Trigonometria
La misura degli angoli
La misura degli angoli
•Gradi sessagesimali
•Gradi centesimali
•Radianti
I radianti
Il radiante è quell’arco che
rettificato è uguale al raggio
Un radiante è la misura di un angolo il cui
arco corrispondente è lungo quanto il raggio
della circonferenza cui l’arco appartiene.
I radianti
α
r
l
α : 360°= ρ : 2π
l

r
Le funzioni goniometriche
P
O
α
Q
Le funzioni goniometriche
P
O
α
PQ P ' Q ' P '' Q ''


 sin 
OP OP '
OP ''
Q
P’
Q’
P’’
Q’’
Le funzioni goniometriche
P
α
O
Q
OQ OQ ' OQ ''


 cos
OP OP ' OP ''
cos   sin   1
2
2
P’
Q’
P’’
Q’’
Le funzioni goniometriche
P
O
α
Q
P’
Q’
P’’
Q’’
PQ P ' Q ' P '' Q ''  tan   tg sin 



cos 
OQ OQ '
OQ ''
Le funzioni goniometriche
P
O
OP
1
 sec  
OQ
cos 
α
Q
P’
Q’
P’’
Q’’
1
OP
 cos ec 
sin 
PQ
1
OQ
 cot g 
t g
PQ
La circonferenza goniometrica
y
r=1
P
r
α
A
x
Le funzioni trigonometriche
y
OP=r=1
P
O
α
A
Q
PQ
sin  
 PQ
OP
x
OQ
cos  
 OQ
OP
2
2
cos   sin   1
Le funzioni trigonometriche
y
OP=OA=r=1
P
O
α
B
A
Q
PQ BA
tan  

 BA
OQ OA
x
sin 
tan  
cos 
≠0
Le funzioni trigonometriche
y
C
O
P
α
OP=OC=r=1
B
A
Q
x
OQ CB
cot g 

 CB
PQ OC
Angoli fondamentali
y
OP=r=1
P
O
OQ=PQ

α
α
α=45°=π/4
2
sin 
4
2
A
Q
x

2
cos 
4
2
 PQ
tan 
1
4 OQ
Angoli fondamentali
y
OP=r=1
OP=PP’=OP’
P
O
2α
α
α
2α
Q
α=30°=π/6
A
P’
x
 1
PQ=OP/2
sin 
6 2

3
cos 
6
2

3
tan 
6
3
Angoli fondamentali
y
P
OP=r=1

30°
O
α=60°
Q
α=60°= π/3
3
sin 
3
2
A
x

1
cos

OQ=OP/2
3
2
tan

3
 3
Angoli complementari
y
P’
90°-α
O
OP=OP’=r=1
α
Q’


PQ=OQ’
sin   cos    
2

P
Q
A
x


OQ=P’Q’
cos   sin    
2



tan   cot g    
2

Angoli fondamentali
y
P
OP=r=1
α=60°=π/3

O
α
Q
3
sin 
3
2
A
x

1
cos 
3 2
tan

3
 3
Angoli supplementari
y
OP=OP’=r=1
P’
P
180°-α
Q’
sin PQ=P’Q’
 sin    
O
α
Q
A
x
cos OQ=OQ’
  cos    
tan    tan    
Angoli esplementari o opposti
y
OP=OP’=r=1
sin    sin  2 
    sin( )
PQ=P’Q
P
360°-α
O
α
-α
Q
cos   cos  2OQ
    cos( )
A
x
P’
tan    tan  2      tan( )
Angoli che differiscono di 90°
P’
y
OP=OP’=r=1
90°+α
Q’ O
α


PQ=OQ’
sin    cos    
2

P
Q
A
x



cos OQ=P’Q’
 sin    
2



tan    cot g    
2

Angoli che differiscono di 180°
y
Q’
P’
OP=OP’=r=1
P
180°+α
O
sin  PQ=P’Q’
  sin    
α
Q
A
cos  OQ=OQ’
  cos    
x
tan   tan    
Sinusoide
α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π/2 < α < π
π
π < α < 3π/2
3π/2
3π/2 < α < 2π
sin α
0
1/2
√2/2
√3/2
1
sin (π/2+α)=sin (π/2-α)
0
sin (π+α)=-sin α
-1
sin (2π-α)=-sin α
Cosinusoide
α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π/2 < α < π
π
π < α < 3π/2
3π/2
3π/2 < α < 2π
cos α
1
√3/2
√2/2
1/2
0
cos (π/2+α)=-cos (π/2-α)
-1
cos (π+α)=-cos α
0
cos (2π-α)=cos α
Tangentoide
α
0
π/6
π/4
π/3
π/2
π/2 < α < π
π
π < α < 3π/2
3π/2
3π/2 < α < 2π
tan α
0
√3/3
1
√3
Non definita
tg (π/2+α)=-tg (π/2-α)
0
tg (π+α)=tg α
Non definita
tg (2π-α)=-tg α
Coseno di una differenza di angoli
y
Q =(cosα,sinα)
AR=PQ
AR=PQ
aa
R =(cos(α- β),sin(α-β))
α-β
α-β
O
α
β
P =(cosβ,sinβ)
x
A =(cos0,sin0)=(1,0)
Coseno di una differenza di angoli
AR=PQ
AR 
( xA  xR )  ( yA  yR )
2
2
cos(   )  cos  cos   sin  sin 
Coseno di una somma di angoli
cos(   )  cos(  (  ))
 cos  cos   sin  sin 
Seno di una somma di angoli


sin(   )  cos   (   ) 
2
 sin  cos   cos  sin 

Seno di una differenza di angoli
sin(   )  sin(  (   ))
 sin  cos   cos  sin 
Seno di 2α
sin(2 )  sin(   )
 sin  cos   cos  sin 
 2 sin  cos 
Coseno di 2α
cos(2 )  cos(   )
 cos  cos   sin  sin 
2
2
 (cos  )  (sin  )
Tangente di una somma di angoli
sin(   )
tan(   ) 
cos(   )
sin  cos   cos  sin  cos  cos 

cos  cos   sin  sin  cos  cos 
sin  cos   cos  sin 
tan   tan 
cos  cos 


cos  cos   sin  sin  1  tan  tan 
cos  cos 
Tangente di una differenza
di angoli
sin(   )
tan   tan 
tan(   ) 

cos(   ) 1  tan  tan 
Equazioni trigonometriche
elementari
y
cos α = q
-1≤q≤1
-1<q<1 2 soluzioni:
P
2π-α
-1
O
α, 2π-α (-α)
A
α
1
Q
x
Equazioni trigonometriche
elementari
y
cos α = q
-1<q<1 2 soluzioni:
α, -α
-1
q=1 1 soluzione: 0
P
A
O
1
x
Equazioni trigonometriche
elementari
y
cos α = q
-1<q<1 2 soluzioni:
α, π-α
-1
P
π
O
q=1 1 soluzione: 0
A
1
x
q=-1 1 soluzione: π
Equazioni trigonometriche
elementari
cos α = q
y
-1<q<1 2 soluzioni:
1
α, -α
q=1
A
O
x
q=-1 1 soluzione: π
q>1
-1
1 soluzione: 0
q<-1
Nessuna
Nessuna
soluzione
soluzione
Equazioni trigonometriche
elementari
y
Q
sin α = p
1
π-α
O
-1
-1≤p≤1 2 soluzioni:
-1<p<1
P
α
α, π-α
A
x
Equazioni trigonometriche
elementari
y
sin α = p
1
P
-1<p<1 2 soluzioni:
α, π-α
π/2
O
-1
p=1 1 soluzione:
A
x
π/2
Equazioni trigonometriche
elementari
y
sin α = p
1
-1<p<1 2 soluzioni:
α, π-α
3π/2
O
-1
p=1 1 soluzione:
A
x
P
π/2
p=-1 1 soluzione:
3π/2
Equazioni trigonometriche
elementari
sin α = p
y
-1<p<1 2 soluzioni:
1
α, π-α
p=1
A
O
x
p=-1 1 soluzione:
p>1
-1
1 soluzione:
π/2
p<-1
3π/2
Nessuna
Nessuna
soluzione
soluzione
Equazioni trigonometriche
elementari
y
tg α = m
1
mR
π+α
O
Q
-1
α
P
A
x
2 soluzioni:
α, π+α
ATTENZIONE:
α≠π/2
α≠3π/2
Equazioni trigonometriche
elementari
1
sin x 
2
sin x  1
2
sin 2 x 
2
3
cos x  
2
2
cos x 
2
x
tan  1
2
tan x  1
tan x  3

2 cos(2 x  )  1  0
4
Equazioni trigonometriche
elementari
Esempi di applicazione
Materiali idrofobici
d
  arccos
l
d
cos  
l
d
α
l
α=33°
Equazioni trigonometriche
elementari
Esempi di applicazione
Reticolo cristallino
Equazioni trigonometriche
riconducibili ad elementari
Equazioni risolubili mediante applicazione
della legge di annullamento del prodotto
tan x(1  sin x)  0
2sin x  3sin x  0
2
sin x  sin 2x
Equazioni trigonometriche
riconducibili ad elementari
Equazioni contenenti una sola
funzione goniometrica
2sin x  1
2
3 tan 2 x  4 tan x  3  0
1
1
2
2

1  cos x
cos x  1 3
Equazioni trigonometriche
riconducibili ad elementari
Equazioni riconducibili ad una
sola funzione goniometrica
2sin x  3cos x  0
2
2
tan x  cot anx 
3
3
Equazioni trigonometriche lineari
in seno e coseno
a sin x  b cos x  c  0
a≠0  b≠0
c=0
aasin
sin xx bbcos
cos xx 
0 0 0
cos x
cos x ≠0 perché
a tan x  b  0
altrimenti
sinx=±1 e
a=0 contro
l’hp.
Equazioni trigonometriche lineari
a sin x  b cos x  c  0
a≠0  b≠0
c ≠ 0
Y  sin x

 X  cos x
aY  bX  c  0
Y  X 1
2
2
Equazioni trigonometriche lineari
sin x  cos x  0
sin   cos   2
3 sin   cos   3
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
cos α < q
-1≤q≤1
-1<q<1
P
2π-α*
-1
O
cos α = q
A
α*
1
Q
x
Soluzione:
α*<α<2π-α*
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
cos α < q
-1<q<1 Soluzione:
α*<α<2π-α*
-1
q=1
P
A
O
1
x
Soluzione:
0<α<2π
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
cos α < q
-1<q<1 Soluzione:
α*<α<2π-α*
P
A
-1
O
1
x
q=1
Soluzione:
0<α<2π
q≤-1
Nessuna
soluzione
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
Q
sin α > p
1
π-α*
α*
O
-1
P
-1≤p<1
A
x
1 soluzione:
α*<α<π-α*
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
sin α > p
1
A
O
-1
x
-1≤p<1
1 soluzione:
α*<α<π-α*
p=-1
1 soluzione:
0<α<3π/2 U
3π/2<α<2 π
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
sin α > p
1
A
x
-1
-1≤p<1
1 soluzione:
α*<α<π-α*
p=-1
1 soluzione:
0<α<3π/2 U
3π/2<α<2 π
p=1
Nessuna
soluzione
Disequazioni trigonometriche
elementari
y
tg α > m
1
mR
π+α*
α*
O
Q
-1
P
A
x
Soluzione:
α*<α<π/2 U
π+α*<α< 3π/2
Disequazioni trigonometriche
elementari
3tan x  3
2sin x  1
1
2
 cos x 
2
2
Disequazioni trigonometriche
di secondo grado
a cos x  b cos x  c  0
2
a>0
Pongo cosx=t
at  bt  c  0
t2<t<t1 1
t2<cosx<t
2
at  bt  c  0
2
t1
t2
Disequazioni trigonometriche
di secondo grado
y
R
P
β
A
α
O 2π-α
2π-β
-1
S
t2<cosx<t1
1
Q
x
α<x<β
U
2π-β<x<2π-α
Disequazioni trigonometriche
di secondo grado
2 sen x  3senx  1  0
2
3
cos x 
4
2
tan x  cot anx  2
Disequazioni trigonometriche
lineari
y
a sin x  b cos x  c 
0
a sin x  b cos x  c  0
1
P
O
Q
-1
α*
A
x
Disequazioni trigonometriche
lineari
sin x  cos x  1  0
3 sin x  cos x  3
Disequazioni trigonometriche
sin x(2 cos x  1)  0
4sin x  1
0
2 cos x
2