Soluzione 6: Algoritmo Quicksort
Si basa sulla partizione dell’array rispetto
ad un suo elemento scelto come “pivot”.
L’operazione viene quindi ripetuta sulle
due parti così ottenute.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
09 46 290 48 364 192 57 84 63 7 91 75
i ji
i
ji
ij
ji
ji
j
j
j
j
j
j
Quicksort(A,p,r)
non ordinati
A
if p < r
q = Partition(A,p,r)
1
p
1
p
1
1
r
n
q
r
n
p
q
r
n
p
q
r
n
r
n
A
Quicksort(A,p,q-1)
A
Quicksort(A,q+1,r)
A
ordinati
A
1
p
Partition(A,p,r)
x = A[r]
i = p -1
A
1
p
r
x
r
A
1
for j = p to r -1
i p
1
p
i
j
1
p
i
1
n  r  p 1
p
i
T (n)  bn  a  (n)
P
n
r
n
r
n
x
A
return i+1
r
x
A
scambia A[i+1] e A[r]
n
x
A
if A[j] < x
i = i+1
scambia A[i] e A[j]
n
Quicksort (A,p,r) // Complessità massima
if p < r
q = Partition(A,p,r)
Quicksort(A,p,q-1)
n  r  p 1
Quicksort(A,q+1,r)
Array ordinato o ordinato in senso inverso
QS
max
T
se n  1
c
( n)  
QS
QS
bn  a  Tmax (n  1)  Tmax (0) se n  1
QS
max
T
(n)  bn  a  c  T
QS
max
T
QS
max
( n )  ( n )
2
(n  1)
Quicksort(A,p,r) // Complessità minima
if p < r
//
q = Partition(A,p,r) //
n  r  p 1
c
P
T (n)
QS
T
Quicksort(A,p,q-1) //
min ( ( n  1) / 2)
QS
T
Quicksort(A,q+1,r) //
min ( ( n  1) / 2)
QS
min
T
se n  1
c
( n)  
P
QS
c  T (n)  2Tmin ( n / 2) se n  1
T (n)  O(n log n)
QS
min
Quicksort (A,p,r) // Complessità media
if p < r then
q = Partition(A,p,r)
Quicksort(A,p,q-1)
Quicksort(A,q+1,r)
n  r  p 1
c
QS
1 r
Tmed
( n)  
QS
QS
bn  a  q  p [Tmed
(q  p)  Tmed
(r  q)]

n
c
1 n1 QS
1 n1 QS

bn  a   j 0 Tmed ( j )   j 0 Tmed ( j )

n
n
c
se
n

1


2 n 1 QS

bn  a   j 0 Tmed ( j ) se n  1

n

QS
med
T
(n)  O(n log n)
se n  1
se n  1
se n  1
se n  1
QS
med
Per n > 1 T
2 n 1 QS
(n)  bn  a  i 0 Tmed (i )
n
e moltiplicando per n otteniamo
n 1
QS
2
QS
nTmed (n)  bn  an  2 j 0 Tmed ( j )
QS
T
Per n = 2 med ( 2)  2b  a  2c
Per n > 2
QS
med
nT
(n)  (n  1)T
QS
med
(n  1)
QS
 2Tmed
(n  1)  (2n  1)b  a
e dunque
QS
QS
nTmed (n)  (n  1)Tmed (n  1)  (2n  1)b  a
QS
QS
nTmed
(n)  (n  1)Tmed
(n  1)  (2n  1)b  a
dividendo per n(n+1)
1
1 QS
(2n  1)b  a
QS
Tmed (n)  Tmed (n  1) 
n 1
n
n(n  1)
1
QS
ponendo f (n) 
Tmed
(n) otteniamo
n 1
(2n  1)b  a
f (n)  f (n  1) 
per n  2
n(n  1)
f (2)  (2b  a  2c) / 3  c1
f (2)  (2b  a  2c) / 3  c1
(2n  1)b  a
f (n)  f (n  1) 
per n  2
n(n  1)
la cui soluzione è
(2 j  1)b  a
f (n)  f (2)   j 3
j ( j  1)
(2 j  2)(b  a )
n
 c1   j 3
j ( j  1)
1
n
 c1  c2  j 3
j
n 1
 c1  c2  dx  c1  c2 (ln n  ln 2)
2 x
n
Infine
QS
Tmed
(n)  (n  1) f (n)
 (n  1)c1  c2 (ln n  ln 2)
 O(n log n)
Quindi
QS
med
T
(n)  O(n log n)
La complessità media O(n log n) di Quick-Sort
vale soltanto se tutte le permutazioni dell’array in
ingresso sono ugualmente probabili.
In molte applicazioni pratiche questo non è vero!!!
Vi sono applicazioni in cui le permutazioni quasi
ordinate sono molto più probabili e questo può
aumentare la complessità media fino ad O(n2).
Randomized-Partition(A,p,r)
i = Random(p,r)
scambia A[i] e A[r]
return Partition(A,p,r)
Randomized-Quicksort(A,p,r)
if p < r then
q = Randomized-Partition(A,p,r)
Randomized-Quicksort(A,p,q-1)
Randomized-Quicksort(A,q+1,r)