Giochi dinamici:
prima e seconda mossa
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
1
Introduzione
Spesso le imprese competono in sequenza
– un’impresa fa una mossa
•
•
un nuovo prodotto
una campagna pubblicitaria
– la seconda impresa osserva questa mossa e poi risponde
Questi sono giochi dinamici
– possono creare un vantaggio della prima mossa
– o possono un vantaggio della seconda mossa
– possono anche consentire al leader di prevenire altri ingressi sul
mercato
Possono generare equilibri molto differenti dai giochi di scelta
simultanea
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
2
Stackelberg
Pensate prima in termini di Cournot
Le imprese scelgono la quantità sequenzialmente
– il leader sceglie la sua quantità per primo, in modo osservabile
– il follower osserva e sceglie la propria quantità
Il first mover ha un vantaggio
– può anticipare le azioni del follower
– può perciò “manipolare” il follower
Affinché sia davvero così, il leader deve vincolarsi credibilmente
alla propria scelta di output
L’impegno strategico ha un valore importante
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
3
L’equilibrio di Stackelberg
Assumete ci siano due imprese con beni identici
Come nell’esempio con Cournot, la domanda è:
P = A – BQ = A – B(q1 + q2)
I costi marginali per ciascuna impresa sono c
L’impresa 1 è leader e sceglie la quantità q1
Così facendo può anticipare le azioni dell’impresa 2
Considerate l’impresa 2: la sua domanda residuale è
P = (A – Bq1) – Bq2
e i suoi ricavi marginali sono perciò
R’2 = (A - Bq1) – 2Bq2
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
4
L’equilibrio di Stackelberg (2)
Uguagliate
R2’ = (A - Bq1) – 2Bq2
C’ = c
i ricavi marginali
Questa
è la funzione
q2
 q2* = (A - c)/2B - q1/2
ai costi
marginali
L’impresa
1
sa
che questa2
Dal precedente esempio sappiamo
di reazione dell’impresa
è la
questo èdell’impresa
l’output di monopolio.
1 funzione di reazione
La che
domanda
1 è Ma l’impresa
dell’impresa
2 alle scelte
Questo è un aspetto importante:
sa quanto sarà
q2
P = (A
- Bq2) – Bq1
L’impresa
di output
di 1 1 può
il leader in Stackelberg sceglie lo stesso
Poutput
= (Adi- Bq
2*) – Bq1 ma l’impresa 2
anticipare la reazione
un monopolista,
(A – c)/2B
P = (A
– Bqdal
1/2mercato
dell’impresa 2
non- è(A-c)/2)
tagliata fuori
 P = (A + c)/2 – Bq1/2
Ricavi marginali impresa 1:
R’1 = (A + c)/2 - Bq1
(A + c)/2 – Bq1 = c
(A – c)/4B
S
Uguagliate
i ricavi
marginali
Risolvete
per q1
ai costi marginali
(A – c)/2
R2
(A – c)/B
q1
 q1* = (A – c)/2
 q2* = (A – c)4B
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
5
L’equilibrio di Stackelberg (3)
La funzione di reazione
dell’impresa 1 è “come”
quella dell’impresa 2
L’output aggregato è
3(A-c)/4B
q2
(A-c)/B
Il prezzo di equilibrio èLa leadership dà R
1
benefici
(A+3c)/4
Profitti impresa 1
(A-c)2/8B
al leader impresa 1,
ma danneggia
l’impresa
follower 2
(A-c)/2B
Profitti impresa 2
C
(A-c)/3B
(A-c)2/16B
(A-c)/4B
Sappiamo che l’equilibrio
di Cournot sia
q1C = q2C = (A-c)/3B
Prezzo in Cournot
Profitti di ciascuna impresa
Confrontate
con l’equilibrio
di Cournot
S
Con Leadership iR
2
consumatori traggono
q1
benefici,
ma si riducono
(A-c)/3B (A-c)/2B
(A-c)/ B
i profitti aggregati
(A+c)/3
(A-c)2/9B
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
6
Stackelberg e l’impegno credibile
E’ fondamentale che il leader si impegni in maniera credibile a
produrre la propria scelta di output
– senza tale impegno, l’impresa 2 ignorerebbe qualunque intento
espresso dell’impresa 1 sulla produzione di (A – c)/2B unità
– l’unico equilibrio sarebbe l’equilibrio di Cournot
Come impegnarsi in maniera credibile?
– costruendosi una reputazione
– investendo in capacità addizionale
– immettendo sul mercato la quantità dichiarata
Dato tale impegno, ciò che conta è la tempistica di scelta
Ma essere first mover è sempre vantaggioso?
Considerate la competizione sui prezzi
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
7
Stackelberg e la concorrenza di prezzo
Con concorrenza sui prezzi la faccenda è molto diversa
Il first-mover non ha alcun vantaggio:
– supponete prodotti identici
•
•
•
•
il first-mover si impegna a vendere ad un prezzo superiore a C’
il follower abbasserà leggermente i prezzi e prenderà l’intero mercato
l’unico equilibrio è P = C’
identico al gioco simultaneo
– ora supponete prodotti differenziati
•
•
•
•
come nel modello spaziale
assumete esistano due imprese come nel capitolo 9, ma ora l’impresa
1 può stabilire il prezzo per prima (vincolandosi a tale prezzo)
conosciamo le funzioni di domanda delle due imprese
e conosciamo la funzione di reazione dell’impresa 2
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
8
Stackelberg e la concorrenza di prezzo (2)
Domanda impresa 1
Domanda impresa 2
Funzione di reazione impresa 2
D1(p1, p2) = N(p2 – p1 + t)/2t
D2(p1, p2) = N(p1 – p2 + t)/2t
p*2 = (p1 + c + t)/2
L’impresa 1 conosce la funzione di reazione dell’impresa 2 e perciò
la domanda di 1 è
D1(p1, p2*) = N(p2* – p1 + t)/2t = N(c +3t – p1)/4t
Profitti impresa 1
π1 = N(p1 – c)(c + 3t – p1)/4t
Derivate rispetto a p1
π1/p1 = N(c + 3t – p1 – p1 + c)/4t
= N(2c + 3t – 2p1)/4t
Risolvendo ottenete
p1* = c + 3t/2
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
9
Stackelberg e la concorrenza di prezzo (3)
p1* = c + 3t/2
Sostituite nella funzione di reazione dell’impresa 2
p2* = (p1* + c + t)/2 
p2* = c + 5t/4
I prezzi sono maggiori che nel gioco simultaneo
p* = c + t
L’impresa 1 ha un prezzo maggiore rispetto all’impresa 2 e perciò
ha anche una minor quota di mercato:
c + 3t/2 + txm = c + 5t/4 + t(1 – xm) 
xm = 3/8
Profitti impresa 1:
Profitti impresa 2:
π1 = 18Nt/32
π2 = 25Nt/32
La competizione di prezzo avvantaggia il second-mover
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
10
Giochi dinamici e credibilità
I giochi dinamici visti prima richiedono che le imprese si muovano
in sequenza:
– che possano impegnarsi a perseguire le proprie scelte
•
•
ciò è ragionevole quando si tratta di quantità
è molto meno scontato quando si tratta di prezzi
– in assenza di un impegno credibile la soluzione dei giochi dinamici
diventa assai differente
•
•
il leader in Cournot può non produrre l’output dichiarato
il first-mover in Bertrand può non mantenere il prezzo dichiarato
Considerate un gioco di entrata in un mercato:
l’entrata di concorrenti può essere prevenuta dal first-mover?
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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Credibilità e predazione
Prendete un semplice esempio
– due imprese: Megasoft (incumbent) e Novasoft (entrante)
– Novasoft sceglie per prima
•
entrare o rimaner fuori dal mercato di Megasoft
– Poi sceglie Megasoft
•
ostacolare l’entrata o accettare
La matrice dei pay-off è come segue:
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
12
Un esempio di predazione
Qual è l’equilibrio
di questo gioco?
Matrice dei pay-off Ma
(Entrare, Ostacolare)
è credible?
Megasoft
Pare esistano
due equilibri per
questo gioco
Entrare
Ostacolare
(Entrare, Ostacolare)
Accettare
non è un equilibrio
(0, 0)
(2, 2)
Restare
(1, 5)
(Restare
fuorifuori, Accettare)
(1, 5)
Novasoft
non è un equilibrio
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
13
Credibilità e predazione (2)
Le opzioni elencate sono strategie e non azioni
L’opzione di Megasoft di Ostacolare non è un’azione è una
strategia
– Megasoft ostacolerà l’entrata solo se Novasoft entra, ma altrimenti
non agisce aggressivamente
Analogamente Accettare è una strategia
– definisce le azioni in relazione alla scelta strategica di Novasoft
Le azioni implicite in una particolare strategia sono credibili?
– La promessa di Ostacolare se Novasoft entra è plausibile?
– Se non lo è, allora l’equilibrio associato è molto sospetto
La rappresentazione in forma di matrice ignora il tempo
– rappresentate il gioco nella sua forma estesa per mettere in evidenza
la sequenza delle mosse
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
14
Ancora il nostro esempio
Ostacolare
viene eliminata
E se Novasoft
entra?
(0,0)
(0,0)
Ostacolare
Ostacolare
Megasoft sta
meglio accettando
(2,2)
Entrare
Entrare
Accettare
M2
(2,2)
Novasoft
N1
Restare
fuori
Entrare, Accettare
l’unico equilibrio
per questo gioco
è
(1,5)
Novasoft sceglierà di
entrare dato che Megasoft
accetterà l’entrata
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
15
Il paradosso della catena di negozi
E se Megasoft fosse presente in più di un mercato?
– minacciare su un mercato potrebbe influenzare gli altri
Ma emerge il paradosso della catena di negozi di Selten:
– esiste una sequenza di 20 mercati
– Megasoft sceglierà “ostacolare” nei primi mercati per prevenire
l’entrata nei successivi mercati? No: questo è il paradosso
•
•
•
•
Supponete Megasoft scelga “ostacolare” nei primi 19 mercati,
sceglierà “ostacolare” anche per il ventesimo mercato?
Con un solo mercato rimanente, siamo nella situazione di prima:
“Entrare, Accettare” è l’unico equilibrio
Ostacolare l’ingresso sul ventesimo mercato non aiuterà a prevenire
l’entrata su altri mercati…Non ce ne sono altri!!
Perciò, “Ostacolare” non può essere scelta per il ventesimo mercato
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
16
Il paradosso della catena di negozi (2)
Ora considerate il 19° mercato
– L’equilibrio sarà “Entrare, Accettare”
– L’unico motivo per scegliere “Ostacolare” sul 19° mercato è di
costruirsi una reputazione di impresa spietata per convincere i
potenziali entranti del 20° mercato a non entrare
– Ma Megasoft non sceglierà “Ostacolare” nel 20° mercato
– Perciò “Entrare, Accettare” diventa l’unico equilibrio anche per
questo mercato
E il 18° mercato?
– “Ostacolare” per dissuadere gli entranti del 19° e 20° mercato
– Ma la minaccia di “Ostacolare” non è credibile
– “Entrare, Accettare” è ancora l’unico equilibrio
Andando a ritroso, osserviamo che Megasoft non ostacolerà
l’entrata su alcun mercato
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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Esercizi
Esercizio 1
Si consideri un gioco di Stackelberg di concorrenza sulla quantità
fra 2 imprese. L’impresa 1 è il leader, la 2 il follower. La
domanda di mercato è P = 1000-4Q. Ciascuna impresa ha un
costo unitario costante pari a 20.
a) Trovate l’equilibrio di Nash
b) Si supponga che il costo unitario produzione impresa 2 sia
c<20. Quale valore dovrebbe avere c perché nell’equilibrio di
Nash le 2 imprese abbiano la stessa quota di mercato?
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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Esercizi (2)
Risoluzione Esercizio 1
a) L’impresa 2 sceglie la sua quantità per massimizzare i profitti
Ora l’impresa 1 sceglie l’output per massimizzare i propri profitti
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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Esercizi (3)
Risoluzione Esercizio 1
b) Non esiste un c non negativo tale per cui leader e follower hanno le
stesse quote di mercato.
Per vedere il perché, considerate c = 0.
In questo caso la quantità prodotta dal leader è 120, mentre la
quantità del follower è inferiore a 120.
Al crescere di c, la quota di mercato del leader cresce mentre quella
del follower diminuisce.
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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Esercizi (4)
Esercizio 2
Cittadina di Tavullia, abitanti 1000 uniformemente distribuiti lungo la via
centrale lunga 10 Km.
Ogni cittadino acquista ogni giorno un frullato di frutta, usando uno
scooter per spostarsi (andata e ritorno) con un costo di 0,50 di
benzina per Km. Gianni possiede il negozio dell’estremità
occidentale e Oscar il negozio dell’estremitò orientale. Costo
marginale 1 frullato è di 1€ per negozio. Inoltre ciascuno di essi paga
una tassa di 250€ al giorno.
a) Gianni fissa il suo prezzo P1 per primo e poi Oscar fissa il suo a P2.
Dopo che i prezzi sono stati fissati, quali prezzi stabiliranno i 2
negozi?
b) Quanti clienti servirà ciascun negozio e quali saranno i 2 profitti?
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
21
Esercizi (5)
Risoluzione Esercizio 2
a) Definiamo p1 il prezzo praticato da Gianni e p2 il prezzo praticato da
Oscar.
Sia x la posizione di un consumatore indifferente tra raggiungere
Gianni o Oscar.
Ne segue che
Di conseguenza, la domanda affrontata da Gianni è
Dunque, i profitti di Gianni sono dati da
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
22
Esercizi (6)
Risoluzione Esercizio 2
Mentre i profitti di Oscar sono
Dato che Oscar è il follower, per prima cosa massimizziamo π2
rispetto a p2 per ricavare la funzione di reazione di Oscar.
Ora, sostituiamo la funzione di reazione di Oscar nella funzione di
profitto di Gianni e otteniamo
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
23
Esercizi (7)
Risoluzione Esercizio 2
Massimizziamo ora π1 rispetto a p1
Ora, dalla funzione di reazione di Oscar, otteniamo
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
24
Esercizi (8)
Risoluzione Esercizio 2
b)
Perciò, Gianni servirà una quota di mercato pari a
Mentre Oscar avrà una quota di mercato pari a
I profitti di Gianni sono
375(16 – 1) – 250 = 5375
I profitti di Oscar sono
625(13,5 – 1) – 250 = 7562,5
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
25
Esercizi (9)
Esercizio 4
Una impresa ha 2 fornitori di acqua. Uno di essi è Norda che offre acqua limpida
ma non effervescente. L’altro è Pellegrino che offre acqua effervescente ma
con dei residui. Il settore marketing ha sintetizzato la seguente matrice dei
profitti sulla base dei prezzi per un contenitore da 8 litri.
a) Quale equilibrio di Nash se le 2 imprese stabiliscono il prezzo
simultaneamente?
b) Quale equilibrio se la Norda stabilisce il prezzo per prima e la Pellegrino
risponde al meglio?
c) Dimostrare che la scelta del prezzo per primo è uno svantaggio per la Norda
Prezzo della Norda
Prezzo
della
Pellegrino
3
4
5
6
3
24,24
30,25
36,20
42.12
4
25,30
32,32
41,30
48,24
5
20,36
30,41
40,40
50,36
6
12,42
24,48
36,50
48,48
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26
Esercizi (10)
Risoluzione Esercizio 4
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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Esercizi (11)
Risoluzione Esercizio 4
a)
In questo caso possiamo utilizzare la funzione di reazione della
Pellegrino per trovare la scelta ottimale.
Chiamiamo la funzione di reazione della Pellegrino
P (___Scelta di Norda).
P (___3) = 4
P (___4) = 4
P (___5) = 4
P (___6) = 5
dato che 25 è la prima cifra nelle parentesi più
elevata della colonna 1.
dato che 32 è la prima cifra nelle parentesi più
elevata della colonna 2.
dato che 41 è la prima cifra nelle parentesi più
elevata della colonna 3.
dato che 50 è la prima cifra nelle parentesi più
elevata della colonna 4.
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
28
Esercizi (12)
Risoluzione Esercizio 4
Ora considerate la funzione di reazione della Norda
N (3___) = 4
N (4___) = 4
N (5___) = 4
N (6___) = 5
dato che 25 è la seconda cifra nelle parentesi più
elevata della riga 1.
dato che 32 è la seconda cifra nelle parentesi più
elevata della riga 1.
dato che 41 è la seconda cifra nelle parentesi più
elevata della riga 1.
dato che 50 è la seconda cifra nelle parentesi più
elevata della riga 1.
L’equilibrio di Nash è ovviamente dove
N (4___) = 4
e S (___4) = 4
e cioè il punto (4,4).
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
29
Esercizi (13)
Risoluzione Esercizio 4
b) Se Norda dovesse scegliere per prima e fosse consapevole del
fatto che Pellegrino è second mover allora la funzione di Payoff di
Norda dipende dalla funzione di reazione della Pellegrino.
I payoff di Norda sono i seguenti
PayoffN(N=3)
PayoffN(N=4)
PayoffN(N=5)
PayoffN(N=6)
= PayoffN(P(___3)) =
= PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30.
= PayoffN(P(___4)) =
= PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 32.
= PayoffN(P(___5)) =
= PayoffN quando Pellegrino sceglie 4, ovvero 30.
= PayoffN(P(___6)) =
= PayoffN quando Pellegrino sceglie 5, ovvero 36.
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
30
Esercizi (14)
Risoluzione Esercizio 4
L’equilibrio è ora al punto (5,6) dove Norda sceglie per prima 6.
Entrambe le imprese stanno meglio in questo gioco perché, appena
Norda sceglie 6 e non può tornare indietro, la miglior risposta della
Pellegrino è 5. Se ora la Norda potesse cambiare scelta, allora
tornerebbe indietro e passerebbe a 4, ma a questo punto la Pellegrino
cambierebbe andando a 4 tornando così all’equilibrio di Cournot.
c) Norda non ricava alcun beneficio dall’essere first mover.
In un gioco sui prezzi, l’impresa che muove per prima è “un bersaglio
fermo” per l’impresa che muove seconda.
Entrambe stanno meglio che nella scelta simultanea, ma il second
mover è quello che ricava il maggior beneficio.
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
31
Esercizi (15)
Esercizio 7
La EosTech ha un monopolio per la produzione di attrezzi. La
domanda è:
a un prezzo di 10.000€ al pezzo => 25.000 unità
a un prezzo di 600€ al pezzo
=> 30.000 unità
Gli unici costi sono i costi iniziali di produzione irrecuperabili di
costruzione di un impianto. La EosTech ha investito per portare la
produzione a 25.000 unità.
a) Un potenziale concorrente di questa industria è in grado di
appropriarsi del 50% del mercato investendo 10.000.000€. Tale
impresa entrerebbe nel mercato? Perché?
b) Se la EosTech potesse investire 5.000.000€ per arrivare a 40.000
unità, tale strategia sarebbe efficace e redditizia per scoraggiare
l’entrata dell’altra impresa?
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
32
Esercizi (15)
Risoluzione Esercizio 7
a)
La funzione di domanda inversa è
P = 3.000 – 0,08Q
Con C’ = 0 l’esito di monopolio per la EosTech è
P = € 1.500
Q = 18.750
Profitti = € 28.125.000.
Interpretiamo l’affermazione che il concorrente può appropriarsi del
50% del mercato nel senso che può competere in un duopolio
simmetrico sulle quantità.
In questo caso, l’equilibrio post-entrata è
P = € 1.000
Q = 25.000
Ciascuna impresa produce qi = 12.500 unità e ottiene un risultato
operativo pari a € 12.500.000. Dato che il costo di entrata è pari a €
10.000.000, l’entrata è profittevole.
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
33
Esercizi (15)
Risoluzione Esercizio 7
b)
I profitti della EosTech scendono da € 28.125.000 a € 12.500.000,
ossia subiscono una riduzione di € 15.625.000.
Se spendendo € 5.000.000 EosTech potesse scoraggiare l’entrata
della rivale ed evitare la perdita di € 15.625.000, sicuramente
sarebbe un ottimo investimento.
Tuttavia, non è affatto evidente che l’acquisto di capacità produttiva
addizionale permetta di raggiungere questo risultato. La capacità
attuale dell’impresa è 25.000 che è già superiore a ciò di cui
abbisogna.
Capitolo 10 - Giochi Dinamici
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