ESTENSIONI SEMPLICI
e
TEOREMA DELL’ELEMENTO
PRIMITIVO
Estensioni semplici: proprietà
Teorema Dell’ Elemento
Primitivo: obiettivo
provare che ogni
estensione di grado
finito è semplice.
Estensioni di campi
DEFINIZIONE
Un ampliamento o un’ estensione di un campo F è
un qualunque campo K che contenga F.
Il campo R dei reali è un’estensione di Q.
Il campo dei complessi C è un ampliamento di R e Q.
Dato un campo F ed una sua estensione K , vediamo
come è possibile costruire degli ampliamenti
intermedi tra K ed F.
Sia S un sottoinsieme di K.
Indicheremo con F(S) l’intersezione di tutti i
sottocampi di K contenenti F ed S, ovvero il più
piccolo sottocampo contenente F ed S.
Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto
aggiungendo il sottoinsieme S.
Se
si dice che
semplice del campo .
è un’estensione
Chi sono esattamente gli elementi di
PROPOSIZIONE
Sia
un’estensione di
e sia
?
. Allora
DIMOSTRAZIONE
Poniamo
Pertanto
dato che è un campo che
contiene
ed .
Vale anche l’inclusione inversa,
, poiché
gli elementi di devono stare in qualunque campo
contenente
ed .
ESEMPI DI ESTENSIONI SEMPLICI
1) Sia
e
. Risulta
2) Sia
ed
. Risulta
Poiché
, le espressioni in
possono ridurre nel seguente modo
si
Ma
e
sono entrambi elementi di
. Quindi gli elementi di
possono scriversi tutti nella forma
con
In definitiva
Osserviamo che il diverso comportamento delle due
estensioni dipende dalla natura dell’elemento che
si sta aggiungendo.
DEFINIZIONE
Sia un campo e
un’ estensione di .
Un elemento
si dice algebrico su
se esiste un polinomio non nullo
tale che
Un elemento
è algebrico.
Se
su
si dice trascendente su
ed
gli elementi di
si chiamano numeri algebrici .
se non
algebrici
Inoltre, possiamo pensare ogni campo
come spazio
vettoriale su un suo qualsiasi sottocampo
.
DEFINIZIONE
Dato un campo
ed una sua estensione
si
definisce grado dell’estensione
sul campo ,
e si indica con
, la dimensione di
come
spazio vettoriale su .
DEFINIZIONE
Un’estensione
di un campo
si dice finita se
il suo grado
è finito. Si dice infinita in
caso contrario.
TEOREMA
Dati un’estensione
di un campo
ed un elemento
,
è algebrico se e solo se
è
un’ estensione finita.
Ora, sia
.
Costruiamo l’estensione
e calcoliamo il suo
grado su .
Aggiungeremo prima
, ottenendo l’estensione
, e poi aggiungeremo l’elemento
a
.
è algebrico su , di grado 2, dato che il suo
polinomio minimo è
.
Ora aggiungiamo
a
.
Il polinomio
è irriducibile su
.
Pertanto l’estensione
ha grado 2 su
.
In definitiva
Dato che una base di
e una base di
su
è
su
è data da
e
su
è
, una base di
Osserviamo che
Notiamo anche che
sono elementi di
Inoltre
Ne segue che
cioè
.
e
e quindi
Teorema dell’Elemento Primitivo
Sia
un campo di caratteristica zero oppure
finito e sia
finito di .
Allora esiste
un’estensione di grado
tale che
Un tale elemento prende il nome di elemento
primitivo .
DIMOSTRAZIONE
Se
è un campo finito , è un’estensione di grado
finito di
. Allora è un campo finito e quindi
il gruppo
è ciclico. Se è un generatore
di tale gruppo, ogni elemento non nullo di
è
potenza di per cui
ed
è
un’estensione semplice di
.
Sia, quindi,
infinito e supponiamo n=2.
E’ sufficiente provare che se
allora
per un opportuno
.
Siano
. Osserviamo che, poiché la
dimensione di
su
è finita, abbiamo che
è un’estensione algebrica di
.
Quindi, in particolare,
e sono algebrici
su .
Siano e i polinomi minimi rispettivamente
di e su e sia
il campo di spezzamento
di
su .
Allora esistono
e
tali che
Inoltre,
sono a due a due distinte come anche
, poiché i polinomi e sono irriducibili su
un campo di caratteristica zero.
Ora, essendo
una radice di coincide con
una delle radici
, ed essendo
una
radice di
coincide con una delle radici
.
Senza perdere di generalità, assumiamo
e
.
L’idea è di trovare un elemento
tale che
Come
scegliamo un elemento arbitrario
dell’insieme
Questo insieme è non vuoto poiché
è infinito,
invece l’insieme che si sottrae a è finito.
Per come è scelto vale
cioè
Poniamo
Ovviamente
che
inclusione, cioè
(*)
.
.
così per dimostrare
basta provare l’altra
Poniamo
.
Sia
il polinomio minimo di su .
Vogliamo dimostrare che è lineare.
Infatti, se proviamo ciò
quindi
.
Vale
,
in
.
Poniamo
Vale
quindi
in
.
Pertanto ogni radice di
di .
Ora le radici di sono
e
pertanto
.
è radice sia di
, inoltre
che
se
si ha
Ne segue che è l’unica radice comune di
ed
.
Pertanto
è l’unica radice di
.
Segue che
è potenza del polinomio
Però
e
sono a due a due distinte. Ne che segue
dunque
.
.
Da ciò segue che anche
.
Così abbiamo provato che
e
e quindi che
.
Da (*), per induzione su n si ottiene che se
allora esiste
tale che
Allora vale la tesi, perchè, essendo
esistono
tali che
finita,
.
Abbiamo così provato che ogni estensione finita
di un campo di caratteristica zero è semplice.
ESEMPIO
Sia
con
e siano
Per c=1 la condizione
è soddisfatta per i=1,2 e j=2,3.
Applicando il teorema segue che
Donatella Passabì