Capitolo 2
Strumenti
matematici
Amaldi, L’Amaldi 2.0 © Zanichelli editore 2010
I rapporti
Un rapporto dà un’informazione relativa a un’unità.
Amaldi, L’Amaldi 2.0 © Zanichelli editore 2010
Come varia un rapporto?
Tenendo fisso il denominatore,
se il numeratore aumenta,
il rapporto aumenta.
Tenendo fisso il numeratore,
se il denominatore aumenta,
il rapporto diminuisce.
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Le proporzioni
Una proporzione è un’uguaglianza di rapporti.
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L’incognita x
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Le percentuali (1)
La percentuale è un rapporto che ha come denominatore 100.
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Le percentuali (2)
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Il telefonino
In una classe di 25 persone 20 hanno il telefonino.
Quanti ragazzi in percentuale hanno il telefonino?
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I grafici
Un grafico rappresenta in modo visivo una relazione
tra due grandezze.
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Dalla tabella al grafico (1)
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Dalla tabella al grafico (2)
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Dalla tabella al grafico (3)
Il grafico di una tabella è un insieme di punti.
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Dalla formula al grafico (1)
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Dalla formula al grafico (2)
Il grafico di una formula è una linea, che di solito è curva.
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La proporzionalità diretta (1)
Quando il lato raddoppia, il perimetro raddoppia;
quando il lato triplica, il perimetro triplica …
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La proporzionalità diretta (2)
Il perimetro del quadrato e il lato
del quadrato sono grandezze
direttamente proporzionali.
• la formula che le lega ha la forma: y = k x
• il loro rapporto è costante: y/x = k
• il grafico è una retta che passa per l’origine.
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La dipendenza lineare
y = kx + q
Il grafico di due grandezze linearmente dipendenti
è una retta.
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Cosa accomuna questi rettangoli?
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La proporzionalità inversa (1)
Raddoppiando l’altezza, la base diventa metà;
triplicando l’altezza, la base diventa un terzo …
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La proporzionalità inversa (2)
Nei rettangoli con la stessa area,
base e altezza sono grandezze
inversamente proporzionali.
• la formula che le lega ha la forma: y = k/x
• il loro prodotto è costante: xy = k
• il grafico è un arco di iperbole.
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La proporzionalità quadratica diretta (1)
Raddoppiando il lato, l’area diventa 4 volte più grande;
triplicando il lato, l’area diventa 9 volte più grande …
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La proporzionalità quadratica diretta (2)
L’area di un quadrato
è direttamente proporzionale
al quadrato del suo lato.
• la formula che le lega ha la forma: y = kx2
• il rapporto tra y e il quadrato di x è costante: y/x2 = k
• il grafico è un arco di parabola.
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Proporzionalità diretta e quadratica
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Proporzionalità quadratica inversa
L’altezza h di un cilindro di volume V
fissato è inversamente proporzionale
al quadrato del raggio di base r.
Se y è inversamente proporzionale al quadrato di x:
• quando x raddoppia, y diventa quattro volte più piccolo;
quando x triplica, y diventa nove volte più piccolo...
• la formula che li lega ha la forma: y = k/x2.
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Proporzionalità inversa
e quadratica inversa
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Leggere un grafico
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Uguali o diversi?
Per leggere in modo corretto un grafico bisogna guardare
con attenzione le scale di entrambi gli assi e le loro unità
di misura.
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Potenze di dieci
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Le proprietà delle potenze
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Le equazioni
Primo principio di equivalenza
In un’equazione, si può sommare o sottrarre una stessa
espressione a sinistra e a destra dell’uguale.
Secondo principio di equivalenza
In un’equazione, si può moltiplicare o dividere per una stessa
espressione, diversa da zero, a sinistra e a destra dell’uguale.
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