Cap. 13 Cerchio e
circonferenza
Terzo postulato
Punto A (centro)
Lunghezza
Circonferenza
Per definire una
circonferenza basta
prendere un punto
come centro e una
lunghezza come
raggio
Definizione di circonferenza
Si definisce
circonferenza il
luogo geometrico
dei punti del
piano equidistanti
da un punto detto
centro della
circonferenza
Quante
circonferenze passano
per un punto?
Qualsiasi punto
dell’asse può
essere in centro
di una
circonferenza
che passa per A
e B perciò …..
Quante
circonferenze passano
per due punti?
Ricorda l’asse
di un segmento
L’asse di un segmento è il luogo
geometrico dei punti equidistanti dai suoi
estremi
Il circocentro
Dal latino circum
(circolo) e dal greco
Kentron (centro)
Si definisce circocentro
il punto di incontro dei
tre assi di un triangolo
Il nome deriva da una
proprietà facilmente
ricavabile se si ricorda
il significato di asse
Quante circonferenze
passano per tre punti non
allineati?….. Ricordiamo il
circocentro di un triangolo
Proprietà del circocentro
Consideriamo l’asse del lato CB,
per definizione il punto O
(appartenente all’asse) è
equidistante da C e da B
OB = OC
Prendiamo l’asse del lato AC,
ancora una volta O è
equidistante da A e da C
OC = OA
A questo punto si ha che:
OB=OC=OA
Il circocentro è equidistante di
vertici del triangolo
Il centro del circolo ….
È ora chiaro che il
circocentro è il centro
cella circonferenza
che passa per i vertici
del triangolo
Da cui …. Qualsiasi
triangolo può essere
inscritto in una
circonferenza
I vertici di un triangolo
costituiscono tre punti non
allineati pertanto ….
Per tre punti non
allineati passa una ed
una sola circonferenza
Definizione di cerchio
Si definisce
cerchio la
porzione di
piano racchiusa
da una
circonferenza
Raggio
Si definisce
raggio di una
circonferenza in
segmento che
unisce il centro
con un qualsiasi
punto della
circonferenza
Tutti i raggi di una stessa
circonferenza sono
congruenti
Corda e diametro
Si definisce corda
qualsiasi segmento che
unisce due punti della
circonferenza
Si definisce diametro una
corda che passa per il
centro della circonferenza
Tutti i diametri sono
Il diametro
congruenti
rappresenta anche la
È facile vedere che :
corda di dimensione
d = 2r
massima
Semicirconferenza
Consideriamo una
circonferenza e un suo
diametro
Il diametro divide la
circonferenza in due parti
congruenti
Ciascuna di queste parti
prende il nome di
semicirconferenza
si definisce semicirconferenza
ciascuna delle due parti
in cui la circonferenza risulta
suddivisa da un suo diametro
Arco di circonferenza
Prendiamo una
circonferenza e mettiamo
su di essa due punti
Si definisce arco di
circonferenza ciascuna
delle due parti in cui la
circonferenza risulta
suddivisa dai due punti
I punti B e C individuano
l’arco c e l’arco d
Arco e angolo al centro
Se degli estremi di un arco
di circonferenza traccio i
due raggi si forma un
angolo al centro a
Tale angolo prende il
nome di angolo al centro
Si dice che l’arco AB
Archi uguali
sottende un angolo a e
sottendono angoli
l’angolo a è sotteso da un uguali
arco AB
Relazione arco - corda
Dai i due punti che
costituiscono gli estremi
dell’arco io posso tracciare
una corda
In questo caso diremo
che la corda AB
sottende l’arco AB
L’arco AB è sotteso
dalla corda AB
È data una circonferenza di centro
O e raggio r
Su di essa tracciamo due archi
congruenti AB e A’B’
Essi sottendono le corde a e a’
Se tracciamo i raggi otteniamo due
triangoli OAB e OA’B’ congruenti per
il primo criterio perché:
OB = O’B’ e OA = O’B’
perché raggi di una stessa Se ciò è vero
circonferenza
possiamo concludere
che: AB = A’B’
a = a’ perché
angoli al centro di
archi uguali
Archi congruenti
sono sottesi da
corde congruenti
Corde congruenti
sottendono
archi congruenti
Prima abbiamo fatto un’affermazione
a cui non era stata data alcuna
giustificazione
Essa intuitivamente ci è sembrata
vera
Dimostriamo che effettivamente è
così
In ogni circonferenza
Prendiamo la seguente figura
qualsiasi
corda
è
minore
Consideriamo il triangolo ABO
del diametro
Per il criterio di esistenza dobbiamo
avere che AB < AO + OB
Cioè corda < r + r
Ma r + r = d perciò
Corda < d
Il diametro
rappresenta anche la
corda di dimensione
massima
Proprietà del triangolo isoscele
Se i triangoli ACD e CDB
sono uguali sia ha che AD =
DB cioè D è il punto medio e
l’altezza è anche mediana
L’altezza è la perpendicolare
condotta a partire dal punto
medio perciò sta sul suo
asse
Se i triangoli ACD e BCD
sono uguali saranno uguali
anche e e z perciò l’altezza è
anche bisettrice dell’angolo
in C
È data una circonferenza di centro O e
raggio r ed una sua corda AD
Tracciamo due raggi che uniscono gli
estremi della corda col centro della
circonferenza
Otteniamo il triangolo isoscele ABO
Tracciamo l’altezza, essa sarà anche
asse, mediana, e bisettrice pertanto …
Le loro altezze h e h’
La perpendicolare alla corda
risulteranno congruenti
passante per il centro della
circonferenza divide la corda a metà
Se due corde sono
congruenti e
Consideriamo ora un’altra corda
appartengono alla
congruente con la prima e tracciamo i
stessa circonferenza
raggi dai suoi due estremi
sono equidistanti dal
Per il terzo criterio i triangoli AOB e
centro
A’B’O risulteranno congruenti
Posizioni reciproche di punto e
circonferenza appartenente ad un piano a
Un punto è esterno ad una
circonferenza se la sua
distanza dal centro è maggiore
del suo raggio OA > r
Un punto appartiene alla
circonferenza se la sua
distanza dal centro è uguale al
suo raggio OA = r
Un punto è interno ad una
circonferenza se la sua
distanza dal centro è minore
del raggio
Secanti e tangenti
Una retta si dice
secante se interseca
una curva in due o più
punti
Una retta si dice
tangente ad una curva
se ha un solo punto di
contatto (da tangere
toccare) con la curva
(o meglio la tocca in
due punti coincidenti)
Posizioni reciproche di retta e circonferenza
appartenente ad un piano a
Una retta è esterna ad una
circonferenza se la sua
distanza dal centro è maggiore
del suo raggio OA > r
Una retta è tangente alla
circonferenza se la sua
distanza dal centro è uguale al
suo raggio OA = r
Una retta è secante ad una
circonferenza se la sua
distanza dal centro è minore
del raggio
Tangenti ad una retta da un punto p esterna ad essa
È data una circonferenza c di centro o e raggio r ed un punto p
I segmenti che hanno per
esterno ad essa
Dal punto P tracciamo
le tangenti
m e tP
alla
estremi
il punto
ecirconferenza
i punti e siano
H e K i punti di contatto
tangenza
Tracciamodi
i segmenti
OH, OPalla
e OHcirconferenza
e otteniamo due triangoli
OHP e OKP congruenti
per il primo
principio di congruenza
sono
congruenti
Pertanto risulta anche che PH = PK
Le tangenti alla circonferenza
Le tangenti alla
circonferenza sono sempre
perpendicolari al raggio
La dimostrazione
è per assurdo e
non rientra nei
programmi di
scuola media
Dimostriamo che i triangoli OHP e OKP sono congruenti
Tracciamo la corda HK
Il segmento OP sta sull’asse della corda pertanto è bisettrice di
KOH perché, come sappiamo, il triangolo OKH è isoscele
A questo punto abbiamo:
a = b a1 = a2 e d in comune
I due triangoli sono congruenti per il primo principio
Posizioni reciproche di due circonferenze
Sono date due circonferenze di centri O e O’ e raggi r ed r’ con
r>r’ le due circonferenze si dicono:
Esterne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ > r + r’
Tangenti esterne se si toccano in un punto P con OO’ = r + r’
Secanti se hanno due punti P e Q di contatto r – r’ < OO’ < r + r’
Tangenti interne se si toccano in un punto P con OO’ = r – r’
Interne se non hanno alcun punto di contatto con OO’ < r – r’
Concentriche se si ha che O ≡ O’
Angolo alla circonferenza
si chiama angolo alla
circonferenza un
angolo con il vertice
su una circonferenza
e i lati o entrambi
secanti (prima specie),
o uno secante e l'altro
tangente alla
circonferenza
(seconda specie).
Relazione fra angolo e angolo alla circonferenza
Sia data una circonferenza c di
centro O e raggio r e un arco AB su
di essa
Tracciamo un angolo al centro e uno
alla circonferenza che insistono sullo
stesso arco d
Tracciamo il diametro che passa per C
ed O
Il triangolo COA avrà gli angoli a,
a e 180 – 2a
Gli angoli AOD e COA sono
supplementari, siccome uno dei
due è 180 – 2a l’altro
necessariamente sarà 2a il
doppio di ACO
Discorso analogo lo possiamo
fare per il triangolo OCB e per
l’angolo DOB
L’angolo alla circonferenza
sarà dato da a + b
L’angolo al centro da 2a + 2b
= 2 x (a + b) cioè esattamente
il doppio dell’angolo alla
circonferenza
In una circonferenza l’angolo al
centro che insiste su un certo
arco sarà sempre il doppio
dell’angolo alla circonferenza
che insiste sullo stesso arco
Angoli alla circonferenza che
insistono su uno stesso arco
Su uno stesso arco di
circonferenza
insistono infiniti
angoli alla
circonferenza ed
hanno tutti lo stesso
valore
Segmento circolare
Consideriamo un cerchio ed
una sua corda a
La corda divide il cerchio in due
parti
Si definisce segmento circolare
ciascuna delle due parti
Si definisce
segmento circolare
una porzione di
cerchio delimitata da
una corda
Settore circolare
Prendiamo un cerchio e un suo
arco BC
Tracciamo i due raggi che
uniscono gli estremi dell’arco con
il centro
Otteniamo cosi una porzione di
cerchio
Si dice settore
circolare la porzione di
cerchio racchiusa da
due raggi e un arco di
circonferenza.
Cosa succede se aumento a?
Corona circolare
Consideriamo due
circonferenze concentriche di
raggio r1 ed r2 con r1 > r2
fra le due circonferenze si
trova una porzione di piano
Chiamiamo questa porzione
di piano corona circolare
Si definisce corona circolare la
porzione di piano racchiusa fra due
circonferenze
Formule
C=pxd
Circonferenza
uguale a p greco
per il diametro
d
C
p
Ma d = 2 x r
allora
Formu
le
invers
e
C = p x 2r
Circonferenza uguale
a p greco per due
volte il raggio
r
C
2p