Trattamento delle Osservazioni
Gli errori di misura
Y
A
X
B
Enrico Borgogno Mondino
[email protected]
Tel. Uff. 011-6705523
Quali problemi si pongono
1) Misure ripetute della stessa grandezza NON coincidono (es. Se ripeto la misura di un
angolo otterrò sempre misure leggermente diverse)  esiste UNA misura VERA non
conoscibile ed infinite STIME della MISURA VERA.
Y
Y
Le misure sono affette da errori:
A
X
B
1) Grossolani (A e B nel disegno)
 operatore
2) Sistematici
 strumento
3) Accidentali
 natura aleatoria del processo
di misura
Quale misura è quella vera?? Non si può
dire. Ciò che si può dire è quale sia la
miglior stima della misura vera.
X
Posso qualificare la mia misura definendone
il valore e la precisione che la caratterizza?
Quali problemi si pongono
2) Le misure reali non rispettano i criteri geometrici (es. La somma degli angoli interni di un
triangolo non è 180° )  misure che devono rispettare vincoli geometrici si dicono MISURE
DIRETTE CONDIZIONATE
C
b



A
     v
a
B
c
Come faccio a recuperare la
coerenza geometrica delle
osservazioni??
La STATISTICA come possibile
soluzione dei problemi
Gli errori GROSSOLANI sono evidenti e possono essere facilmente rimossi  sono, in
genere, errori dell’operatore (di distrazione)
Gli errori SISTEMATICI possono essere rimossi o minimizzati utilizzando accorgimenti
procedurali in fase di misura (regola di BESSEL per es.)  sono in genere errori connessi
alle modalità operative degli strumenti utilizzati (srettifiche)
Gli errori ACCIDENTALI non sono rimovibili  possono essere minimizzati e gestiti. Lo
strumento deputato a tale scopo è la STATISTICA.
L’approccio statistico consente di :
A) STIMARE il valore della MISURA
B) STIMARE il valore della precisione della MISURA
C) MINIMIZZARE e REDISTRIBUIRE gli errori rispettando i vincoli geometrici
(compensazione)
Che tipi di misure esistono?
c  a b
2

B=b
C=c


A=a
2
    
a
c

sin  sin 
MISURE DIRETTE  restituite dallo strumento (misuro con distanziometro a e b)
MISURE INDIRETTE  se derivate mediante formule a partire da misure dirette (ricavo c)
MISURE DIRETTE CONDIZIONATE  se devono soddisfare vincoli geometrici
MISURE INDIRETTE CON ESUBERANZA DI OSSERVAZIONI  ho più misure di quante ne
servono, che danno luogo a più equazioni per la derivazione della stessa grandezza
indiretta  risolvendole separatamente senza precauzioni il valore che ottengo per la
grandezza indiretta è diverso.
VARIABILE STATISTICA
TERMINOLOGIA:
- POPOLAZIONE: è un insieme FINITO di individui ognuno dei quali è caratterizzato da
un attributo X che può assumere valori diversi DISCRETI.
- INDIVIDUI: sono i soggetti dell’indagine statistica (es. persone umane)
- ATTRIBUTO: è una caratteristica discreta degli individui che viene analizzata
statisticamente (colore capelli, colore degli occhi …)
- VALORE ARGOMENTALE: è la misura dell’attributo
 X1 
X 
I  2
 ... 


X
 M
X 1  x1
x2 ... xN
La variabile statistica indica
come i valori argomentali si
distribuiscano fra gli individui di
una popolazione reale
VARIABILE STATISTICA
 x1

X 1  F1
f
 1
x2
... xN
F2 ... FN
f 2 ... f N
N
con
N
 F  N,  f
i 1
i
i 1
i
1
Intervallo argomentale [ Dx = xi+1-xi ]
Frequenza assoluta [ Fi ] : numero di individui con valore argomentale xi
Fi
N
aventi valore argomentale xi
Frequenza relativa
fi 
: percentuale di individui sul totale (N)
VARIABILE STATISTICA
Una variabile statistica può essere rappresentata graficamente da un
ISTOGRAMMA DI FREQUENZA (ASSOLUTA o RELATIVA):
A TORTA
30
184-189
19%
A BARRE
164-168
6%
25
179-183
26%
20
15
169-173
27%
10
5
174-178
22%
0
164-168
169-173
174-178
179-183
184-189
L’area dei rettangoli (o dei settori) definisce il numero di individui ricadenti
in ciascuna CLASSE (può includere anche più valori incrementali)
VARIABILE STATISTICA
Si definisce FUNZIONE CUMULATIVA DI FREQUENZA (relativa o cumulata)
O FUNZIONE DI DISTRIBUZIONE della variabile statistica C la seguente
doppia successione

 x1

F
C  g1  1
N

G  F
1
 1
x2
F  F2
g2  1
N
G2  F1  F2
...
xn
F  F2  ...  Fn
... g n  1
N
F  F2  ...  Fn
... G1  1
N
100
90
80
70
60
50
40
30
DIAGRAMMA CUMULATIVO DI
FREQUENZA (ASSOLUTA o RELATIVA)
20
10
0
164-168
169-173
174-178
179-183
184-189
VARIABILE STATISTICA
MODA: è quel valore argomentale per cui è massima la frequenza;
MEDIANA: è quel valore argomentale che divide l’istogramma in due aree uguali
MOMENTI
Si definisce momento k-esimo rispetto al polo q (tipicamente 0) di una variabile
statistica a una dimensione la seguente espressione:
n
mk ,q   xi  q  f i
k
i 1
I momenti più significativi che descrivono una variabile statistica sono i seguenti:
n
m1, 0   xi f i
i 1
Momento di I grado  MEDIA
n
m2, 0   xi2 f i
i 1
Momento di II grado  VALORE
QUADRATICO MEDIO
VARIABILE STATISTICA
Ad ogni variabile statistica ne è associabile una nuova detta variabile statistica
SCARTO (vi) così definita:
vi = xi - m1,0
la nuova variabile scarto V avrà lo stesso istogramma della variabile C ma
l’origine delle ascisse coinciderà con il valore della media m1,0 (media nulla).
Il momento di secondo grado della
variabile scarto è detto varianza [ 2 ]:
La radice quadrata della varianza viene
detta SCARTO QUADRATICO MEDIO
(s.q.m.) o DEVIAZIONE STANDARD
m2,m     xi  m1,0  f i   vi f i
n
2
x
i 1
  2
2
n
i 1
2
VARIABILE STATISTICA
ATTENZIONE!!
La media M è quel valore argomentale che rende minima la varianza 2.
La media M ha il significato effettivo di “valore centrale”, di indice di posizione dei
valori argomentali.
La varianza 2 è invece un indice di “dispersione” e risulta tanto maggiore quanto
più elevati sono gli scarti. Pertanto tale indice rispecchia la distribuzione dei valori
argomentali.
DALLA VARIABILE STATISTICA ALLA MISURA
L’operazione di misura costituisce un’ESTRAZIONE CASUALE di valori argomentali
da una popolazione IGNOTA.
L’ESTRAZIONE CASUALE è un evento ALEATORIO (o STOCASTICO) cioè per il quale
non è possibile prevedere l’esito.
L’ESTRAZIONE è CASUALE solo se gli individui della popolazione sono identici (non
riconoscibili)
UN’ESTRAZIONE CASUALE da una popolazione costituisce un CAMPIONAMENTO e
definisce una VARIABILE STATISTICA CAMPIONE (numero finito di individui)
x
X 1   1'
F 1
x2 ... xN
F ' 2 ... F ' N
E’ possibile dal CAMPIONE dedurre informazioni circa la popolazione dalla quale è
stato estratto?  è possibile da poche misure ripetute dedurre (STIMARE) la vera
misura?
DALLA VARIABILE STATISTICA ALLA MISURA
Legge EMPIRICA del CASO
Quando si effettua un numero N (grande a piacere) di estrazioni da una popolazione
e ogni volta si rimette l’individuo estratto nella popolazione, si constata che:
A) tutti i valori argomentali della popolazione sono stati estratti;
B) le frequenze relative della variabile statistica tendono a stabilizzarsi cioè:
F’i (del campione) Fi (della popolazione “possibile”)
Nel caso di fenomeni aleatori non è mai prevedibile la modalità di uscita di un
singolo evento, mentre si può quasi sempre ottenere una buona previsione di come
si distribuiranno i risultati di un grande numero di estrazioni.
Si può affermare che un fenomeno aleatorio sarà conosciuto quando sarà nota la
sua distribuzione.
DALLA VARIABILE STATISTICA ALLA MISURA
Legge EMPIRICA del CASO
La distribuzione “POSSIBILE” (non reale ma potenziale) che definisce un fenomeno
aleatorio viene chiamata VARIABILE CASUALE.
La distribuzione è POSSIBILE perché ne si immagina l’esistenza attraverso la
sperimentazione di successive estrazioni di variabili statistiche campione.
La VARIABILE CASUALE gode di tutte le proprietà della VARIABILE STATISTICA ma
le frequenze associate ai valori argomentali definiscono la PROBABILITA’ con la
quale quel VALORE INCREMENTALE può essere estratto.
 X1 X 2 X 3  X n
X
 p1 p2 p3  pn
n
p
i 1
i
1
La probabilità, legata alla variabile casuale, è un concetto aprioristico assiomatico
(PREVISIONALE), mentre la frequenza, legata alla variabile statistica, è un indice che
misura a posteriori i risultati di una indagine statistica (DESCRITTIVO).
LA MISURA DIRETTA DI UNA GRANDEZZA é UN
EVENTO ALEATORIO !!!
La ripetizione delle osservazioni di una stessa grandezza definisce una VARIABILE
STATISTICA CAMPIONE attraverso la quale si vuole avere informazioni circa la
POPOLAZIONE che rappresenta.
LA POPOLAZIONE cui il processo di misura fa riferimento definisce una
VARIABILE CASUALE (distribuzione) CONTINUA pertanto le definizioni
del caso discreto assumono forma differenziale e integrale (vedere
seguito).
Riassumendo
A) variabile statistica: solo discreta – costruita a posteriori da una popolazione
reale;
B) variabile casuale: discreta o continua – costruibile a priori da una popolazione
possibile.
VARIABILE CASUALE CONTINUA
CASO DISCRETO
i
F ( xi )  p( x  xi )   p j i  1,2,..., n
CASO CONTINUO
F ( x)  p( x  x0 ) 
j 1
p(x = xi) = pi
x0
 f ( x)dx
A
dp = f(x)dx
b
P(a  x  b)  F (b)  F (a)   f ( x)dx
a
B
 f ( x)dx  1
A
- La funzione y = f(x) è nota come densità di probabilità di X o funzione di frequenza.
- La funzione g = F(x) è nota come Funzione di Distribuzione (analogo della Frequenza
cumulata)
VARIABILE CASUALE CONTINUA
Momenti
La funzione y = f(x) densità di probabilità di X o funzione di frequenza definita per il
caso dell’evento aleatorio della MISURA si dimostra essere quella GAUSSIANA.
L’operazione di MISURA DIRETTA ripetuta è un campionamento dalla popolazione la
cui distribuzione (VARIABILE CASUALE) è quella GAUSSIANA (O NORMALE). Si
tratta di un modello matematico avente la seguente formulazione
 x  m 2

f x  
1
2 2
e
2 2
MISURA DIRETTA DI UNA GRANDEZZA
Eseguire una misura diretta di una grandezza significa confrontarla con l’unità
campione esprimendola come suoi multipli e sottomultipli.
f x  
1
2 2

e
 x  m 2
2 2
Misurare direttamente un grandezza vuol dire campionare (cerchi rossi) una
popolazione GAUSSIANA di MEDIA E DEVIAZIONE STANDARD da determinare sulla
base del campione estratto.
N.B.
A) E’ possibile operare campionamenti (gruppi di misure ripetute) diversi.
B) Benchè si riferiscano alla stessa popolazione ciascun campionamento definirà
una VARIABILE STATISTICA CAMPIONE diversa dall’altra  Media e S.q.m diversi
MISURA DIRETTA DI UNA GRANDEZZA
Quali valori di M e  utilizzo per descrivere la popolazione POSSIBILE??
Devo STIMARE quei particolari valori di M e  che risultano i più idonei secondo il
criterio della MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
Tale criterio stabilisce di definire M e  in modo tale che sia massimizzata la
PROBABILITÀ COMPOSTA di estrarre proprio le osservazioni compiute in fase di
campionamento. Tale probabilità vale:


P x1 , x2 ,      xn / m,  2  f  x1   f  x2      f  xn  

1
2 
P(x) risulta massimizzata se risulta minimo l’esponente di e : 
2 n/2
n
1
2
e
2
n
  xi  m 2
1
2
2
i 1
 x  m 
i 1
2
i
 min
Se la f(x) è una distribuzione GAUSSIANA, il principio di MASSIMA VEROSIMIGLIANZA
conduce al principio dei MINIMI QUADRATI e la diretta applicazione di questo principio
porta alla determinazione della stima più plausibile del parametro media
n
2


x

m
 min
 i
i 1
PROPRIETA’ degli STIMATORI
Si definiscono stimatori degli operatori matematici in grado di restituire le migliori stime dei
parametri della distribuzione GAUSSIANA incognita a partire da VARIABILI STATISTICHE
CAMPIONE (di cui conosciamo e possiamo calcolare tutto). Tali STIMATORI devono
produrre STIME:
1) CONSISTENTI : se al tendere all’infinito del numero N degli elementi del campione la
STIMA tende al suo valore teorico;
2) NON AFFETTI DA ERRORI SISTEMATICI: se la media della popolazione delle stime
coincide con la media della popolazione dalla quale vengono estratti i campioni;
3) EFFICIENTI: se rispetto a tutte le possibili stime del parametro, la popolazione cui
appartiene ha varianza minima.
m  h( x1, x2 ,..., xn )
 2  g ( x1, x2 ,..., xn )
POPOLAZIONI IN GIOCO NEL PROCESSO DI
STIMA
1) Esiste il CAMPIONE di MISURE DIRETTE con tutte le sue statistiche
2) Esiste una popolazione incognita da cui il campione è stato estratto e di cui stiamo
cercando le stime dei parametri che la definiscono
3) Esiste una popolazione delle medie dei campioni estratti (parametro 1)
4) Esiste una popolazione delle varianze dei campioni estratti (parametro 2)
3) E 4) esistono perché ogni n-pla di estrazioni che costituisce il campione definisce una
propria coppia di parametri simili ma non identici. Sono possibili infiniti campioni dai quali è
possibile derivare infiniti valori di media e varianza.
Si dimostra che le migliori stime di media e varianza secondo i criteri sopra esposti
sono:
La misura della grandezza si esprimerà come:
n
m
x
i 1
n
i
2
m  m
 x  m
n
m 
2
i 1
i
nn  1
Esempi
1° Esempio
Si è eseguita una misura di distanza tramite bindella da 20m e si sono
effettuate quattro serie di determinazioni. In tabella sono riportate le misure
effettuate e gli indici descrittivi che ne conseguono:
xi(m)
45.81
45.80
45.84
45.85
vi(mm)
-15
-25
+15
+25
n
v  0
m  45.82 m
i 1
n
m 

2
m

v
i 1
i
Vi2(mm2)
225
625
225
625
n
v
i 1
2
i
 1700
2
i
n  (n  1)
  141.667  11.9 mm
il risultato della misura è quindi:
45.82 m  11.9 mm
Esempi
2° Esempio
Se la medesima misura viene eseguita con l’uso di un distanziometro ad onde
elettromagnetiche e si effettuano nuovamente quattro determinazioni, si avranno i seguenti
indici descrittivi:
xi(m)
45.823
45.821
45.822
45.821
vi(mm)
+1.3
-0.7
+0.3
-0.7
n
 vi  0.2mm  0
m  45.821 m
i 1
n
 

2

v
i 1
Vi2(mm2)
1.69
0.49
0.09
0.49
n
v
i 1
2
i
 2.76
2
i
n  (n  1)
  0.23  0.48 mm
Il risultato della misura è quindi:
45821
. m  0.9mm
L’intervallo di variabilità in questo secondo caso è molto più ridotto, il  della bindella risulta
di un ordine superiore a quello del distanziometro.
Significato operativo dei parametri
DISTRIBUZIONE GAUSSIANA
f x  
1
2 2

e
 x  m 2
2 2
Significato operativo dei parametri
P(m    x  m   ) 
m 
 f ( x)dx  0.68
m 
P(m  2  x  m  2 ) 
m  2
 f ( x)dx  0.95
m  2
m  3
m  2
m 
P(m  3  x  m  3 ) 
m  3
 f ( x)dx  0.997
m 3
All’intervallo m   m è associato il concetto di
precisione della misura (68% delle
osservazioni).
All’intervallo m  2 m è associato il concetto di
affidabilità della misura (95% delle
osservazioni)
All’intervallo m  3 m è associato il concetto di
tolleranza della misura (99.7% delle oss.)
MISURA INDIRETTA DI UNA GRANDEZZA
(Stima della media)
Sia y la grandezza determinata in modo indiretto attraverso la misura diretta delle
grandezze X1, X2, .., Xk
y  f ( X 1 , X 2 ,.. X k )
Stima della MEDIA della misura indiretta della grandezza

X m  f X 1m , X 2 m ,..., X nm
Esempio
a
Si definisca la misura indiretta di a dopo aver misurato
in modo diretto b, , .
b  b  bm
C
b
sin 
sin 

b
    m
a

a  am   a m
     m

A

c
B
a
b
sin 
sin 
E’ la stima del valore medio della misura
indiretta di a
MISURA INDIRETTA DI UNA GRANDEZZA
Stima della VARIANZA: Legge di propagazione della varianza
2
2
2
 f 
 f 
 f 
   n2
   12  
   22  ...  
 X2  
 X 1 m
 X 2 m
 X n m
Stima della varianza di una grandezza misurata indirettamente attraverso misure
dirette NON CORRELATE fra loro
 f 
 f   f 
 f 
 f 
   ij
   n2  2 
  
   12  
   22  ...  
 X2  


i j  X i   X j 
 X 1 m
 X 2 m
 X n m
2
2
2
Stima della varianza di una grandezza misurata indirettamente attraverso misure
dirette CORRELATE fra loro
Tornando all’esempio precedente si tratta di calcolare le derivate parziali richieste:
 a   a   a 
  ;
 ;  

b

 m 
 m    m
MISURA INDIRETTA DI UNA GRANDEZZA CON
MISURE ESUBERANTI
Y
Vogliamo determinare le coordinate planimetriche X,Y di un
punto P visibile da due punti A e B di coordinate note (problema
di intersezione semplice in avanti); la soluzione del problema
avviene tramite la misura degli angoli azimutali in A e in B. In
questo modo però, qualsiasi errore nella misura dei due angoli
azimutali, provocherà un errore nella determinazione delle
coordinate del punto P senza alcuna possibilità di
accorgersene.
P

A

B
O
X
Se invece si esegue anche la misura del lato AP, avremo la
possibilità di individuare eventuali errori nella misure degli
angoli
In tal caso però andiamo in ridondanza di osservazioni, cioè
abbiamo più equazioni di quelle strettamente necessarie a
risolvere il problema
MISURA INDIRETTA DI UNA GRANDEZZA CON
MISURE ESUBERANTI
La situazione nella quale ci troviamo è analoga a quella di un sistema (che ipotizziamo lineare) in cui il n° di
equazioni > n° incognite
a1 X 1  b1 X 2  ...  u1 X r  L1
a X  b X  ...  u X  L
 2 1 2 2
2 r
2

..............................
an X 1  bn X 2  ...  un X r  Ln
= Termini noti
Xi = incognite
n>r
Nel sistema tutte le grandezze, dirette e indirette, sono indicate con i rispettivi valori teorici di media (Li). In
questo caso (mondo delle idee!!), del tutto teorico, una qualsiasi serie di r equazioni, scelte tra le n disponibili, è
in grado di fornire una soluzione che soddisfa anche le restanti n-r equazioni.
Nella realtà noi disponiamo solo delle stime delle grandezze misurate direttamente (Li) che partecipano al
sistema pertanto le equazioni sono soddisfatte a meno degli scarti. Il sistema diventa allora:
a1 X 1  b1 X 2  ...  u1 X r  L1  v1

a2 X 1  b2 X 2  ...  u2 X r  L 2  v2

..............................
a X  b X  ...  u X  L  v
n
n r
n
 n 1 n 2
La soluzione che andiamo cercando (stima delle grandezze
incognite Xi) tra tutte le possibili è quella che minimizza la
n
quantità
MINIMI QUADRATI
v 2  min

i 1
i
e per la quale sia massima la probabilità di estrarre proprio
quelle stime dalle rispettive popolazioni possibili.
MISURA INDIRETTA DI UNA GRANDEZZA CON
MISURE ESUBERANTI
Esempio1 : equazione della retta passante per l’origine
Esempio 2: equazione retta
Esempio 3: LIVELLAZIONE GEOMETRICA
MISURE DIRETTE DI DIVERSA PRECISIONE
(misura di una grandezza fatta con strumenti di diversa precisione)
Y
12
Il concetto di peso di una
misura: quanto conta nel
processo di stima
O1 m
22
X
mp 
i
i
p
i 1
On m
n
n
i 1
n
...............
X
mO
2
i
Media stimata
 p2 

2
0
n
p
i 1
X
Estrarre un individuo (O1) dalla distribuzione che ha
varianza 12 equivale ad estrarre p1 individui dalla
distribuzione di varianza 02 e farne poi la media.
Il peso assume il significato di fattore di
omogeneizzazione. Mediante i pesi tutte le distribuzioni
vengono riferite alla distribuzione 02 di peso unitario.
 02
 02
 02
 02
p1  2 , p 2  2 , p 3  2 ,, p i  2
1
2
3
i
 pO
n2
Y
Y
i
Deviazione standard
con
 02 
 p v
i 1
i
n 1
2
i