1D photonic crystal
Bragg mirror
Sistema con N periodi
…….
Se N 
∞
allora cristallo fotonico 1D
Metodo matrici M
U 2(  ) 
U1(  ) 
 ( )   M1  ( ) 
U 2 
U1 
U1
U1
U1
()
()
M1
( )
()
()
U1
M1 ….. Mn
U n1
()
U n1
()
()
U 3(  ) 
U 2(  ) 
U1(  ) 
U 2(  ) 




U
U
n 1
n
……

M
;

M
;
 ( ) 
 ( ) 
2  ( ) 
1  ( ) 
 ( )   M n  ( ) 
U
U
U
U
 2 
 2 
 1 
 3 
U n1 
U n 
U n( 1) 
U1(  ) 
U1(  ) 
 ( )   M n  M 2 M1  ( )   M  ( ) 
U1 
U1 
U n1 
Sistema con N periodi
M
d
…….
M0
M0
1
2
M0
…….
3
M  M0
N
M0
M0
N-1
N
N 1
M  M 0 Sistema con 1 periodi
N 2
M0
2
1
 t*
 *
 r*
 t
 1 r2
 *2  2
t
t

*
*
r
r
 
 t 2 t *2

1
0
Sistema con 2 periodi
r  1
t  t*


1  r*
t   t *
r
t

1
t 
2


r
r
1 1 t
 2  2
2
2
*
t
t
t
 t
2  
1 r   r* r*
 2
 2
2
2
t
t   t
t*
r 
 2 
2
t 
t
2
1 1 t 

2
2
t
t 
r
N 2
Sistema con 2 periodi
 1
 1 1 
1
 2  2  1 r  2  2 
*

t
t

t
t
2
 

M0  

1  1 1

 *  1
r  2  * 2  t 2  2  1 
t
t 

  t
1
r
1 
1
2 Re   
 t * 2 Re  t   1
1
t
t




  2 Re  M 0  I
 *
t 
 r 2 Re 1 1 2 Re 1  1
  
 
 t *
t
t  
t 
Sistema con N periodi
 i 

 e  cos 
1
Re    Re 

t
 t 
t 
1
1 1
  Re   
t
t  t
1
1
t
Sistema con 2 periodi
M0
se
2
1
 2 Re  M 0  I
t 
1
Re    1
t 
1
1 sin 2
posto cos   Re    2 Re   
t 
 t  sin 
sin 2
2
M0 
M0  I
sin 
sin( A  B)  sin A cos B  cos A sin B
2 sin A cos B  sin( A  B)  sin( A  B)
M0
2
M0
3
sin 2

M 0  I  2 cos  M 0  I
sin 
sin 2
2

M0  M0 
sin 
sin 2
2 cos M 0  I   M 0 

sin 
sin 2
 2 sin 2 cos  sin( 2   ) 


I
M 0 
sin 
sin 
sin 


sin 3
sin 2

M0 
I
sin 
sin 
Dimostriamo che
M0
N
Sistema con N periodi
sin N
sin  N  1

M0 
I
sin 
sin 
Per ricorrenza
M0
N 1
 M 0M 0 
N
sin N
sin N  1
2

M0 
M0 
sin 
sin 
sin N sin 2
sin N  1
sin N

M0 
M0 
I
sin  sin 
sin 
sin 
sin N
sin N  1
sin N

2 cos M 0 
M0 
I
sin 
sin 
sin 
Poiché
Sistema con N periodi
2 cos  sin N  sin N  1  sin N 1 
segue
M0
N 1
sin N
sin  N  1
sin N

2 cos M 0 
M0 
I
sin 
sin 
sin 
sin  N  1
sin N

M0 
I
sin 
sin 
e quindi N
sin N
sin N  1
N
M0 
M0 
I
sin 
sin 
Sistema con 2 periodi
1
M 0  2 Re  M 0  I
t 
1
se Re    1
t 
2
1
1 sinh 2
posto cosh   Re    2 Re   
t 
 t  sinh 
sinh 2
2
M0 
M0  I
sinh 
sinh(    )  sinh  cosh   cosh  sinh 
Calcoli di verifica
sinh(    )  sinh  cosh   cosh  sinh 
e


 


 e  e   e    e  e  e   e   
 e (   )  e (   )  e (    )  e (   )  e (   )  e (   )  e (    )  e (   ) 
 2e (   )  2e (   )  2 sinh(    )
e


 


 e  e   e    e  e  e   e   
 e (   )  e (   )  e (    )  e (   )  e (   )  e (   )  e (    )  e (   ) 
 2e (   )  2e (   )  2 sinh(    )
Dimostriamo che
M0
N
Sistema con N periodi
sinh N
sinh  N  1

M0 
I
sinh 
sinh 
Per ricorrenza
M0
N 1
 M 0M 0 
N
sinh N
sinh N  1
2

M0 
M0 
sinh 
sinh 
sinh N sinh 2
sinh N  1
sinh N

M0 
M0 
I
sinh  sinh 
sinh 
sinh 
sinh N
sinh N  1
sinh N

2 cosh M 0 
M0 
I
sinh 
sinh 
sinh 
Poiché
Sistema con N periodi
2 cosh  sinh N  sinh N  1  sinh N 1 
segue
M0
N 1
sinh  N  1
sinh N

M0 
I
sinh 
sinh 
e quindi N
sinh N
sinh N  1
N
M0 
M0 
I
sinh 
sinh 
Ultimo caso
1
Re    1
t 
M0
2
1
 2 Re  M 0  I
t 
sinh 2
1
1
posto cosh    Re    2 Re    
sinh 
t 
t 
sinh 2
2
M0  
M0  I
sinh 
Essendo
sinh(    )  sinh  cosh   cosh  sinh 
M0
2
M0
3
sinh 2

M 0  I  2 cosh M 0  I
sinh 
sinh 2
2

M0  M0 
sinh 
sinh 2
 2 cosh M 0  I   M 0 

sinh 
sinh 2
 2 sinh 2 cosh  sinh( 2  ) 


I
M 0 
sinh 
sinh 
sinh 


sinh 3
sinh 2

M0 
I
sinh 
sinh 
M0
3
M0
4
sinh 3
sinh 2

M0 
I
sinh 
sinh 
sinh 3
sinh 2
2

M0 
M0 
sinh 
sinh 
sinh 3
sinh 2
 2 cosh M 0  I  

M0 
sinh 
sinh 
sinh 3
 2 sinh 3 cosh  sinh 2 
 

I
M 0 
sinh 
sinh  
sinh 

sinh 4
sinh 3

M0 
I
sinh 
sinh 
Dimostriamo che
M0
N
Sistema con N periodi
sinh N  1 
 sinh N
  1  
M0 
I
sinh 
 sinh 

N
Per ricorrenza
M0
N 1
 M 0M 0 
N
sinh N  1
 sinh N

2
  1  
M0 
M0  
sinh 
 sinh 

sinh N  1
sinh N 
N  sinh N sinh 2
  1 
M0 
M0 
I
sinh 
sinh  
 sinh  sinh 
sinh  N  1
sinh N 
N  sinh N
  1 
2 cos M 0 
M0 
I
sinh 
sinh  
 sinh 
N
Sistema con N periodi
Poiché
2 cos  sin N  sin N  1  sin N 1 
segue
M0
N 1
  1
N 1
e quindi
M0
N
sinh N 
 sinh  N  1
M0 
I

sinh 
sinh  

N
sinh  N  1 
 sinh N
 (1)  
M0 
I
sinh 
 sinh 

N
Sistema con N periodi
Poiché
2 cos  sin N  sin N  1  sin N 1 
segue
M0
N 1
  1
N 2
e quindi
M 0  (1)
N
sinh N 
 sinh  N  1
 M0
I

sinh  
 sinh 
N
N 1
sinh  N  1 
 sinh N
M0 
I

sinh 
 sinh 

Sistema con N periodi
Quindi
M 0  (1)
N
N 1
sinh  N  1 
 sinh N
M0 
I

sinh 
 sinh 

N 1
sinh N
N sinh  N  1
M 0  (1)
I
sinh 
sinh 
ovvero
M 0  (1)
N
posto
N  (1)
N 1
sinh N
sinh 
M 0  N M 0  N 1I
N
Sistema con N periodi
Sommario
se
1
Re    1
t 
1
se Re    1
t 
1
se Re    1
t 
sin N
N 
sin 
M 0  N M 0  N 1I
sinh N
N 
sinh 
M 0  N M 0  N 1I
N   1
N 1
N
sinh N
sinh 
N
M 0  N M 0  N 1I
N
1
 t*
Mo   *
 r*
 t
 1
t *
M N   N*
 rN
t *
 N
r
t

1
t 
rN 
tN 

1
t N 
MN
d
…….
M0
M0
M0
……. M0
M0
Quindi
M 0  N M 0  N 1 I
Sistema con N periodi
N
1
1
 N  N 1
tN
t
rN
r
 N
tN
t
RN
2 R
 N
TN
T
1  TN
2 1 T

 N
TN
T
2
T


1
1
2
2
N 1  T 
 N  N  1 
TN
T
T
RN2
T
TN 
 RN 
2
1  R   N2 R
T  N 1  T 
Quindi
Sistema con N periodi
RN2
RN 
2
1  R   N R
sin N
N 
sin 
1
cos   Re  
t 
 i 

1
e

 cos 
 
Re    Re 

t
 t 
t 
1
1 1
  Re   
t
t  t
1
1
t
RN2
RN 
1  R   N2 R
Sistema con N periodi
sin N
1


N 
a)
Re    1
sin 
t 
Esempio:
cos   1
0  N2  N 2
R  0.1 N  10
Se
1
2
N  0  RN  0
Re    1    2
t 
Se
RN  0.92
2
N R
2
2
N  N  RN 
1
2
1 R  N R
  n  cos   1
RN2
RN 
1  R   N2 R
a) cos   1
Se
Sistema con N periodi
sin N
N 
sin 
N2  0  RN  0
Se
2
N
R
2
2
N  N  RN 
1 R  N 2R
1
RN 
1  R sin 
Airy’s formula
1
R sin N
0  N2  N 2
RN2
RN 
1  R   N2 R
1

b) Re    cosh   1
t 
1
c) Re 
   cosh   1
t 
Sistema con N periodi
N 
sinh N
sinh 
N   1
N 1
sinh N
sinh 
RN2
RN 
1  R   N2 R
Sistema con N periodi
1

b) Re    cosh   1
t 
1
c) Re 
   cosh   1
t 
N 
sinh N
sinh 
N   1
N 1
b) & c)
cosh   1
N2 
sinh 2 N
sinh 2 
sinh N
sinh 
b)
2
sinh
N
2
2 ( N 1) 
N 




e

2
N 
sinh 
RN2
RN 
N
1
2

1  R   N R
Esempio:
R  0.1 N  10
1
Re    1.2    0.62
t 
RN  0.99988
b)
2
sinh
N
2
2 ( N 1) 
N 




e

2
N 
sinh 
RN2
RN 
N
1
2

1  R   N R
99.99% riflessione
Leaky modes
Bragg mirrors