni l’andamento degli autovalori è simile
N=9
N è il numero di nodi interni per lato
Aliasing
In questa sezione vorrei illustrare la rappresentazione delle
autofunzioni del problema del filo elastico su una griglia.
Considereremo il caso di una funzione che può essere risolta su
una determinata griglia e il caso di una autofunzione troppo
oscillante per essere individuata correttamente sulla griglia
assegnata.
Su una griglia con 9 nodi interni, quindi con 9 autovettori
linearmente indipendenti, consideriamo le seguenti funzioni:
u(x) = sin(7  x)
u(x) = sin(10  x)
u(x) = sin(11  x)
u(x) = sin(7  x)
Il grafico
La griglia
di u(x)
“vede”
è: questi dati:
Questi punti individuano l’autovettore
sin( 7 π x j ), j = 1,…,9
u(x) = sin(10  x)
Il grafico di questa funzione è:
Quindi,
su questi
questa
griglia, la
La griglia
“vede”
dati:
funzione u(x) = sin(10  x)
è equivalente alla funzione nulla
u(x) = sin(11  x)
Il grafico di questa funzione è:
La griglia quindi non
Questi
valorifraperò
sono
distingue
queste
due gli stessi
funzioni
che ottengo
su questa
con la
La griglia
“vede”griglia
questi valori:
funzione u(x) = sin(9 π x):
La nostra griglia non distingue la
funzione verde dalla funzione blu
u(x) = sin(14  x)
La funzione blu ha gli stessi valori sulla griglia della funzione
verde. Il sistema non distingue le due funzioni.
Membrana elastica
Vogliamo risolvere il problema:
Abbiamo già calcolato la matrice di rigidità per questo problema.
Dobbiamo creare una function che abbia in input il numero N dei
nodi interni ad ogni lato, e in output la matrice di rigidità.
Costruzione della matrice
Costruisco la matrice di rigidità come matrice tridiagonale a blocchi
Se N è il numero di punti interni di ogni lato, allora la matrice A h è
una matrice N 2 per N 2, e i singoli blocchi sono N per N.
I blocchi I sono matrici identità N per N.
I blocchi G sono tridiagonali ed hanno la seguente struttura:
Inizio dai blocchi sulla diagonale principale. Siccome ogni
blocco occupa N righe, l’i-esimo blocco comincia alla riga:
inizio=(i-1)*n+1;
e finisce alla riga
fine=i*n;
function a=laplaciano(n)
% A=LAPLACIANO(N) calcola la matrice del laplaciano
% sul quadrato, con N nodi interni su ogni lato.
b=ones(n-1,1);
g=4*eye(n)-diag(b,-1)-diag(b,1);
% g contiene i blocchi sulla diagonale
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
a(inizio:fine, inizio:fine)=g;
end
% costruisce le due diagonali lontane
b=ones(n^2-n,1);
a=a -diag(b,n) -diag(b,-n);
Metodo FEM in 2D
A questo punto, posso creare una function che risolva il problema
agli elementi finiti della membrana elastica. Questa function deve:

Creare la matrice;
 Creare il vettore di carico (per ora considero
un carico uniforme)
 Risolvere il sistema lineare
Ottengo questo programma
function uquad=membrana_unif(n)
% UQUAD=membrana(N) trova la soluzione del
% problema della membrana elastica, sul
% quadrato unitario, con N
% nodi interni per lato, con un carico
% uniforme
h = 1/(n+1);
a=laplaciano(n);
b= -h^2*ones(n^2,1);
u=a\b;
…continua...
Attenzione!
Il vettore soluzione u è un unico vettore colonna con N2
componenti.
Per visualizzare la soluzione, devo riordinare i valori
contenuti nel vettore u distribuendoli su un array
bidimensionale
Visualizzare la soluzione

Trasformare il vettore soluzione u in un
array bidimensionale che dia la soluzione in
ogni punto del quadrato
 Aggiungere le condizioni al contorno.
 Fare un grafico con il comando mesh
Quindi la function membrana_unif deve contenere anche queste
istruzioni
% scrive u come array bidimensionale, a partire da (1,1)
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
uu(:,i)=u(inizio:fine);
end
% aggiunge le condizioni al bordo
uquad(2:n+1,2:n+1)=uu; % aggiunge la cornice
for i=1:n+2
uquad(n+2,i)=0;
uquad(i,n+2)=0;
end
Per eseguire questo programma e visualizzare i risultati, devo
dare i seguenti comandi:
>> uu=membrana_unif(9);
>> mesh(uu)
Ottengo la figura seguente:
Matlab stampa il grafico in funzione degli indici della matrice
Per avere le scale corrette sugli assi devo preparare dei vettori
che contengano le coordinate dei nodi:
>> x=linspace(0,1,21);
>> y=linspace(0,1,21);
>> mesh(x,y,u)
N.B.: ci sono 21
nodi per lato,
perché devo
considerare anche i
nodi sui bordi
Vorrei ora poter definire un carico più generale. Devo costruire
una funzione f(x,y), che mi dia i valori di f sul quadrato
>> f=inline('x.^2-y.^2');
>> x=linspace(-1,1,21);
>> y=linspace(-1:1,21);
Se pero’ora calcolo f(x,y) ottengo un vettore, perche’ Matlab
valuta f(x(i),y(i)), per i che va da 1 a length(x): quindi otterrei un
vettore con 21 componenti
Per ottenere la funzione sul quadrato devo dare i seguenti comandi
>> f=inline('x.^2-y.^2');
>> x=linspace(-1,1,21);
>> y=linspace(-1:1,21);
>> [xx,yy]=meshgrid(x,y);
>> fxy=f(xx,yy);
L’ istruzione meshgrid crea
la matrice xx e la matrice
yy che contengono le
ascisse e le ordinate di
ogni punto della griglia
Posso ora dare la funzione che calcola la deformazione della
membrana, con un carico assegnato
function uquad=membrana(f,n)
% UQUAD=membrana(N) trova la soluzione del
% problema della membrana elastica, sul
% quadrato unitario, con N
% nodi interni per lato, con un carico
% assegnato tramite la funzione f(x,y)
a=laplaciano(n); h=1/(n+1);
% Calcola il carico sui nodi interni del quadrato:
x=linspace(0+h,1-h,n);
y=linspace(0+h,1-h,n);
[xx,yy]=meshgrid(x,y);
fxy=feval(f,xx,yy);
Per impostare il sistema lineare, devo costruire il vettore dei
termini noti, impostando il carico come vettore colonna, e
moltiplicando per h 2
% Trasforma il carico come vettore colonna
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
b(inizio:fine)=h^2*fxy(i,:);
end
u=a\b';
Per visualizzare la soluzione devo procedere come prima,
trasformando u nella matrice uu, definita sul quadrato, e
aggiungendo le condizioni al bordo.
% scrive u come array bidimensionale, a partire da (2,2)
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
uu(:,i)=u(inizio:fine);
end
% aggiunge le condizioni al bordo
uquad(2:n+1,2:n+1)=uu; % aggiunge la cornice
for i=1:n+2
uquad(n+2,i)=0;
uquad(i,n+2)=0;
end
Ottengo questa figura, per 19 punti interni
Se ora desidero ottenere più dettagli, devo aumentare il
numero di nodi su ogni lato del quadrato.
Se però dò questo comando:
>> u=membrana(f,100);
pianto il computer (o almeno il mio PC va in crisi…)
Cercheremo prima di capire che cosa succede. Poi, nel capitolo
sui metodi iterativi, vedremo come è possibile migliorare le
prestazioni del nostro programma.
Esercizi
Calcolare il tempo di esecuzione del programma della
membrana per N=10, N=20, N=30, N=40, N=50. Con che
velocità aumenta il tempo di esecuzione, rispetto ad N? (Usare
polyfit per stimare l’andamento del tempo di calcolo)
Modificare il programma membrana.m, in modo da
assegnare condizioni al bordo di Neumann omogenee su uno
dei lati del quadrato
Problema di convezione diffusione
Vogliamo risolvere il problema:
Qui β e’ il vettore velocita’, che considereremo costante. Chiamo
(a,b) le componenti di β.
Nel seguito considereremo sempre un carico uniforme, f(x,y)=1.
Metodo agli elementi finiti
Se uso elementi finiti, con elementi P1 su una triangolazione
uniforme, ottengo una matrice con questa struttura:
Matrice di rigidità
Costruisco la matrice di rigidità come matrice tridiagonale a blocchi
Se N è il numero di punti interni di ogni lato, allora la matrice A h
è una matrice N 2 per N 2, e i singoli blocchi sono N per N.
I blocchi G sono tridiagonali ed hanno la seguente struttura:
dove:
I numeri di Peclet sono definiti dalle relazioni
e:
I blocchi B sono bidiagonali ed hanno la seguente struttura.
Sopra la diagonale principale i blocchi sono:
mentre sotto la diagonale principale abbiamo:
function mat_cd2d
function a=mat_cd2d(n,nu,beta)
% A=MAT_CD2D(N,NU,[A,B]) calcola la matrice FEM
% di convezione-diffusione sul quadrato,
% con N nodi interni su ogni lato.
% Nu e' la diffusione, BETA e' il vettore velocita'.
betax=beta(1); betay=beta(2);
h=1/(n+1); %ampiezza di griglia
pex=betax*h/(2*nu) %numero di Peclet lungo x
pey=betay*h/(2*nu) %numero di Peclet lungo y
pex=pex/3; pey=pey/3;
% blocco diagonale
b1=(-1+pex+2*pey)*ones(n-1,1);
b2=(-1-pex-2*pey)*ones(n-1,1);
g=4*eye(n)+diag(b2,-1)+diag(b1,1);
% g contiene i blocchi sulla diagonale
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
a(inizio:fine, inizio:fine)=g;
end
% costruisce le quattro diagonali lontane
b1=(-1+2*pex+pey)*ones(n^2-n,1);
b2=(-1-2*pex-pey)*ones(n^2-n,1);
a=a +diag(b1,n) +diag(b2,-n);
c=(pex-pey)*ones(n^2-n+1,1); c(1:n:n^2-n+1,1)=0;
a=a+diag(c,n-1)-diag(c,-n+1);
a=nu*a;
Struttura del programma
La function che calcola la soluzione del problema di
convezione-diffusione ha la seguente struttura

Costruisce la matrice di rigidità.
 Costruisce il vettore di carico.
 Risolve il sistema lineare.
 Memorizza la soluzione su una matrice per
permetterne la visualizzazione
FEM e Differenze Finite
Nel caso di carico uniforme e griglia uniforme, il
metodo FEM e il metodo alle differenze finite si
distinguono solo per la struttura diversa della matrice di
rigidità. Uso quindi lo stesso programma per provare
metodi diversi. In particolare:

FEM : utilizza elementi P1 agli elementi finiti.
 DIF : utilizza differenze finite centrate
 UPW : è basato su differenze finite upwind
 SUP : costruisce il metodo agli elementi finiti
SUPG stabilizzato
function membrana_cd
function uquad=membrana_cd(n,nu,beta,metodo)
% UQUAD=membrana(N) trova la soluzione del
% problema di convezione diffusione, sul
% quadrato unitario, con N nodi interni per
% lato, con un carico uniforme.
% METODO='FEM' (default) utilizza la matrice
%
degli elementi finiti
% METODO='DIF' utilizza la matrice alle
%
differenze finite centrali
if nargin < 4
metodo='FEM'
end
Scelta di default
Sceglie il metodo da applicare:
h = 1/(n+1);
if metodo=='FEM'
%Metodo FEM
a=mat_cd2d(n,nu,beta);
elseif metodo =='DIF'
%Metodo alle differenze finite
a=mat_cd2d_fd(n,nu,beta);
end
Risolve il sistema e memorizza la soluzione su un array bidimensionale
b=h^2*ones(n^2,1);
u=a\b;
% scrive u come array bidimensionale, a partire da (1,1)
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
uu(:,i)=u(inizio:fine);
end
Aggiunge le condizioni di Dirichlet omogenee al bordo:
% aggiunge le condizioni al bordo
uquad(2:n+1,2:n+1)=uu; % aggiunge la cornice
for i=1:n+2
uquad(n+2,i)=0;
uquad(i,n+2)=0;
end
script script_2dcd
Infine, uso questo script per lanciare il programma:
% Calcola la soluzione del problema di convezione
% diffusione e disegna la soluzione
% METODO='FEM' (default) utilizza la matrice
%
degli elementi finiti
% METODO='DIF' utilizza la matrice alle
%
differenze finite centrali
n=19; nu=0.05; beta=[-1,1];
metodo='FEM'
uquad=membrana_cd(n,nu,beta,metodo);
x=linspace(0,1,n+2);
y=linspace(0,1,n+2);
mesh(x,y,uquad)
Ottengo questo grafico:
Direzione del vento
Cambiando la direzione del vento:
Diminuendo nu aumenta la ripidità della soluzione nello strato limite
I numeri di
Peclet sono:
I dati sono:
n=19; nu=0.03; beta=[1,-1];
pex =
0.8333
pey =
-0.8333
Diminuendo nu ancora, la soluzione comincia ad oscillare:
Esercizi
Studiare il comportamento della soluzione in funzione del
numero di Peclet. La comparsa delle oscillazioni spurie dipende
dalla direzione del vento? Posso stabilire in base ad un unico
parametro Pe = Pe (Pex, Pey) se ci saranno oscillazioni spurie?
Studiare lo spessore dello strato limite in funzione di nu e di h,
con β=(-1,0), calcolando la larghezza della regione in cui la
soluzione varia dal suo valore massimo a zero.
Differenze Finite
I comandi:
n=19; nu=0.05; beta=[-1,1];
metodo=‘DIF'
lanciano la soluzione del problema di convezione-diffusione con
il metodo delle differenze finite centrate. Qualitativamente,
ottengo la stessa soluzione che avevo calcolato con gli stessi dati
ed il metodo FEM.
La matrice di convezione-diffusione alle differenze finite ha una
struttura diversa dalla matrice di rigidità degli elementi finiti:
Infatti i blocchi fuori dalla diagonale principale sono diagonali.
Matrice alle differenze finite
La matrice alle differenze finite ha la stessa struttura tridiagonale a
blocchi della matrice di rigidita’ agli elementi finiti:
I blocchi lungo la diagonale principale sono ancora tridiagonali:
Questa volta i coefficienti sono dati dalle seguenti formule:
I blocchi sopra e sotto la diagonale principale sono diagonali.
I blocchi sopra la diagonale principale sono:
I blocchi sotto la diagonale principale sono:
function mat_cd2d_fd
La function che crea la matrice per il metodo alle differenze finite è:
function a=mat_cd2d_fd(n,nu,beta)
% A=MAT_CD2D_FD(N,NU,[A,B]) calcola la matrice
% alle differenze finite
% di convezione-diffusione sul quadrato,
% con N nodi interni su ogni lato.
% Nu e' la diffusione beta e' il vettore velocita'.
betax=beta(1); betay=beta(2);
h=1/(n+1); %ampiezza di griglia
pex=betax*h/(2*nu) %numero di Peclet lungo x
pey=betay*h/(2*nu) %numero di Peclet lungo y
b1=(-1+pey)*ones(n-1,1);
b2=(-1-pey)*ones(n-1,1);
g=4*eye(n)+diag(b2,-1)+diag(b1,1);
% g contiene i blocchi sulla diagonale
for i=1:n
inizio=(i-1)*n+1;
fine=i*n;
a(inizio:fine, inizio:fine)=g;
end
% costruisce le due diagonali lontane
b1=(-1+pex)*ones(n^2-n,1);
b2=(-1-pex)*ones(n^2-n,1);
a=a +diag(b1,n) +diag(b2,-n);
a=nu*a;
Anche con le differenze finite centrate ottengo oscillazioni
spurie, se il numero di Peclet è troppo grande:
n=19; nu=0.01; beta=[-1,1];
Metodo Upwind
Quando  è molto piccolo rispetto a β, mi aspetto che il comportamento della soluzione del problema di convezione diffusione si
avvicinerà a quella del problema iperbolico con =0.
I metodi alle differenze finite per problemi iperbolici utilizzano
discretizzazioni upwind per la derivata prima. Infatti un metodo
basato sulla discretizzazione centrale risulta instabile.
Mi aspetto quindi di poter migliorare la soluzione scegliendo una
discretizzazione upwind della derivata prima anche per il
problema di convezione diffusione.
Matrice Upwind
La matrice alle differenze finite per il problema di convezionediffusione con metodo upwind ha la stessa struttura della
matrice alle differenze finite con differenze centrali
I blocchi sulla diagonale principale sono dati da:
Notare che rispetto alle differenze centrali è aumentato il peso della
diagonale principale. Qui (a,b) sono le componenti del vettore .
Inoltre:
I blocchi sulla sopradiagonale e sulla sottodiagonale sono dati
rispettivamente da:
Considero il problema:
n=19; nu=0.01; beta=[-1,1]
Soluzione alle differenze centrali
Soluzione Upwind
Con il metodo upwind, ottengo una soluzione stabile anche se
non c’è nessun punto di griglia all’interno dello strato limite.
n=19; nu=0.001; beta=[-1,1];
I due numeri di
Peclet valgono
circa 25.