XXXII Convegno UMI – CIIM 2014
Dal piano alla sfera e ritorno
Samuele Antonini
[email protected]
Mirko Maracci
[email protected]
Dipartimento di Matematica, Università di Pavia
Livorno, 17 0ttobre 2014
Esperienze con la sfera passate e in corso

PLS 2012-13
6 insegnanti di Scuola Primaria (10 classi)

Accompagnamento alle indicazioni nazionali per il
I ciclo 2013-14
3 insegnanti della Scuola dell'Infanzia
4 insegnanti della Scuola Primaria
2 insegnanti della Scuola Secondaria di I grado
Piano del laboratorio

Introduzione su aspetti didattici generali

Lavoro con i palloni e con altri strumenti


A partire dall'esplorazione di oggetti concreti studiare
la possibilità di definire “enti geometrici” propri della
geometra della sfera
Una specie di conclusione
Ipotesi sulla formazione dei concetti matematici
l'esperienza senso-motoria
Le esperienze di tipo senso-motorio sono fondamentali per la
formazione di concetti anche astratti di matematica: fare, toccare,
muovere, vedere sono componenti essenziali dei processi di pensiero
propri della matematica (Arzarello, 2008; Gallese & Lakoff, 2005)
“La Geometria prende le mosse dall’esperienza spaziale, visiva e tattile
(vedere e toccare gli oggetti), o anche motoria (noi ci muoviamo tra gli
oggetti e li spostiamo)” (Speranza, 1988)
Ipotesi sulla formazione dei concetti matematici
l'uso di strumenti
L'uso di strumenti coinvolge in modo diretto l'uso del corpo,
strutturando l'azione dell'individuo e orientandone la percezione.
Uno strumento “incorpora” determinate conoscenze e esperienze
collettive che ne “garantiscono” il funzionamento.
L'uso di determinati strumenti da parte dell'individuo per risolvere
problemi di matematica contribuisce a far sì che egli costruisca
significati personali, potenzialmente “coerenti” con i significati
matematici incorporati nello strumento (Bartolini-Bussi & Mariotti,
2008).
Ipotesi sulla formazione dei concetti matematici
processi semiotici e interazione sociale
Non si può infatti pensare che “gli allievi[pur] in una
situazione ricca e stimolante possano ricostruire da soli
Qual è il processo
attraverso
il qualedi
l'individuo
consapevolezza
la quantità
e varietà
strumentiprende
matematici
messi a
dei significati che
costruisce
nell'attività
condei
lo strumento?
punto
dall'umanità
nel corso
secoli” (Bartolini Bussi,
Boni
e Ferri,1995)
Qual è il processo
attraverso
il quale i significati personali possono
essere messi in relazione ai significati matematici obiettivo di un
intervento didattico?
Attraverso processi semiotici: produzione e elaborazione di segni.
Motore di questi processi è senz'altro l'interazione sociale che deve
realizzarsi in più forme e coinvolgere studenti e insegnante.
Innescare
processi semiotici per
Sugli aspetti
didattici:
favorire la consapevolezza
un quadro metodologico generale
Esperienza senso-motoria
Uso di strumenti
Processo di formazione dei significati matematici
promosso e sostenuto dall'insegnante



Attività degli allievi individuale,
a gruppi, collettiva
“Descrizione” dell'attività:

Resoconto, soluzione,...

Scritta, verbale, grafica...
Condivisione/Discussione
collettiva
Dal piano alla sfera: i primi passi
Stabilire una esplicita analogia con
le rette del piano (spazio)
Obiettivo: stabilire se è possibile definire qualcosa che possiamo
chiamare “retta sferica”
Assunto epistemologico: la geometria coglie e formalizza alcuni
aspetti della nostra esperienza quotidiana (senso-motoria) riferibili alla
È possibile stabilire una esplicita analogia tra
“spazialità”
piano e sfera sulla base di questi aspetti?
“La Geometria prende le mosse dall’esperienza spaziale, visiva e tattile
(vedere e toccare gli oggetti), o anche motoria (noi ci muoviamo tra gli
oggetti e li spostiamo)” (Speranza, 1988)
Quali aspetti della nostra esperienza sono colti e formalizzati nella
nozione di retta?
Retta nel piano e nello spazio
La nozione di retta coglie e formalizza alcuni aspetti della nostra
esperienza senso-motoria:

simmetria

allineamento

minima lunghezza
È possibile costruire il significato di “andare dritti su una
sfera” a partire da una esplicita elaborazione di questi aspetti?
Quali esperienze è possibile far vivere sul pallone, e quali
riflessioni è possibile promuovere che siano riferibili a questi
aspetti?
Retta sferica
Chiamiamo “rette sferiche” quelle linee sulla sfera che soddisfano tre
proprietà dell’andare dritti:
 minima lunghezza,
 simmetria,
 allineamento.
In altri termini sono linee sulle quali gli strumenti utilizzati si
“Le linee geodetiche d'una superficie sono una generalizzazione delle
comportano come nel caso delle rette piane.
rette del piano. Come le rette, esse possiedono parecchie proprietà
importanti, che le distinguono dalle altre curve tracciate sulla superficie;
perciò esse possono essere definite in diversi modi […] come le linee più
brevi, le linee frontali, le linee più rette possibili”
(Hilbert e Cohn-Vossen, 1932/2001)
Retta sferica
Per farlo abbiamo bisogno di
disegnare “rette sferiche” sui palloni.
Chiamiamo “rette sferiche” quelle linee sullaCome?
sfera che soddisfano tre



proprietà dell’andare dritti:
minima lunghezza,
simmetria,
allineamento.
Esploriamo
lesulle
proprietà
e incidenza
delle
In altri termini
sono linee
quali di
gliordinamento
strumenti utilizzati
si
rette
e confrontiamole
comportano come
nelsferiche
caso delle
rette piane. con le proprietà di
ordinamento e incidenza delle rette del piano.
Cosa dire delle definizioni di segmento, semiretta,
parallelismo...?
Ci sono rette e rette...
Piano
Sfera
Le rette sono illimitate
Le rette sono limitate e “chiuse”
Per due punti passa un'unica retta
Solo se i punti non sono antipodali, se
sono antipodali le rette sono infinite
Due rette si intersecano in un punto Due rette si intersecano sempre in due
o sono parallele
punti
Dati 3 punti su una retta, ce n'è
sempre solo uno compreso tra gli
altri due
Dati 3 punti su una retta, di ciascuno
di essi si può dire che è compreso tra
gli altri due
Un punto divide una retta in due
parti disgiunte, chiamate semirette
Un punto non divide una retta in due
parti disgiunte
Due punti distinti su una retta
individuano una sola porzione
limitata della retta (un segmento)
Due punti distinti su una retta
individuano sempre due porzioni
limitata della retta
Triangolo sferico
È possibile definire triangolo sferico “allo stesso
modo” del triangolo piano?
Obiettivo: stabilire se è possibile definire qualcosa che possiamo
chiamare “triangolo sferico”
Osservazione: a differenza di prima (retta sferica), abbiamo per il
piano una definizione esplicita di triangolo in termini di altri oggetti
geometrici: punti, rette, segmenti...
Dati 3 punti non allineati - chiamiamoli A, B e C – il triangolo di
vertici A, B e C è la figura formata dai segmenti AB, BC e AC.
Possiamo “adattare” questa definizione alla sfera per
definire il triangolo sferico?
Triangolo sferico
Esploriamo le conseguenze della definizione “triangolo sferico” assunta


Cosa possiamo dire degli angoli interni a un triangolo sferico?
Quanto può misurare un angolo di un triangolo sferico? Quanto la
somma degli angoli interni?
Prendiamo un triangoloRipensiamo
sferico ABC, alla
e chiamiamo
M e N i punti medi
nostra definizione.
di AB e AC. Cosa possiamo dire del triangolo AMN?
Si può “migliorare”?

Prendiamo 3 punti non allineati: quanti sono i triangoli sferici che
hanno quei punti come vertici?
Perché la geometria della sfera?
Gli obiettivi dell'insegnamento della matematica e
in particolare della geometria, in estrema sintesi


Sviluppare “significati geometrici” a partire da esperienze e oggetti
concreti.
Sviluppare abilità specifiche relative a forme di pensiero tipiche
della geometria e della matematica: operare e comunicare
significati con linguaggi specifici, e utilizzare tali linguaggi per
rappresentare e costruire modelli; comunicare e discutere,
argomentare, comprendere i punti di vista e le argomentazioni
degli altri…
Perché la geometria della sfera?
osservare, individuare e descrivere regolarità;
produrre congetture, testarle, validare le
congetture prodotte; …
Modello
concreto di
geometria della
sfera
Costruzione di…
Geometria del piano
(esperienze personali &
significati istituzionali)
Significati di
geometria della
sfera
Perché la geometria della sfera?
osservare, individuare e descrivere regolarità;
produrre congetture, testarle, validare le
congetture prodotte; …
Modello
concreto di
geometria della
sfera
Costruzione di…
Significati di
geometria della
sfera
Rielaborazione dei significati di
geometria piana:
GeometriaIn
delrelazione
piano
alle esperienze
(esperienze personali
&
senso-motorie
alla base
significati istituzionali)
In relazione tra loro
Perché la geometria della sfera?
Gli obiettivi dell'insegnamento della matematica e
in particolare della geometria, in estrema sintesi



Sviluppare “significati geometrici” a partire da esperienze e oggetti
concreti.
Sviluppare abilità specifiche relative a forme di pensiero tipiche
della geometria e della matematica: operare e comunicare
significati con linguaggi specifici, e utilizzare tali linguaggi per
rappresentare e costruire modelli; comunicare e discutere,
argomentare, comprendere i punti di vista e le argomentazioni
degli altri...
Sviluppare un “atteggiamento matematico”, far esperienza del
lavoro del matematico.
Sugli aspetti didattici:
uno sguardo al progetto in verticale
Esplorare sul piano, linee dritte e curve scoprendo tramite
opportune esperienze le proprietà legate a allineamento,
simmetria, minima lunghezza.
Obiettivo per l'infanzia.
“Definire operativamente” la retta sferica come linea sulla sfera
che soddisfa...
Obiettivo per la primaria.
Definire angoli sferici e poligoni sferici (triangolo e quadrato)
Obiettivo per la
secondaria di I grado.
Grazie per l'attenzione
Bibliografia
Antonini, S., & Maracci, M. (2013). Straight on the sphere: meanings and artefacts. In A.M.
Lindmeier & A. Heinze (a cura di), Proceedings of the 37th Conference of the International
Group for the Psychology of Mathematics Education (Vol. 2, pp. 33-40). Kiel, Germany:PME.
Arzarello F. (2008). Neuroscience: Embodiment and Multimodality. Materiali per il
Corso di Dottorato in “Storia e Didattica delle Matematiche, della Fisica e della
Chimica”, Università di Palermo. Disponibile in data 20 Agosto 2014 da http:
//math.unipa.it/~grim/dott_HD_MphCh/arzarello_Neuroscience_
Embodiment_Multimod_08.pdf
Bartolini Bussi M.G., & Mariotti M.A. (2008). Semiotic Mediation in the Mathematics
Classroom: Artefacts and Signs after a Vygotskian Perspective. In: L. English, M. Bartolini
Bussi, G.A. Jones & B. Sriraman (Eds.), Handbook of International Research in Mathematics
Education (pp. 750-787). Mahwah, NJ: LEA.
Gallese, V., & Lakoff, G. (2005). The brain ’ s concepts: The role of the sensory-motor system in
conceptual knowledge. Cognitive Neuropsychology, 22 (3 – 4), 455 – 479.
Hilbert, D., & Vohn-Cossen, S., (2001). Geometria intuitiva. Bollati Boringhieri, 2001 (edizione
originale 1932).
Maracci M. (in stampa). Introdurre la geometria sferica a scuola: motivazioni, strumenti e
criticità.
Speranza, F. (1988). Salviamo la geometria! La matematica e la sua didattica, 3, pp.6-14.