Dipartimento di Ingegneria - Corso di Ingegneria Civile – Progetto di Strutture
A/A 2014-2015 – Docente Ing. Marialaura Malena
Progetto di Strutture
Facoltà di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
A/A 2014-2015
Analisi di pilastri in
C. A. allo SLU
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Definizione del Problema
N
c
e
Si consideri una sezione rettangolare in c.a.
con doppia armatura soggetta a pressione
applicata al centro di pressione c con
eccentricità e. Ragioni di equivalenza statica
permettono di considerare la sollecitazione
come composta da una forza applicata al
baricentro della sezione e un momento
flettente pari a M=Ne.
Si vuole effettuare la verifica di resistenza
allo stato limite ultimo, valutando quindi lo
sforzo Normale e il Momento ultimo che la
sezione è capace di esplicare nel rispetto
delle condizioni di equilibrio e di congruenza
della sezione.
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Definizione del Problema
Mu
Nd
Naturalmente esistono infinite coppie N,M
che rispettano tali condizioni.
Resta dunque individuata una regione detta
dominio di resistenza al di fuori del quale il
limite ultimo della sezione viene superato.
La verifica consiste dunque nel verificare che
Esempio di dominio di Resistenza
Mu(Nd)  Md
controllando che Nd non superi il valore
massimo esplicabile dalla sezione.
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Ipotesi di lavoro (generali)
1. Le sezioni si conservano piane (legge lineare delle deformazioni)
2. Il calcestruzzo teso non è reagente
3. Non vi è scorrimento relativo tra
acciaio e cls (perfetta aderenza)
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Ipotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)
Legge costitutiva del Cls (tensione-deformazione)
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Ipotesi di lavoro (allo stato limite ultimo)
Legge costitutiva dell’acciaio
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Ipotesi di lavoro (Stato limite ultimo)
Leggi costitutive del Cls e dell’Acciaio
NTC08


f yd 
Tratto parabolico
f yk
0.85 f cd  0.85
1.15

fyd/Es
10%°
Legge costitutiva dell’acciaio

2%°
3.5%°
Legge costitutiva del CLS
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f ck
1.5
Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Ipotesi di lavoro (Stato limite ultimo)
CLASSI DI RESISTENZA DEL CALCESTRUZZO
11.2.10 caratteristiche del calcestruzzo
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Campi di rottura
c1
cu
 cu  3.5 0 00
As’
d’
(3)
3/7 h  su  10 0 00
 c 1  2 0 00
(4)
h
 sy 
(2)
f yd
Es
(1)
(0)
As
su
b
Campi di Rottura
sy
(0’)
(0,0’) piccola eccentricità (Compressione)
(1) sez. fortemente armata
(2) Sez. normalmente armata
(3) Sez. debolmente armata
(4) Grande eccentricità (Trazione)
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Determinazione del campo di rottura
Il campo di rottura associato ad una determinata sezione dipende
oltre che dalla quantità di armatura (come succede nella flessione
semplice) anche dall’entità dello sforzo normale N. All’aumentare di
N si passa da sezioni duttili a sezioni fragili fino a schiacciamento
per compressione uniforme, che per sezioni simmetriche corrisponde
al caso di pressione centrata.
Come per il caso di flessione è utile poter determinare a priori il
campo di rottura associato ad una determinata armatura e sforzo
normale. A tale scopo è sufficiente determinare il valore di N che
corrisponde alle linee di separazione tra i diversi campi di rottura.
Sarà poi sufficiente confrontare il valore di calcolo Nd con i vari N
prima calcolati per individuare in quale intervallo ci si colloca.
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Determinazione del campo di rottura
compressione centrata
Nel caso di compressione centrata l’equilibrio alla traslazione della sezione
conduce alla seguente equazione:
fcd
C
C’+C’’
N max  0.8bhf cd  ( As  As ' ) f yd
C’
nmax 
C
N max
 0.8( 1   )  (  s   s ' )
bdf cd

d'
d
C’’
A
s  s
bdf cd
A' s
s ' 
bdf cd
Il coefficiente 0.8 nella componente associata al
cls dipende dal fatto che la normativa impone nel
caso di compressione centrata che il coefficiente
c venga aumentato del 25%.
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Determinazione del campo di rottura
sezione interamente compressa
Nel passaggio tra campo 0 e campo 0’ la sezione risulta ancora interamente
compressa con l’asse neutro passante per il lembo inferiore della sezione.
cu
N 0  0.81bhf cd  As s  As ' f yd
fcd
La deformazione dell’acciaio inferiore
è immediatamente ricavabile da
semplici considerazioni geometriche
C’
C
C’’
a.n.
 s   cu

1 

d'
d
In termini adimensionalizzati si ha:
u 
 cu
 sy
n0  0.81(1   )  s u

1 
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 s '
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Determinazione del campo di rottura
retta di separazione campo 0’ e campo 1
Nel passaggio tra campo 0’ e campo 1 la sezione risulta parzializzata con
l’asse neutro che taglia la sezione in corrispondenza dell’armatura inferiore.
N 0'  0.81bdf cd  As ' f yd
cu
In termini adimensionalizzati si
ottiene la semplice espressione:
C’
C
n0'  0.81  s '
a.n.
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Determinazione del campo di rottura
retta di separazione campo 1 e campo 2
Nel passaggio tra campo 1 e campo 2 la sezione risulta parzializzata con
l’asse neutro che taglia la sezione ad una distanza yc dal lembo superiore.
L’acciaio inferiore risulta essere teso e snervato.
cu
N1  0.81byc f cd  As ' f yd  As f yd
C’
yc
a.n.
T
y
L’asse neutro yc si trova con
semplici proporzioni
C geometriche
yc 
 cu
d
 cu   sy
n1  0.81
 cu
 s  s '
 cu   sy
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Determinazione del campo di rottura
retta di separazione campo 2 e campo 3
Passaggio tra campo 2 e campo 3: la fibra più esterna del cls e l’acciaio teso
hanno raggiunto la deformazione massima. L’acciaio inferiore è snervato.
cu
C’
N 2  0.81byc f cd  As '  s ( s ' )  As f yd
yc
a.n.
su
 cu
d  Kd  0.259d
 cu   su
n2  0.207  s 
T
s '
C
yc 
K 
 cu  0.0035  (1  3.857 )
K
d'

s'
s '
f yd
L’acciaio compresso risulta in genere
snervato per travi con h>30 cm
d
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Determinazione del campo di rottura
Grande eccentricità : retta di separazione campo 3 e campo 4
Nel passaggio tra campo 3 e campo 4 la sezione risulta
completamente tesa. La resistenza è affidata alle sole armature.
essere
N 3   As '  s ( s ' )  As f yd
a.n.
n3  
T’
su
d'
 s '   su  su
d
s'
E '
s ' s   s s s ' s
f yd
Es yd
n3  ls ' s
T
l 
 su
 sy
L’acciaio superiore risulta in genere
non snervato per travi con h>20 cm
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Determinazione del campo di rottura
Campo 2
e1
e2
e0
N2
N1
Noti gli sforzi normali
corrispondenti alle linee
Campo 1
di separazione tra i
diversi campi di rottura,
possono
Campo 0’-0 questi ultimi
essere
facilmente
individuati e visualizzati
sul
diagramma
di
N0 N’0
interazione M-N
Nmax
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Determinazione del Momento Ultimo
Per la determinazione del Momento Ultimo della sezione
considerata occorre seguire in sequenza i seguenti due passi:
1. Determinazione della posizione dell’asse neutro
2. Determinazione del valore del Momento Ultimo
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Determinazione del Momento Ultimo
compressione eccentrica (n0 < n < nmax)
2%°
cu
Determinazione asse neutro
fcd
La posizione dell’asse neutro yc si determina
a partire dall’equazione di equilibrio alla
traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta generalmente non snervato per cui:
C’ y0=3/7 h
c1
d
C’’
yc
a.n.
C
N d  C  As ' f yd  As s ( s )
C  by0 f cd  b
y c  y0

c
( )dy
yc  h
K’=yc/h


64
C  bhf cd 1 
2
 21(7 K '3) 
   c1
y
yc  y0
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Determinazione del Momento Ultimo
Piccola eccentricità : compressione eccentrica (n0 < n < nmax)
2%°
c
Determinazione asse neutro
fcd
N d  N u  C  As ' f yd  As  s (  s )
C’ y0=3/7 h
c1
C’’
yc
a.n.
N d  N u  C ( k ' )  As ' f yd  As s ( s ( k ' ))
C
K’=yc/h
s 
 y c  d    K '  d / h    K '  d / h  
 yc  y0  c1 K ' y0 / h  c1 K '3 / 7  c1
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Determinazione del Momento Ultimo
compressione eccentrica (n0 < n < nmax)
2%°
c
Determinazione Momento Ultimo
fcd
L’equazione di equilibrio alla rotazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo della
sezione
C’
C’’
yc
C
160
M c  bh f cd
2
1477 K '3
2
a.n.
y y
c
0
h

h

 h y0 
M   As ' f yd   d '   As s ( s )  d   by0 f cd     b   c ( ) ydy
2

2

2 2 
yc  h
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Determinazione del Momento Ultimo
Collasso nel campo 1 (n1 < n < n’0)
cu
fcd
C’
yc
a.n.
s< sy T
Equazione algebrica di 2° grado
0.81K 2  K (  s '  s u  nd )   s u  0
u 
 cu
 sy
Determinazione Asse neutro
La posizione dell’asse neutro yc si determina
a partire dall’equazione dei equilibrio alla
C traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta per definizione non snervato.
L’equilibrio alla traslazione si scrive come
segue:
N d  0.81byc f cd  As ' f yd  As s ( s )
 s ( s )  Es cu
d  yc
1 K
 Es cu
yc
K
;K
yc
d
Sostituendo la precedente nella equazione di
equilibrio alla traslazione si ha:
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Determinazione del Momento Ultimo
Collasso nel campo 1 (n1 < n < n0)
cu
C’
yc
a.n.
s< sy T
fcd
Determinazione Momento Ultimo
L’equazione di equilibrio alla rotazione
attorno al baricentro geometrico della
C sezione ci fornisce il Momento Ultimo
della sezione.
 s   cu
1 K
K
h

h

h

M u  0.81byc f cd   0.416 y c   As ' f yd   d'   As s (  s )  d' 
2

2

2

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Determinazione del Momento Ultimo
Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
cu
C’
a.n.
yc
s> sy T
fcd
Determinazione Asse neutro
La posizione dell’asse neutro yc si
determina a partire dall’equazione dei
C
equilibrio alla traslazione della sezione.
L’acciaio inferiore risulta certamente
snervato e quindi nell’ipotesi che anche
l’acciaio
compresso
sia
snervato
l’equilibrio alla traslazione si scrive :
HP: acciaio compresso snervato
K
nd   s   s '
0.81
N d  0.81byc f cd  As ' f yd  As f yd
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Determinazione del Momento Ultimo
Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
cu
C’
fcd
2%°
a.n.
yc
s> sy T
Determinazione Asse neutro
Nel caso l’ipotesi di armatura compressa
snervata non sia verificata occorre
C esprimere l’equazione alla traslazione in
funzione di K ottenendo l’equazione di
secondo grado con incognita la stessa K
N d  0.81byc f cd  As f yd  As '  s ' ( s ' )
 s '   cu
Equazione per la determinazione
dell’asse Neutro nel caso che
l’armatura compressa non risulti
snervata
K 1
K
0.81K 2  K (nd   s   s ' u )   s ' u   0
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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 2 (n2 < n < n1)
cu
fcd
Determinazione Momento Ultimo
C’
a.n.
yc
s> sy T
C L’equazione di equilibrio alla rotazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo
della sezione.
 s '   cu
K 1
K
h

h

h

M u  0.81byc f cd   0.416 y c   As '  s ( s ' )  d '   As f yd   d ' 
2

2

2

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Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
 c<cu
a.n.
C’
yc
s= sl
T
fcd
Determinazione Asse neutro
La posizione dell’asse neutro yc si determina
C
a partire dall’equazione dei equilibrio alla
traslazione della sezione. L’acciaio inferiore
risulta certamente snervato e quindi
nell’ipotesi che anche l’acciaio compresso
sia snervato l’equilibrio alla traslazione si
scrive :
Equazione per la determinazione dell’asse
Neutro nel caso che l’armatura compressa
risulti snervata
K
nd   s   s '
0.81
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Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
 c<cu
a.n.
fcd
C’
yc
s= su T
Equazione
per
la
determinazione dell’asse
neutro nel caso che
l’armatura
compressa
risulti non snervata
Determinazione Asse neutro
C Nel caso l’ipotesi di armatura compressa
snervata non sia verificata occorre
esprimere l’equazione alla traslazione in
funzione di K ottenendo l’equazione di
secondo grado con incognita la stessa K
K 
N d  0.81byc f cd  As f yd  As '  s ' ( s ' )  s '   su
1 K
0.81K 2  K (nd  0.81  s  s ' l )  s ' l  s  nd  0
1 
 su
 sy
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Stato limite ultimo di sezioni in c.a.: Pressoflessione Retta
Determinazione del Momento Ultimo
Grande eccentricità : Collasso nel campo 3 (n3 < n < n2)
 c<cu
a.n.
fcd
C
C’
yc
s= su T
Determinazione Momento Ultimo
L’equazione di equilibrio alla rotazione
attorno al baricentro geometrico della
sezione ci fornisce il Momento Ultimo
della sezione.
 s '   su
K 
1 K
h

M u  0.81byc f cd   0.416 y c   As '  s (  s '
2

h

h

)  d'   As f yd   d' 
2

2

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