Teoria cinetica dei gas
Interpretazione microscopica della
temperatura e della pressione.
Modello molecolare del gas perfetto
La teoria cinetica dei gas si basa sul concetto
che la materia è formata da molecole in
continuo movimento; rappresenta un modello
che descrive in modo approssimativo ed
esemplificato un sistema fisico più complesso.
Coesione
e
adesione
Ogni gas è formato da un numero enorme di
molecole
Le molecole sono immaginate come sferette
rigide indeformabili e di dimensioni trascurabili
rispetto alla loro distanza media
Le molecole non in continuo e disordinato
movimento
Le forse di interazione si considerano
praticamente nulle, tra un urto e l’altro il moto è
rettilineo
Gli urti molecola-molecola e molecola-parete
sono elastici
Modello molecolare e di interazione
10-9 m
10-7 m
Da un punto di vista energetico, le
molecole dei gas, in continuo e
Due molecole si attraggono quando
disordinato movimento, sono dotate di
si trovano ad una distanza compresa
energia-9 cinetica.
tra 10 m e 10-7 m. (zona gialla)
Si respingono se la distanza è
Se il gas è -9 rarefatto possiamo
minore di 10
m, come se le
supporre che le forze di interazioni tra
molecole entrassero in collisione.
molecole sia trascurabile e quindi
Non interagiscono se la distanza è
l’unica
forma
di
energia
che
superiore ai 10-7 m, cioè fuori della
contribuisce alla ENERGIA INTERNA
zona d’azione gialla.
del gas è quella cinetica (positiva)
Se il gas non è rarefatto allora le
molecole interagiscono tra loro e
quindi occorre introdurre anche una
energia potenziale. Poiché la forza di
interazione è attrattiva l’energia
potenziale sarà negativa .
Queste considerazioni ci permettono di
differenziare da un punto di vista
energetico i gas reali da quelli ideali.
Urti molecolari e pressione
La pressione di N molecole di un gas perfetto contenuto in un recipiente di
volume V è il risultato di un numero elevatissimo di urti elastici delle molecole
contro le pareti. Non è necessario studiare il moto di ogni singola molecola. La
meccanica statistica studia i sistemi fisici formati da un enorme numero di
componenti in base alle proprietà medie dei componenti stessi.
Poiché negli urti contro le pareti cambia soltanto la componente della quantità
di moto perpendicolare alla parete stessa, possiamo considerare urti ideali
che avvengono soltanto lungo questa direzione.
1/3 delle molecole si muove lungo l’asse x
1/3 delle molecole si muove lungo l’asse y
1/3 delle molecole si muove lungo l’asse z
Con una velocità media uguale per tutte di
Elaborazione matematica
La variazione di quantità di moto nell’urto è
E poiché tra un urto e l’altro rispetto una stessa
parete è pari a
Per il teorema dell’impulso
Sostituendo
Quindi la pressione è direttamente
proporzionale al quadrato della velocità media
Per il terzo principio della dinamica se F è la forza della parete sulla
particella, -F sarà la forza che la particella imprime sulla parete. La
pressione , per definizione, è pari alla forza premente ortogonalmente una
superficie diviso la superficie stessa. Calcolando quindi la forza totale e
dividendo per la superficie
Energia cinetica e temperatura
Grandezze macroscopiche
Grandezza microscopica
Elaborazione matematica
Quindi è possibile dare un’interpretazione microscopica anche della
temperatura assoluta: essa misura la rapidità del moto di agitazione
delle molecole
Più è alta la temperatura più le molecole si muovono velocemente.
La costante di Boltzmann
La costane di Boltzmann è particolarmente utile quando di un gas viene dato il
numero di molecole N e non di moli n.
L’equazione di stato può essere riscritta come segue:
Punti da esporre:
1.
Ricavare l’espressione della T rispetto alla velocità media
2. Ricavare l’espressione della velocità media rispetto alla T
3. ricavare la dipendenza della velocità quadratica media dalla
massa molecolare
L’equipartizione dell’energia:
In quali modi l’energia cinetica può venire immagazzinata dalle molecole.
Caso 1: gas monoatomico
Principio di indipendenza dei moti
lungo le direzioni x,y,z di Galileo
Una molecola può possedere energia cinetica lungo l’asse x indipendentemente
dal fatto che la possieda rispetto le altre due direzioni y, z.
Possiamo allora “smontare l’equazione in pezzi” facendo affacciare l’idea che
ad ogni modo indipendente di accumulare energia da parte delle molecole
competa lo stesso quantitativo energetico
Facciamo il punto!
Interpretiamo ancora la costante di
Boltzmann
Rappresenta l’aumento energetico che si ha in ogni “serbatoio
indipendente” della molecola quando la temperatura viene
incrementata di un grado
Il PRINCIPIO D’EQUIPARTIZIONE DELL’ENERGIA, formulato da J. C.
Maxwell (1831 – 1879), afferma che, individuato il numero di modi diversi,
indipendenti tra loro, in cui ciascuna delle molecole di una sostanza può
accumulare energia, questa, mediamente, si ripartisce in maniera uguale tra
essi, in modo tale che ciascuno di essi ne abbia un quantitativo pari a
Dove T è la temperatura espressa in kelvin della sostanza
L’equipartizione dell’energia:
Se le molecole non sono monoatomiche, sono possibili altri “serbatoi
energetici?.
Se un gas ha molecole biatomiche, si aggiungono altre
due possibilità di movimento indipendenti, oltre alla
traslazione. Si tratta delle rotazioni attorno ai due assi
ortogonali all’asse di simmetria. L’energia potrà essere
incamerata anche in essi e quindi ogni molecola avrà
complessivamente:
Se le possibilità di ruotare in modo indipendente sono tre,
molecole poliatomiche, allora l’energia sale a
La distribuzione delle velocità
molecolari di un gas perfetto.
Nel modello di gas perfetto formato da molecole in moto disordinato e continuo
abbiamo fatto l’ipotesi semplificativa che le molecole avessero velocità uguali
tra loro. Ma ciò non è verosimile e non ci deve spaventare perché Il
PERFETTO DISORDINE ci permette di prevedere il futuro!
Supponiamo che le particelle di un gas a temperatura T si trovino all’inizio nella
situazione altamente ordinata in cui il valore del modulo della di velocità v sia
uguale per tutte. In base alla relazione che lega energia cinetica media e
temperatura sarà
In breve tempo, a causa dei primi urti, alcune di esse diverranno più veloci ed
altre più lente. Nell’ipotesi di urti elastici, per ogni molecola che perde velocità
ve ne sarà, in corrispondenza, una che l’aumenta.
Istogramma della distribuzione di
Maxwell
In un istogramma che rappresenti il
numero di molecole in relazione all’intensità
della loro velocità (indipendentemente dalla
direzione) si assisterà ad un graduale
“sparpagliamento”
verso
velocità
immediatamente vicine a quella di
partenza. Gli urti avranno l’effetto di far
scavalcare a destra il valore v dalla
molecola che cresce di velocità, ed a
sinistra da quella che rallenta. Se
attendiamo un tempo lungo, si raggiunge in
questo modo una distribuzione stabile. Si
tratta di una forma di equilibrio, ma non nel
senso statico di questo termine:
una molecola qualunque, in ogni caso, ora
rallenta ed ora accelera a seconda degli
urti subiti.
Lettura del grafico
Il punto di massimo vp rappresenta il valore di velocità avvicinandosi al quale
cresce la probabilità di trovare molecole. Ma la situazione fisica non è
simmetrica attorno ad esso: mentre le intensità delle velocità a sinistra non
possono scendere al di sotto dello zero, a destra, non esiste invece un limite
ai valori possibili (se non quello di non superare la velocità della luce).
Spostandosi
verso
un
qualunque intervallo di valori
molto grandi, sarà quindi
sempre
possibile
trovare
molecole che si muovono a tali
velocità. Il loro numero però
diminuisce progressivamente:
in caso contrario dovremmo
avere a disposizione infinite
particelle. Si dimostra che la
velocità
Lettura del grafico
Se aumentiamo la temperatura del gas, le velocità tendono a raggrupparsi
attorno ad un nuovo valore massimo che cresce secondo la relazione vista
sopra:
Quando T aumenta, inoltre, in
una situazione di equilibrio
statistico, la distribuzione delle
velocità molecolari intorno al
massimo si allarga sempre di
più.
Così,
per
effetto
dell’incremento
dell’energia
cinetica media delle molecole,
la distribuzione “viaggia”
spostandosi verso destra,
con le ali della campana che si
fanno sempre più aperte.
Lettura del grafico
Bisogna pensare a questa distribuzione come ad un istogramma in cui l’area
sottesa rappresenta il numero totale di molecole, mentre l’area compresa
in una “fetta” verticale fra due velocità vicine rappresenta il numero di
molecole che hanno velocità comprese fra questi valori.
Per basse temperature, la forma piccata
della distribuzione fa sì che solo un piccolo
intervallo di velocità attorno al valore
massimo sia occupato da un numero di
CRESCERE
molecoleALche
non sia DELLA
trascurabile, e
solamente
poche particelle
hanno
velocità
TEMPERATURA
AUMENTA
IL GRADO
molto piùDELLA
grandi DISTRIBUZIONE
(o molto più piccole) di vp.
DELL’ENERGIA
COMPLESSIVA
FRA
Aumentando
la temperatura
il numero
complessivo
di molecole
non cambia quindi
GLI STATI
DI VELOCITÀ.
l’area sottesa resta equivalente. Ma ora i
valori di velocità interessati in modo
significativo non sono solo una fetta ristretta
intorno a vp, la forma della curva si allarga in
modo che una frazione più importante delle
molecole totali abbiano velocità più grandi e
più piccole del massimo.