Probabilità. Un percorso didattico
probabilità di eventi non “elementari”
legge della moltiplicazione
L. Cappello, C. Bonmassar
a cura di L. Cappello
5 giugno 2014
Didattica probabilità e statistica PAS 2014
1
Probabilità di eventi non elementari - Unione
Se alla roulette (europea) punto su un numero pari o nero,
qual è la probabilità che io vinca?
spazio agli interventi degli studenti
Contiamo i casi favorevoli …
la probabilità è
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𝟐𝟔
𝟑𝟕
2
Probabilità di eventi non elementari - Unione
Invece possiamo ricorrere all’uguaglianza seguente? E’ vera?
p("pari" ∪ "nero") = p("pari")+ p("nero")
(*)
controlliamo …
26
𝟏𝟖 𝟏𝟖
≠
+
37
𝟑𝟕 𝟑𝟕
effettuiamo anche prove materiali (test di ipotesi)
Per quale motivo è falsa?
P
N
16 18
14
2
13
12
11
15
4 6 8 10
30 32
17 29
20 22 24 26
34
36
28
31 33 35
Vale # (P U N ) = # P + # N - # (P ∩ N )
Con (*) si contano due volte gli elementi di P ∩ N
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Probabilità di eventi non elementari – Unione …
Tali quesiti stimolano l’uso di più forme di rappresentazione:
- il linguaggio degli insiemi
simboli e termini, operazioni
- la schematizzazione grafica mediante diagrammi di Venn
- il linguaggio logico … i connettivi “o”, “e”, “non”
significato logico e uso nel linguaggio naturale
E sviluppano la capacità di passare da una all’altra
in particolare: “e” - intersezione, “o” - unione
Addirittura diventano un’occasione per introdurre contenuti:
G. Prodi, libro di testo “Matematica come scoperta”
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Probabilità di eventi non elementari – Unione …
Ma è importante scegliere oculatamente quali
- formule
- termini
proporre agli studenti
Proporreste l’enunciato del Teorema delle probabilità totali?
E le definizioni di eventi compatibili, incompatibili?
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5
Probabilità di eventi non elementari – Unione …
Piuttosto … una questione significativa
In una scuola la probabilità che uno studente, scelto a caso,
sappia pattinare è del 31%. Quella che uno studente sappia
arrampicare è del 24%.
Tali informazioni sono sufficienti per determinare la probabilità
che uno studente della scuola sappia pattinare e arrampicare?
P
A
?
le informazioni fornite non sono sufficienti!
Fornisci un esempio di informazione aggiuntiva, mediante la
quale si possa determinare la probabilità richiesta.
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6
Probabilità di eventi non elementari - Complementare
Lanciamo tre dadi “onesti” che hanno le facce numerate da 1 a 6.
Qual è la probabilità che il punteggio (somma dei tre numeri
usciti) sia almeno “5”?
gli studenti esplorano il pb … si devono considerare molti casi
il docente suggerisce una strategia
• consideriamo l’evento complementare (contrario)
ossia
C = “il punteggio è minore di 5”
C = “il punteggio è 3 oppure è 4”
•
numero casi favorevoli a C: 1+3 = 4
numero casi favorevoli ad “almeno 5”: 216 – 4 = 212
•
p(“almeno 5”) =
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7
Probabilità di eventi non elementari - Complementare
Osservazione
212
4
𝑝 "≥ 5" = 216 𝑝 "< 5" = 216
𝒑 "≥ 5" + 𝒑 "< 5" =
212
216
+
4
216
quindi
=𝟏
In generale, per ogni evento E vale
𝒑(𝑬) = 𝟏 − 𝒑(𝑬𝒄 )
Infatti
Ec
E
𝑝 𝐸 + 𝑝(𝐸 𝑐 ) = 1 dato che 𝑝(𝐸 ∪ 𝐸 𝑐 ) = 1
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Probabilità di eventi non elementari – Alcuni esercizi
Alcuni esempi
modellizzazione anche mediante circuiti elettrici
Esercizi dai testi in adozione
ma con attenzione
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Legge della moltiplicazione – Problemi motivanti
Compleanni
Ti trovi ad una festa a cui partecipano 23 persone.
Scommetteresti che vi sono almeno due tra esse che compiono
gli anni in uno stesso giorno (anche se sono nate in anni diversi)?
Test clinici
Il test “Elisa” relativo all’HIV ha una sensibilità del 99,9% e una
specificità del 99,9%. Se la malattia ha una prevalenza dello
0,3%, qual è la probabilità che il test dia indicazioni errate su un
individuo scelto a caso nella popolazione?
sviluppiamo gli strumenti matematici per affrontarli
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Legge della moltiplicazione – Una giustificazione
prodotto cartesiano
Giochiamo a battaglia navale.
Qual è la probabilità di colpire la portaerei in figura? Con un colpo.
La probabilità è
𝟔
𝟑𝟓
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Legge della moltiplicazione – Una giustificazione
Un approccio per componenti
• un colpo:
1) si indica un numero
2) si indica una lettera
• “colpire la portaerei” = A e B
B
• numero casi favorevoli = 2∙3
numero casi possibili = 5∙7
A
𝟐∙𝟑
𝟐 𝟑
𝑝 𝑨𝑒𝑩 =
= ∙ = 𝒑(𝑨) ∙ 𝒑(𝑩)
5∙7
5 7
Qual è il significato della formula?
Possiamo generalizzare il risultato?
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Legge della moltiplicazione – Urna
In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono
rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e la
si reinserisce nell’urna prima dell’estrazione successiva.
Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda
sia blu?
gli studenti esplorano il problema:
effettuano prove dell’esperimento …
poi magari elencano i casi possibili: R1R1, R1R2, … R1B1, …
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Legge della moltiplicazione – Urna
Un modello: la tabella
B2
seconda estrazione
B1
R3
R2
R1
R1
R2
R3
B1
B2
prima estrazione
la probabilità dell’evento “R e B” è
𝟔
𝟐𝟓
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Legge della moltiplicazione – Urna
Un altro modello: il grafo ad albero
estrazione 1
3/5
2/5
• il cammino “favorevole” …
• la probabilità di ogni estrazione …
estrazione 2
2/5
3/5
Cerchiamo relazioni tra p(R e B)=6/25 e le prob. sul grafo:
𝟑 𝟐
p(R e B) = ∙
𝟓 𝟓
ossia
3/5
2/5
lettura sul grafo:prodotto
probabilità dei rami
p(R e B) = 𝑝(𝑹) ∙ 𝑝(𝑩)
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Legge della moltiplicazione – Urna
I due modelli a confronto
seconda estrazione
estrazione 1
RB
BB
RR
BR
estrazione 2
prima estrazione
Ad ogni cammino sull’albero corrisponde una cella della tabella contratta
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Legge della moltiplicazione – Urna
Una giustificazione mediante un’analogia
3/5
• immaginiamo che il grafo rappresenti un condotto per l’acqua
• se il tubo verde in alto porta a litri, allora
nel tubo verde sotto scorrono i 2/5 di a litri, ossia 2/5 ∙ a litri
• se il tubo in alto porta 3/5 di litro, allora …
3/5
2/5
Analogamente nel pb in esame
si percorre il ramo in alto con probabilità 3/5,
allora si percorre quello verde in basso con probabilità globale 2/5 ∙ 3/5
ma è solo un’analogia
richiama le percentuali iterate
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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
In un’urna vi sono 5 palline, diverse solo per il colore: 3 sono
rosse e 2 blu. Si estrae in modo casuale una pallina alla volta e
non la si reinserisce nell’urna.
Qual è la probabilità che la prima estratta sia rossa e la seconda
sia blu?
gli studenti esplorano il problema, effettuano prove
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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
La tabella
x
B2
x
alcune celle non intervengono!
seconda estrazione
B1
x
R3
x
R2
R1
x
R1
R2
R3
B1
B2
prima estrazione
la probabilità dell’evento “R e B” è:
𝟔
3
=
𝟐𝟓 − 𝟓 10
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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
estrazione 1
Il grafo ad albero
3/5
2/5
cambiano le probabilità della
seconda estrazione!
estrazione 2
1/2
1/2
3/4
1/4
Gli studenti notano che vale
𝟑 𝟏
p(R e B) = 𝟓 ∙ 𝟐
ancora il prodotto delle probabilità “elementari”, ma con attenzione …
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Legge della moltiplicazione – Urna senza reimmissione
con reimmissione
senza reimmissione
estrazione 1
3/5
2/5
3/5
2/5
estrazione 2
3/5
2/5
3/5
𝟑 𝟐
p(R e B) = ∙
𝟓 𝟓
2/5
1/2
1/2
3/4
1/4
𝟑 𝟏
p(R e B) = 𝟓 ∙ 𝟐
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Legge della moltiplicazione – Le scelte del docente
Considerate quanto riporta il libro di testo
M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità Blu, Zanichelli
In un percorso per il primo biennio, proporreste
- la stessa definizione di eventi indipendenti?
- la stessa notazione per la probabilità che dipende da altre?
- lo stesso enunciato della legge della moltiplicazione?
Seguireste l’ordine in cui sono presentati nel testo?
Quali sono le vostre definizioni, notazioni e i vostri enunciati?
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Legge della moltiplicazione – Facciamo il punto
Due eventi si dicono indipendenti se la conoscenza del fatto che
uno di essi si è verificato non modifica la probabilità dell’altro.
Modelli:
urna con reimmissione
urna senza reimmissione
indipendenza
dipendenza
Legge della moltiplicazione
Dati due eventi A, B, la probabilità dell’evento A ∩ B è uguale
al prodotto della probabilità dell’evento A per la probabilità di B
valutata nell’ipotesi che A si sia verificato.
sia per eventi indipendenti che dipendenti
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Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?
Una definizione equivalente di indipendenza:
𝑝 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑝(𝐴) ∙ 𝑝(𝐵)
ma non insistere
Più importante: disporre di modelli di riferimento … l’urna
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Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?
Indipendenza. Non sempre è intuitiva
Esperimento del lancio di un dado a 6 facce
A = “esce un numero pari”
B = “esce il numero 1 o il numero 2“
• Intuitivamente i due eventi A, B vi sembrano indipendenti?
• Verifichiamo:
p(A) ∙ p(B) = 1/6 = p(A∩B)
• Sono indipendenti!
… attenzione
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Legge della moltiplicazione – Definizioni o concetti?
Dipendenza. Non sempre è influenza tra eventi
Inghilterra, dopo seconda guerra mondiale, analisi statistica su N case.
Per ogni casa si rileva se c’è un nuovo nato, un nuovo nido di cicogna:
A = “almeno un nuovo nido di cicogna sul tetto di una casa fissata”
B = “almeno un nuovo nato in una casa fissata”
Dai dati:
𝑝 𝐵 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝐴 > 𝑝(𝐵)
ossia A,B sono dipendenti
dove c’è un nido di cicogna è maggiore la probabilità di una nascita
A influenza B?
No! A, B hanno una causa comune: la fine della guerra.
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Legge della moltiplicazione – La notazione p(A|B)
All’inizio è meglio non utilizzare notazioni specifiche per la
probabilità che dipende da altre
Introdurne una quando serve univocità e coincisione
vantaggi della formalizzazione
Piuttosto
oppure
E’ più importante evitare ambiguità nel linguaggio
“probabile” = “possibile”
“non probabile” = “non possibile”
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Legge della moltiplicazione – Come applicarla?
- un’unica formulazione
è responsabilità
dell’insegnante
per eventi indipendenti o dipendenti
- non serve chiedersi a priori se A, B sono dipendenti
a meno che la richiesta non sia di verificarlo
- attenzione a valutare la “nuova” probabilità di B
nell’ipotesi che A si sia verificato … ma essa potrebbe non cambiare
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Legge della moltiplicazione – Come applicarla?
La formula
𝒑 𝑨 |𝑩 =
𝒑 𝑨∩𝑩
𝒑(𝑩)
All’inizio è meglio non usarla
in una prima fase serve quasi solo per calcolare p(A∩B)
Però ha un ruolo fondamentale:
- è la definizione di probabilità condizionata
-
- da essa deriva
la definizione di dipendenza ed indipendenza di eventi
la legge della moltiplicazione
il significato di probabilità condizionata nei tre approcci
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Legge della moltiplicazione – Consolidamento
Alcuni esempi
Esercizi dai testi in adozione (tra poco)
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Regolarità
Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”.
Su quale tra le due sequenze di esiti scommettete?
TTTTTTTTTT
TCTCCTCTTC
𝟏𝟎
p(TTTTTTTTTT) = p(T) ∙ p(T) ∙ … ∙ p(T) =
𝟏
𝟐
p(TCTCCTCTTC) = p(T) ∙ p(C) ∙ … ∙ p(C) =
𝟏
𝟐
𝟏𝟎
Per quale motivo di fondo le 2 prob. sono uguali? I lanci sono indipendenti.
C’è una sequenza di 10 lanci sulla quale scommettete?
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Compensazione (riformulata)
Lanciamo 10 volte una moneta “onesta”.
L’esito dei primi 9 lanci è TTTTTTTTT.
Al decimo lancio è più probabile ottenere C?
I lanci sono indipendenti ovvero “la moneta non ha memoria”.
Quindi al decimo lancio, come al primo, vale p(T) = p(C) = 1/2.
Approfondiamo
- L’evento “i primi nove lanci hanno tutti esito testa” è poco probabile:
p(TTTTTTTTT) < 1/500
Ma ormai è accaduto. E’ un evento certo.
Solo gli esiti del decimo lancio sono eventi aleatori.
- Fraintendimenti: considerare globalmente i 10 esiti
interpretare in modo errato la Legge dei grandi numeri
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Compensazione
… tutto questo in teoria, ma nella pratica cosa succede?
Proviamo!
Idea e traccia di lavoro
File predisposto per studenti
meglio però effettuare anche esperimenti materiali
Il quesito “Marta e i bambini” (slide 10 del primo incontro)
gli studenti possono rispondere in modo autonomo
servono alcune ipotesi, utile la lettura “Genetica e determinazione del sesso”
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Numeri ritardatari
Il “53” non è uscito per 182 estrazioni consecutive sulla ruota di Venezia.
Qual è la probabilità che esca su tale ruota alla 183-esima estrazione?
• La probabilità che esca il “53” ad una data estrazione su tale ruota è
5
1
𝑝 = 90 = 18
• La probabilità di uscita alla 183- esima estrazione è ancora p:
le estrazioni sono indipendenti (per il meccanismo fisico di estrazione)
Approfondiamo
Qual è la probabilità che il “53” non esca per 182 estrazioni consecutive?
(1 − 𝑝)182 ≈ 0,000030
poco probabile ma ormai è passato
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Numeri ritardatari
… il “53” è uscito su Venezia il 9 febbraio 2005, alla 183 – esima estrazione
Attività. Scommessa con gli studenti. Il docente punta un numero “a caso”.
Ecco i “numeri spia” dal sito della Lottomatica.
E’ uscito il “15” sulla ruota di Bari. E’ vero che allora aumenta la
probabilità di uscita dell’ “84”? Giustifica.
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Test clinici
- Test di gravidanza: una situazione semplice
- Un problema significativo
Una popolazione di 10.000 individui è stata sottoposta ad un test per
diagnosticare una certa malattia.
Sono risultate positive al test 1.726 persone e si assume che il test sia
risultato positivo per il 99,0% dei malati.
Inoltre si assume che il 2,0% della popolazione avesse la malattia.
Qual è la probabilità che il test abbia fornito indicazioni errate su un
individuo scelto a caso in tale popolazione?
il video del problema e della risoluzione realizzato dal Laboratorio:
http://youtu.be/N_sdkLtECps
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Legge della moltiplicazione – Torniamo ai pb iniziali
Test clinici
- Uno dei problemi motivanti, ora precisato.
Una popolazione è sottoposta al test “Elisa” per la diagnosi dell’HIV.
La probabilità che il test sia positivo sull’individuo che ha il virus è del
99,9% (sensibilità del test).
Quella che il test sia negativo sull’individuo “sano” è del 99,9% (specificità).
Inoltre si assume che lo 0,3% della popolazione abbia la malattia (prevalenza).
Qual è la probabilità che il test fornisca indicazioni errate su un individuo
scelto a caso in tale popolazione?
si risolve analogamente ai due pb precedenti, con un grafo ad albero
p(“esito errato”) = 0,997 ∙ 0,001 + 0,003 ∙ 0,001 = 0,001
esploriamo: come cambia la risposta al variare dei valori numerici in ipotesi?
… cerchiamo anche una giustificazione algebrica
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Legge
Cosa della
indicamoltiplicazione
la normativa? –– Secondaria
Esercizi dai Superiore
libri di testo
Considerate il testo per il primo biennio
M. Bergamini e altri, Statistica e Probabilità.Blu, Zanichelli
Esaminate le sezioni dedicate agli esercizi sulla legge della moltiplicazione
- Proporreste agli studenti l’esercizio n. 60? Quando nel percorso?
- Risolvereste il n. 61 nel modo in cui è svolto sul testo?
- Considerate l’esercizio svolto n. 77 (legge della moltiplicazione).
Vorreste che gli studenti producano una risoluzione analoga?
esaminate notazioni, formalizzazione, giustificazioni, approccio
- Quali esercizi dal n. 69 all’84 proporreste agli studenti?
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