Esercizi ISM
Soluzione dell'esercizio 11.1 dello Shu
La densita' numerica e':
n
1
L   R
2
 1.12  10 12 cm 3
In un volume simile a quello di un campo di calcio avremmo circa 5 grani di polvere
La massa di un grano di polvere e':
m  ρ  V  ρ  4  π  R 3  8.4  1015 gm
3
La massa di polvere in un volume tipico che contiene una massa solare e':
M dust  n  V  m  2.4  1030 gm
La frazione di massa di polvere rispetto a quella di stelle nel disco Galattico e' :
M dust
2.4  1030
3


10
M sun 1.99  1033
Soluzione dell'esercizio 11.3 delllo Shu
 3  N* 
r

 4  R 
1
3
 3  N* 

 
2 
 4  ne 
1
3
r  6.2  1019 cm  65 LY
per una stella O5 V
r  6.8  10 cm  7.2 LY
per una stella B0 V
r  2.0  1016 cm  0.2 LY
per una stella G2 V
18
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
N*  numero fotoni con energia  limite Ly per unita' di tempo
 RV
R  numero ricombinaz ioni di protoni ed elettroni per unita'
di tempo e volume   (T )n p ne
L( H )  N*  RV   (T )n p ne
 (T )  coefficien te di ricombinaz ioni
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
r12  ne n1 12 (T )
r21  n2 A21  ne n2 21 (T )
Ignorando transizioni da livelli piu' alti, in uno stato stazionario:
r12  r21  n2 A21  ne n2 21 (T )  ne n1 12 (T )
ne n1 12 (T )
n2 
A21  ne 21 (T )
 12  g 2   E21 
   exp  

 21  g1   kT 
ne 21 (T )
g 2  E21 kT
n2  n1
e
A21  ne 21 (T ) g1
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
ne 21 (T )
g 2  E21 kT
n2  n1
e
 n1
A21  ne 21 (T ) g1
ne 21 (T )
g 2  E21 kT
e
 A21
 g1
ne 
  21 (T ) 
 ne

 21 (T )
g 2  E2 1 kT
n2  n1
e
A21
  21 (T ) g1
ne
che per ne elevati diventa la legge di Boltzmann
g 2  E21 kT
n2  n1
e
g1
g 2  E21 kT  ne A21 21 (T ) 
L( E21 )  n2 A21V  (n1V ) e


g1
A

n

(
T
)
e 21
 21

Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
g 2  E21 kT  ne A21 21 (T ) 
L( E21 )  n2 A21V  (n1V ) e


g1
A

n

(
T
)
e 21
 21

L( H )  V (T )n p ne
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu



g 2  E21 kT 
1

L( E21 )  n2 A21V  (n1V ) e
A21 
g1
1  A21 

ne 21 (T ) 
L( H )  V (T )n p ne
L(E)
L(H)
L( EBoltz )
L(E21)
L( EBoltz )
2
ne 
A21
 21
ne
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
ncr 
A21
 21
A21

2
3
2
e
m
(kT )
1
 per T  104 K  4.6  104 cm 3
2
g 2  E21 kT  ne A21 21 (T ) 
 21 (T )
(n1V ) e
 A  n  (T ) 
g1
L( E21 )
n1 g 2  E21 kT
21
e 21





e
L( H )
V (T )n p ne
n p g1

ne 
1 

ncr 

n1 g 2
 103
n p g1
e
E
 21
kT
hc
e

21
kT
 21 (T ) A21 1

  7.3  105

ncr 
o
 per λ 21 di 5000 A e T di 104 K  0.056
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
L( E21 )
L( H )
41
L( E21 )
1
 41 
ne 
L( H )

1


4 
4.6  10 

40
34
20
13
nw
1
ne  103
104
10cr 10 5
10 6
0.2
0.02
107
108
ne
Soluzione dell'esercizio 11.4 delllo Shu
Sezione d'urto superelastica σ21 in termini di lunghezza d'onda (al
quadrato) di de Broglie λe dell'elettrone termico.
2
2 2
2 2
2 2
h
h
h
4


4


4


2
e 

 e  2 2  2 2 

pe me v
me v
me v
me kT
2 kT
me
me
 21


2




e
2
me kT 4
2
2
e
1. La densità numerica dei grani di polvere, n, è legata all’estinzione della luce tramite la
sezione d’urto del grano,  = R2 (con R = raggio del grano, supposto sferico), ed il libero
cammino medio del fotone L (definito come la distanza fra due urti successivi con i grani di
polvere). Tale relazione si esprime come:
L
1
n    R2
Studi sull’estinzione Galattica indicano che, all’incirca, L=1000 parsec (pc).
Se il raggio del grano è R = 10-5 cm, si calcoli:
1) la densita’ numerica n in cm-3.
Se la densità di un singolo grano è  = 1.5 gmcm-3, si calcoli:
2) la massa m del grano in grammi.
Se approssimiamo la Galassia ad un disco con raggio r = 10000 pc e spessore h = 100 pc, si
calcoli:
3) la massa totale, Mdust, di polvere in un volume uguale a quello del disco Galattico.
Se la massa totale delle stelle nel disco Galattico è Mgal = 1012 masse solari, si calcoli:
4) la frazione di massa della polvere rispetto a quella delle stelle nel disco Galattico
1. Soluzione
1) La densita' numerica e':
n
1
L    R2
 10 12 cm 3
2) La massa di un grano di polvere e':
m  ρ  V  ρ  4  π  R 3  6  1015 gm
3
3) La massa totale di polvere nel disco Galattico e'::
M dust  n  (  r 2  h)  m  2  1039 gm
La massa totale delle stelle, Mgal , in grammi e':
M gal  1012  2  1033  2  1045
... continua ...
1. Soluzione
4) La frazione di massa di polvere rispetto a quella di stelle nel disco
Galattico e' :
M dust 2  1039
6


10
M gal
2  10 45
Ossia lo 0.0002 %
Nota: La percentuale di massa in polveri rispetto a quella in stelle
calcolata nei dintorni del Sole, con considerazioni analoghe a quelle
proposte nell'esercizio, e' di qualche %. Il valore ottenuto
nell'esercizio e' molto inferiore in quanto le quantita' utilizzate sono
state ideate a fini didattici e non rispecchiano talvolta i valori reali.
2.
Una radio-sorgente A ha una densita’ di flusso S=20 mJy ad una frequenza =5
GHz e una S=8 mJy per =15 GHz.
Ponendo questi due punti in un diagramma Log(S)-Log(), si determini l’indice
spettrale  della sorgente.
Si faccia lo stesso per una radio-sorgente B che abbia la stessa densita’ di flusso a 5
GHz, ma una densita’ di flusso di 18 mJy a 15 GHz.
Escludendo fenomeni di auto-assorbimento, si discuta la natura dell’emissione
della sorgente A e si indichi di quale oggetto Galattico potrebbe trattarsi.
Si faccia lo stesso per la sorgente B.
2. Soluzione
S  

Log Sν (mJy)
B
Log 20
Log 18
A
Log 8
Si richiedeva di ottenere, nel
diagramma Log(S)-Log(ν) le
pendenze delle due rette (una
per sorgente) che passavano
per i punti dati.
Il metodo tradizionale (ossia
nel caso non si fossero usate
le potenzialita' di alcune
calcolatrici) sfrutta
l'appartenenza dei punti alla
retta per poi ricavarne la
pendenza.
Log ν (GHz)
Log 5
Log 15
...continua...
2. Soluzione
y1  mx1
y2  mx2
y1  y2
m
x1  x2
mA   A  0.8
S   0.8
Probabile emissione non-termica
(sincrotrone) da resto di supernova
mB   B  0.1
S   0.1
Probabile emissione termica (freefree) da regione HII
Esiste la possibilita' di osservare un indice spettrale simile a quello di sincrotrone
anche per emissione termica. Cio' avviene quando la Temperatura della regione
emittente e' sufficientemente bassa. La dimensione della sorgente pero' deve, in
questo caso, essere sufficientemente estesa per garantire un flusso radio
"sufficiente".
Questa considerazione non era prevista essere discussa ed e' riportata qui solo
per dovere di precisione
3.
Usando l’equazione:
2
2 2
 c   n    nb 
  4    2   

,
2   2
2 
 e   me e   nb  na 
si calcoli in maniera “precisa” e riportando esplicitamente il computo
delle unita’ di misura delle grandezze utilizzate, la lunghezza d’onda, in
centimetri, della transizione radiativa dell’atomo di idrogeno dal livello
con numero quantico principale nb=110 a quello con na=109. Si elenchi
brevemente in che banda dello spettro elettromagnetico avviene
l’emissione, di quale riga spettrale si tratta, quale oggetto potrebbe averla
emessa e quali informazioni si possono ricavare dall’osservazione di tali
righe.
3. Soluzione (anche Soluzione dell'esercizio 11.5 dello Shu)
Sostituendo nell'equazione
2
2 2




n

c
n

  
b

,
  4    2   
2   2
2 
 e   me e   nb  na 
i valori forniti, si ottiene: 
 6 cm
Analisi dimensionale
1
gm cm 2 s 2 s cm s 1
 c  erg s cm s

 adimension ale
 2
3 2
3 2
gm cm s
 e  gm cm s
 n 2 2 
erg 2 s 2
gm 2 cm 4 s 4 s 2



 cm
2 
3 2
3 2
gm gm cm s
 me e  gm gm cm s
 nb2 
 2
  adimension ale
2 
 nb  na 
4.
Ricordando il metodo che utilizza l’effetto Zeeman per stimare il campo
magnetico B della Galassia, si calcoli Bnube nel caso di una nube dove
la separazione in frequenza osservata delle righe del doppietto (o
tripletto)  = 112 Hz.
Assumendo che il valore di Bnube sia stato ottenuto per una nube
particolarmente densa si ricalcoli il campo medio <B> per una nube
con densita’ media 50 volte inferiore.
4. Soluzione
Effetto Zeeman
Bnube

 2.8 
Hz
Gauss
Se
  112 Hz  Bnube  40 G
2
n  r 3
3

B

n
B  r 2
 B   n 2 / 3
1

 2 / 3  0.073
2/3
Bnube
50
nnube
 B  0.073  Bnube  2.95 G