La Parabola
Simone Pasetto
Cl. 3^Bm
1) La parabola come sezione
conica


Innanzitutto definiamo la
parabola: essa è un luogo
geometrico in cui tutti i punti
da cui è composta sono
equidistanti da una retta detta
direttrice e da un punto detto
fuoco.
Essa è ottenuta da una sezione
conica, cioè da un’intersezione
tra un cono e un piano. Il
piano deve tagliare il solido in
modo da intersecare la base e
un punto della superficie
laterale del cono.
Cit: Libro
Superficie laterale
piano
base
2) Le antenne paraboliche:dall’uso
domestico a quello astronomico


L’antenna parabolica è dotata di un
riflettore, ovvero di una antenna
dotata di un specchio a forma di
parabola, in grado di ricevere e
trasmettere. Questo grazie ad una
sua proprietà.
Infatti se noi tracciamo delle rette
parallele all’interno della parabola,
esse rimbalzeranno e si
concentreranno nel fuoco della
parabola.


Le antenne satellitari ricevono
onde elettromagnetiche,
concentrandoli nel fuoco del
paraboloide in cui vi è collegato
un LNB che trasforma queste
onde in segnali elettrici e li
manda alla TV per trasmettere
film o programmi vari.
Il radiotelescopio, invece, è
utilizzato nel rilevare onde radio
dell’Universo, grazie a una o più
antenne paraboliche: la più
grande costruita ha un diametro
di 100 m, è in grado di ruotare di
360° e di inclinarsi, ma il tempo
di esecuzione di tali operazioni è
di diversi minuti.
Cit: wikipedia
3) I fuochi d’artificio: esempio
esplosivo di curva parabolica

Perché questo titolo? Intanto
spieghiamo cos’è un fuoco
d’artificio:esso è costituito da
un involucro esterno di cartone
spesso; in mezzeria tra
l‘involucro e il nucleo vi sono
palline di polvere da sparo e
altri composti chimici,
formando le cosiddette “stelle”.
Quest’ultime bruciano liberando
una fiamma colorata e
lasciando una scia luminosa.
Osserviamo bene l’immagine:
ogni scia luminosa descrive una
linea, ma non una qualsiasi,
una parabola. Infatti, se
continuiamo i fasci di luce,
essi descrivono una parabola. Questo perché le stelle
contengono sostanze che lasciano una scia luminosa e la
scintilla scendendo a terra crea una traiettoria luminosa a
forma di parabola. Osservate attentamente il video proposto
successivamente:https://www.youtube.com/watch?v=aPQDTg
UYXV4.
Questo video dimostra accuratamente che ogni scia ha la
forma parabolica:questa scia è la traiettoria compiuta dalla
stella mentre è in aria. La spiegazione di ciò è nel paragrafo
seguente.
4) Newton e la legge della
gravitazione universale


Newton scoprì, oltre alla formula
dell’accelerazione di due corpi
F=g*(m1*m2)/d2 ha inoltre
dimostrato le leggi di Keplero sono
derivabili dalla sua legge e che
tutte le orbite dei corpi soggetti ad
una forza di gravità hanno la
forma di sezioni coniche.
Osserviamo come esempio la
traiettoria di una palla mentre due
ragazzi giocano a pallavolo: essa è
sempre lanciata verso l’alto e
subirà la forza di attrazione dalla
Terra, e scenderà seguendo una
traiettoria parabolica. Questo
succederà in ogni lancio del corpo
in esame.
Cit: Wikipedia legge gravitazionale
Orbita
5) Problema

Scrivi l’equazione della parabola passante per i punti A(1;2)
B(0;5) e C(2;1). Trova poi l’area del triangolo di vertici B,C e
D, simmetrico rispetto l’asse della parabola.
Innanzitutto localizziamo i
punti nel piano cartesiano. Poi,
organizziamo un sistema a tre
incognite: a,b,c, dell’equazione
generale della parabola:
y=ax^2+bx+c.
a+b+c=2
c=5
4a+2b+c=1
y
B
C
A
x
Sostituiamo:
a+b=-3
c=5
4a-2b =-4
a=-3-b
c=5
4(-3-b)+2b=-4
a=-3-(-4) a=1
c=5
c=5
2b=-8
b=-4
Quindi: y=x^2-4x+5
Poi, per completare il disegno si
calcola gli elementi principali:
V(-b/2a;-∆/4a) cioè V(2;1)=A
asse: x=-b/2a=2
a=-3-b
c=5
-12-4b+2b=-4
y
B
C
A
x
Infine, il problema ci chiede l’area del triangolo BCD, di cui B è
simmetrico a D rispetto all’asse della parabola. In questo caso
l’asse è perpendicolare all’asse delle x, e quindi:
Yb=Yd
perciò basta calcolare la distanza tra B e l’asse
della parabola: db,x1=|1*0+0*0-2|/√(1)=2; e raddoppiarla,
quindi il punto D ha coordinata x=4, quindi D(4;5).
Successivamente si calcola la
lunghezza della base, che è
pari alla x di B, e l’altezza,
sempre con la formula della
distanza punto-retta:
Da,BD=|1*2+0*1+5|/√(1)=7
Infine, formula dell’area del
triangolo: A=4*7/2=14
y
B
C
D
A
x
6) Casa di Milà di Guadì: esempio
di arte fantastica o rigore
matematico?

Gaudì nella costruzione di questa
abitazione seguì il modernismo
catalano, parte di un movimento
chiamato Renaixença, cioè un
rinnovamento della cultura e della
società catalana e la sua autonomia
politica. Venne sprannominato
“l’Architetto di Dio” e ad occhio
nudo sembrano curve casuali, frutto
di fantasia: ma non è così! Lui seguì
con rigore matematico due curve: la
parabola e la catenaria, e ogni loro
combinazione.
Per costruire queste forme
l’architetto catalano assemblava
modelli conc corde con appesi
sacchetti di sabbia. A seconda
della loro disposizione, si formava
una parabola (se i sacchetti si
distribuiscono uniformemente
rispetto ad una piano orizzontale),
o una catenaria( se i sacchetti si
distribuiscono uniformemente
lungo la curva). Quindi ad ogni
curva, ogni opera di Antoni Guadì
vi è sempre una logica
matematica.
Cit: matematica.unibocconi.it/articoli/matematica-barcellona