criteri di scelta tra investimenti
1. Operazione finanziaria:
(semplice o complessa)
(investimento, finanziamento, mista)
2. Generalità sui criteri di scelta:
(completezza)
(indice di preferenza)
3. Criteri di scelta:
Tempo di recupero
REA
TIR
Operazioni finanziarie
t0
t1
... tn

C0 C1
... Cn
una operazione finanziaria P può essere descritto da
una coppia di vettori
P = (C, t)
ove C è il vettore dei capitali e t il vettore delle
scadenze
ipotesi
• n > 1,
il progetto contiene almeno due capitali;
• s Cs  0,
si trascurano i capitali nulli e le rispettive
scadenze senza modificare l’operazione;
• Ch  Cs < 0 per almeno una coppia di tempi h e s,
il vettore C dei capitali non contiene solo costi o
solo ricavi.
Operazione finanziaria
• operazione semplice:
un costo seguito da un ricavo è un’operazione
d’investimento.
un ricavo iniziale seguito da un costo finale, si configura
come un’operazione di finanziamento.
•
Quando, in generale, i capitali e le scadenze che
caratterizzano il progetto sono più di due (operazione
complessa), non è altrettanto immediata la sua
classificazione nella categoria dei finanziamenti o degli
investimenti.
classificazione
• investimento (finanziamento) in senso stretto: se i costi
(ricavi) precedono temporalmente i ricavi (costi)
• investimento (finanziamento) in senso generale:
un’ operazione per la quale la scadenza media zc < zr
(zc > zr ) per ogni tasso i  0;
• investimento (finanziamento) in senso lato:
un’operazione per cui la scadenza media aritmetica dei
costi (ricavi) precede l’epoca del primo ricavo (costo);
classificazione
• saldo contabile tra costi e ricavi in t.
S (t )   Ch
h t
Investimento (finanziamento) puro se S(t) cambia
segno una sola volta, dal negativo (positivo) al positivo
(negativo).
altrimenti progetto misto.
Esempio
• Acquisto oggi un’obbligazione pagandola Euro 9,80 e
fra un anno riscuoto Euro 0,90 di interessi, altri Euro
0,90 dopo un anno, altri Euro 0,90 dopo un anno.
Unitamente agli ultimi Euro 0,90 mi viene rimborsata
l’obbligazione a Euro 10,20.
0
1
2
3
|
 9,80
0,90
0,90
0,90 + 10,20
I saldi contabili alle scadenze t = 0, 1, 2, 3 sono:
S(0) = – 9,80
S(1) = – 9,80 + 0,90 = – 8,90
S(2) = – 8,90 + 0,90 = – 8,00
S(3) = – 8,00 + 0,90 + 10,20 = + 3,10.
Operazioni finanziarie
• Devono essere:
• Complete devono avere la medesima struttura rispetto al capitale e
all’arco temporale.
• ammissibili cioè compatibili con la situazione economico finanziaria
del risparmiatore.
• indipendenti quando l’eventuale attuazione di ciascuna di esse non
ha alcuna influenza né sull’attuabilità, né sugli elementi che
descrivono ciascuno delle altre.
• alternative quando l’accettazione dell’una esclude l’accettazione
dell’altra.
Confronto tra progetti:
esborso diverso
–800
500
800
|||
0
1
2
Euro
A
–1.400
500
700
Euro
||| B
0
1
2
t
t
Esborso diverso:
In assenza di vincoli finanziari la scelta del progetto A comporterebbe
un risparmio di Euro 600 che dovremo decidere come impiegare.
In presenza di vincoli finanziari B non sarebbe realizzabile (oppure
prendere a prestito la differenza)
Investimenti integrativi
–600
600(1 + i)2 Euro
||| A'
0
1
2
t
+ 600
–600(1+i)2 Euro
||| B’
0
1
2
t
• A rappresenta l’investimento fruttifero
integrativo dell’eccedenza (600).
• B rappresenta il finanziamento oneroso per la
parte di capitale non disponibile (600).
Confronto tra progetti:
durata diversa
–1.500 500
900
Euro
||| P
0
1
2
t
–1500 1.200
Euro
|| Q
0
1
t
• si trascura l’effetto di investimenti alternativi che, durante il secondo
anno, si offrono all’investitore che decide di effettuare il progetto Q.
Indice di preferenza
•
La scelta tra progetti P consiste nel definire un criterio di scelta che
associ ad ogni P un numero I(P)  , detto indice di preferenza, o indice
di utilità.
•
Se I(A) > I(B), vorrà dire che il progetto A è preferito al progetto B e
scriveremo A  B, mentre I(B) > I(A) indica che il progetto B è preferito al
progetto A, ossia B  A.
•
Infine
B).
1.
l’equivalenza () tra due o più progetti è relazione riflessiva, simmetrica e
transitiva, ossia comunque scelti i progetti A, B e C:
 A  A;
 A  B  B  A;
 A  B, B  C  A  C
I(A) = I(B) vuol dire che i due progetti sono equivalenti (A 
Indice di preferenza
2.
la relazione di preferenza () tra due o più progetti
deve godere della proprietà
transitiva:
A  B, B  C  A  C
3.
C : A  B  (A + C)  (B + C)
4.
C : A  B  (A + C)  (B + C)
5.
A  B,  > 0  ( A)  ( B)
6.
A  B,  > 0  ( A)  ( B)
IL CRITERIO DEL PAY-BACK
• tempo di recupero del capitale, rappresenta il tempo
necessario affinché si possa recuperare integralmente il
capitale impiegato.
• è la scadenza più vicina tra quelle per le quali il
totale dei ricavi consente di recuperare i costi
sostenuti, cioè eguagliarli o superarli;
• Ovvero la prima scadenza alla quale si realizza una
inversione di segno nei saldi Sk del progetto
tp = 
min
k
tk C0  Sk  0, k = 0, 1,
2, ..., n

IL CRITERIO DEL PAY-BACK
  t p se P è un investimento
I ( P)  
se P è un finanziamento
t p
• tra più alternative di investimento si preferisce quella con tempo di
recupero minore
• tra più alternative di finanziamento si preferisce quella con tempo di
recupero maggiore.
• due alternative con il medesimo tempo di recupero sono ritenute
indifferenti (ma non necessariamente identiche).
IL CRITERIO DEL PAY-BACK :
pregi e difetti
• Non è indicatore reddituale, ma temporale:
esprime il grado di liquidità di un progetto.
• Limiti:
- non tiene conto della distribuzione temporale
dei costi e dei ricavi entro tp,
- trascura i ricavi e/o i costi successivi a tp.
• Pregi:
- semplicità
Esempio
CA =
 1.200 
 500 


 400 


500


 100 


100


,
CB =
PROGETTO A:
S0 = C0 = – 1.200
S1 = – 1.200 + 500 = – 700
S2 = – 700 + 400 = – 300
S3 = – 300 + 500 = 200
S4 = 200 + 100 = 300
S5 = 300 + 100 = 400
 1.200 
 200 


 200 


200


 400 


800


,
tA = tB =
0 
1 
2 
 3
4
 5 
PROGETTO B:
S0 = – 1.200
S1 = – 1.200 + 200 = – 1000
S2 = – 1000 + 200 = – 800
S3 = – 800 + 200 = – 600
S4 = – 600 + 400 = - 200
S5 = -200 + 800 = 600
il progetto A è preferito a B.
Il criterio del risultato economico
attualizzato (R.E.A.)
• Fissato un tasso di valutazione i, si dice Risultato
Economico Attualizzato (R. E.A.) di un’operazione
finanziaria il valore attuale dei suoi flussi di cassa.
n
I ( p)  V (i )   Ck (1  i )  k
k 0
 tra più alternative d’investimento si preferisce
quella che presenta un R.E.A. maggiore, così come
tra più alternative di finanziamento si preferisce
quella con R.E.A. maggiore;
Il criterio del risultato economico
attualizzato (R.E.A.)
 se due alternative hanno il medesimo R.E.A. esse sono
ritenute indifferenti (ma non necessariamente identiche).
• Il R.E.A è un operatore lineare:
R.E.A.(A + B) = R.E.A.(A) + R.E.A.(B),
R.E.A.(A) =  R.E.A.(A)
con  numero reale qualunque.
esempio
CA =
 1.000
 300 


 500 


300


 400 
tA= tB
0 
1 
 
= 2
 
3
 4 
CB =
 1.000
 200 


 300 


300


 500 
Calcoliamo il R.E.A. dei due progetti con legge esponenziale al tasso
periodale del 7%:
•
VA(0,07) = – 1.000 + 300(1 + 0,07)– 1 + 500(1 + 0,07)– 2 +
+ 300(1 + 0,07)– 3 + 400(1 + 0,07) – 4 = 267,141
.
•
VB(0,07) = – 1.000 + 200(1 + 0,07)– 1 + 300(1 + 0,07)– 2 +
+ 300(1 + 0,07)– 3 + 500(1 + 0,07)– 4 = 75,2845
•
L’operazione A è preferita all’operazione B in quanto dotata di un R.E.A.
maggiore.
Pregi e difetti
• Il R.E.A. fornisce un criterio soggettivo, in quanto
dipendente dalla scelta del tasso i
•
utilizzando tassi diversi si giunge a risultati diversi.
• per un investimento il tasso di valutazione è quello al
quale si possono effettuare i reimpieghi
• per un finanziamento, il tasso i è quello che regola la
provvista di fondi assorbiti dal progetto
• grande variabilità tra i diversi operatori.
Proprietà funzione REA
n
V (i )   Ck (1  i )  k .
k 0
•
se il tasso di valutazione è nullo, il R.E.A. di un progetto è la somma delle
poste;
n
V (0)   Ck
k 0
• se il tasso di valutazione tende a +  il R.E.A. di un progetto tende
al valore della prima posta.
lim
i  
V (i )  C0
• asintoto orizzontale di equazione y = C0.
Confronto tra progetti non completi
• utilizzando il R.E.A. ha senso anche il confronto tra
investimenti non completi, purché le operazioni
integrative siano fatte allo stesso tasso con il quale si
opera la valutazione.
• Infatti, si debbano confrontare, in base al criterio del
R.E.A., i progetti P e P, dopo averli integrati
rispettivamente con le operazioni Q e Q condotte allo
stesso tasso scelto per le valutazioni.
R.E.A.(Q) = R.E.A.(Q) = 0
in virtù della proprietà di linearità del R.E.A., si ha:
R.E.A.(P+Q) = R.E.A.(P) + R.E.A.(Q) = R.E.A.(P)
R.E.A.(P+Q) = R.E.A.(P) + R.E.A.(Q) = R.E.A.(P).
Il criterio del tasso interno di
rendimento (T.I.R)
• Data un’operazione finanziaria si dice Tasso Interno di Rendimento
(T.I.R.) dell’operazione stessa quel tasso di valutazione i in
corrispondenza del quale il valore attuale dei suoi flussi di cassa si
annulla.
• Indicando con Ck gli importi delle poste non tutti uguali a 0, con tk le
relative scadenze (k = 0, 1, ..., n), la funzione che esprime il R.E.A.
dell’operazione sarà
n
V (i )   Ck g (t k )
k 0
•Il T.I.R. di un’operazione è quel tasso, se esiste, che rende equa
l’operazione, ossia quel tasso per il quale V(i) = 0.
T.I.R.
 i * se P è un investimento
I ( P)   *
se P è un finanziamento
 i
• investimento si preferisce quella che presenta un T.I.R.
maggiore,
• finanziamento si preferisce quella con T.I.R.
minore(T.I.C. (tasso interno di costo));
• T.I.R. uguale: alternative indifferenti (ma non
necessariamente identiche).
Proprietà T.I.R.
• T.I.R (– A) = T.I.R(A)
• T.I.R(A) = T.I.R(A)
  0.
•Qualora si operi nel regime dell’interesse composto, il
R.E.A. dell’operazione al tasso i è:
n
V (i )   C k (1  i )  k
k 0
Limitiamoci ora al caso prima posta negativa, successive
positive:
n
V (i )  C0   Ck (1  i )  k
k 1
Grafico funzione di REA
REA
SCk-C0
i*
-C0
i
Esistenza e unicità del T.I.R.
• La determinazione del tasso interno di rendimento di
un’operazione finanziaria è legato alla soluzione
dell’equazione V(i) = 0.
• Esistenza e unicità non garantite: la risoluzione di tale
equazione infatti può condurre all’individuazione di:
 nessuna radice
 una radice
 più radici.
• Di queste non tutte possiedono un significato finanziario,
pertanto sarà compito dell’utilizzatore verificare
l’accettabilità dei risultati, in particolare la loro
compatibilità con le reali situazioni di mercato.
Esempio
1.500
100
2000
|||
0
1
2
t
Euro
• V (i*) = – 1.500 + 100 (1 +i )–1 + 2000 (1 + i )– 2 = 0
t
1
1 i
*
1
 0,89
*
(1  i )
1
 0,84
*
(1  i )
20 t 2  t  15  0
i *  150%
i*  19%
t1  0,84


t   0,89
2
Non accettabile
accettabile
Esempio 2
CA =
 100
 80 


  40 
,
0 
tA= 1 
 
 2 
80
40
VA(i)   100 

1  i  1  i 2
• è minore di zero per ogni tasso di valutazione i.
Quindi non esiste alcun i tale che VA(i) = 0.
Esempio 3
Flussi di
• Si verifica che
VB(i) = 0 per i= 8,78%
e i= 26,75%, entrambi
finanziariamente
accettabili.
Anni
cassa
0
-145
1
100
2
100
3
100
4
100
5
-275
Teorema di Levi
• Data un’operazione finanziaria che dà luogo ad uscite Us
alle scadenze ts (s = 1, 2, ..., m), numerate in ordine
crescente, e alle entrate Ek alle scadenze k (k = 1, 2, ...,
n), numerate in ordine crescente, e tale che la somma
delle entrate supera quella delle uscite,
n
m
k 1
s 1
 Ek  U s
condizione sufficiente (ma non necessaria) di
esistenza ed unicità del T.I.R. è che la scadenza
media aritmetica delle uscite preceda la scadenza
della prima entrata.
esempio
1.500 1.000 1.000 3.000 600
Euro
|||||
0
1
2
3
4
t
t1  U1  t 2  U 2
t (U ) =
U1  U 2
*

0  (1.500) + 2  (1.000)
 0,8.
(1.500)  (1.000)
• 0,8< 1: la condizione posta dal Teorema di
Levi è soddisfatta T.I.R.=38,24%.
Condiz. suff ma non necessaria!
0
1
2
3
-1500
1000
-2000
3000
t1  U1  t 2  U 2 0  (1.500) + 2  (2.000)

 1,14.
t (U ) =
(1.500)  (2.000)
U1  U 2
*
• 1,14 > 1: la condizione posta dal Teorema
di Levi non è soddisfatta ma
T.I.R.=19,20%.
Teorema di Norstrom
• Condizione sufficiente:
Indicando con S(t) il saldo in t di un’operazione
finanziaria, se S(0) < 0 e se S cambia segno una
sola volta, allora esiste un solo tasso i > 0 per il
quale V(i) = 0.
esempio
0
-1500
1
1000
2
-2000
3
3000
4
600
S(0) = - 1.500,
S(1) = - 500,
S(2) = - 2.500,
S(3) = + 500,
S(4) = + 1.100
• Poiché i saldi di cassa S(t) presentano un’unica
inversione di segno, il Teorema di Norstrom garantisce
che esiste un unico T.I.R. positivo.
Condizione sufficiente
• In particolare, una condizione sufficiente
che garantisce l’unicità del T.I.R. è che
l’ultima scadenza delle uscite preceda la
prima scadenza delle entrate.
esempio
• Acquisto alla pari titolo a cedola fissa,
tasso cedolare i:
0
-C
1
2
3
n
iC iC
iC
iC+C
• TIR = tasso cedolare i.
• E se fosse stato acquistato sopra o sotto la pari?
esercizi
• ACD: cap. 10 es.10.1, 10.2, 10.3,
10.6 punto a), 10.7 punto a), 10.8, 10.9,
10.11 punto a).
• BC: cap. 4 es. 1, 3 punto i), 4, 5, 6, 8, 9,
10.