Lezione VIII
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Conservazione della quantità di moto
Supponiamo che la risultante F ext delle forze esterne agenti sul sistema sia nulla
In questo caso, in base a quanto abbiamo scritto in precedenza:
risulterà:
d P/dt = 0
ovvero
dP/dt = F ext
P = costante
Cioè: Quando la risultante delle forze agenti su un sistema è nulla, il vettore quantità
di moto del sistema rimane costante.
Questo è il Principio di conservazione della quantità di moto che possiamo anche
enunciare affermando che La quantità di moto di un sistema isolato si conserva
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Quindi la quantità di moto di un sistema può essere variata solo da forze esterne
agenti sul sistema.
Le forze interne, essendo uguali e contrarie a coppie, producono variazioni «locali»
della quantità di moto che si annullano a vicenda.
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Per un sistema di particelle
p1 + p2 ……+ pN
= P
quindi quando P = costante (cioè il sistema di particelle è isolato) si ha:
p1 + p2 ……+ pN
= costante
Questo implica che le quantità di moto delle singole particelle possono cambiare,
ma la quantità di moto dell’intero sistema rimane costante.
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L’equazione che rappresenta il principio della conservazione della quantità di moto che
abbiamo appena scritto:
p1 + p2 ……+ pN
= costante
è una equazione vettoriale, che pertanto ci fornisce tre equazioni scalari, una per ogni
coordinata.
Quindi: La conservazione della quantità di moto ci fornisce tre condizioni per il moto
di un sistema. La conservazione dell’energia, che è uno scalare, ci fornisce invece
una sola condizione.
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Vediamo cosa ha a che fare tutto questo con l’intuizione che avevamo avuto
sin dall’inizio riguardo alla conservazione della quantità di moto.
Rivediamo quegli esperimenti simulati sugli urti fra le biglie, esperimenti che
formalizzeremo meglio nel corso della prossima lezione che sarà proprio dedicata agli urti
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Avevamo considerato il seguente esperimento
Una biglia si trova lungo il percorso di un’altra biglia
Con l’urto, la biglia bersaglio schizza via con una velocità v2 > v1
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Viceversa:
Con l’urto, la biglia bersaglio acquista una velocita v2 < v1
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Alla luce di quello che abbiamo imparato oggi, possiamo affermare che la quantità
di moto del sistema costituito dalle due biglie si conserva. Questo in quanto si
tratta indubbiamente di un sistema isolato. Quindi potremo scrivere:
m1 v1 + m2 v2 = P0 = costante
All’inizio, quando la sola biglia m1 è in moto avremo:
P0 = m1 v1
Alla fine, quando la sola biglia m2 è in moto avremo:
P0 = m2 v2 = m1 v1
 m2 v2 = m1 v1  v2 = v1 m1 / m2
Cioè: la velocità acquisita dalla biglia bersaglio è proporzionale alla massa della
biglia incidente e alla sua velocità, ed è inversamente proporzionale alla sua massa
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E infatti facendo esperimenti con biglie incidenti sempre più pesanti,
Avevamo osservato esattamente questo fenomeno !
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Esperimenti eseguiti sempre sulla stessa biglia «bersaglio», utilizzando di volta in volta
biglie incidenti sempre più pesanti, che si muovo però alla stessa velocità
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In sostanza, su base empirica, avevamo intuito che a parità di velocità della biglia incidente,
la velocità che acquista la biglia bersaglio aumenta in funzione dalla MASSA
della biglia incidente
v2 = f (m1)
E infatti oggi abbiamo derivato rigorosamente che
v2 = v1 m1 / m2
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Pur non avendo ancora definito la «velocità» in termini operativi, ma basandoci sulla nostra
esperienza quotidiana, avevamo supposto di sapere fare queste misure.
Immaginando di misurare le varie velocità
urto, e riportando i valori di
v
acquisite dalla stessa biglia bersaglio ad ogni
v in un grafico in funzione della massa m della biglia incidente:
v
v= km
v3
v2
v1
m1
m2
m3
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Quindi: a parità di velocità della biglia incidente, la velocità v
acquisita dalla biglia bersaglio risultava proporzionale alla massa
della biglia incidente
v bersaglio = k mincidente
Facendo ulteriori esperimenti con biglie bersaglio di massa m
differenti,
e con biglie incidenti con velocità vi differenti, e
riportando su grafico i dati, si verifica infatti che:
k = v/m
e cioè:
v = (vi/m) m incid
mv = mi vi
Avevamo anche preannunciato che trascurare la «velocità residua» della biglia incidente
dopo l’urto, non sempre è corretto. Vedremo meglio il perché nella prossima lezione
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Alla luce di quanto abbiamo imparato sul centro di massa, è interessante
descrivere il moto del centro di massa dell’esperimento fatto:
Infatti, abbiamo visto che: Il centro di massa di un sistema di particelle si muove
come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in quel punto.
Abbiamo appena visto che in questo sistema, all’inizio la quantità di moto è tutta nella
biglia 1 e alla fine è tutta nella biglia 2, per cui :
P0 = m2 v2 = m1 v1
Per il centro ci massa, in accordo con quanto abbiamo imparato scriveremo:
PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM
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Abbiamo quindi:
PCM = P0 = ( m1 +m2 )vCM
P0 = m2 v2 = m1 v1
m1 v1 = ( m1 +m2 )vCM
m2 v2 = ( m1 +m2 )vCM
vCM = m1 v1 / ( m1 +m2 ) = m2 v2 / ( m1 +m2 )
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RIASSUMIAMO COSA ABBIAMO IMPARATO SULLE LEGGI DI CONSERVAZIONE
La quantità di moto è un vettore. La legge della conservazione della quantità di
moto ci fornisce quindi tre equazioni scalari: una per ciascuna coordinata
L’energia invece è uno scalare: La legge di conservazione dell’energia ci fornisce
soltanto una equazione scalare.
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Esempio -1
Individuare il centro di massa di un sistema di tre particelle di massa m1 = 1kg,
m2 = 2 kg, e m3 = 3kg,
poste ai vertici di un triangolo equilatero con lato = 1m
y
m3
m1
m2
x
Avendo posizionato il triangolo sul piano x-y come in figura, risulta:
x1 = 0
y1 = 0
xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) =
x2 = 1
y2 = 0
= 1x0+2x1+3x½
x3 = ½
y3 = ½ √3
yCM = ( ∑mi yi ) / ( ∑mi ) =
/ (1+2+3) =3,5 / 6
= 1 x 0 + 2 x 0 + 3 x ½ √3/ (1+2+3) = 2,6 / 6
y
m3
m1
m2
Esempio 2
Sulle tre particelle localizzate come in figura agiscono le tre forze indicate
4 kg
16 nt
2
m2
y
1
6 nt
1
2
3
4
x
-2
-1
-1
8 kg
m3
4 kg
-3
-2
m1
CM
14 nt
Quesito: Trovare l’accelerazione del centro di massa del sistema
xCM = ( ∑mi xi ) / ( ∑mi ) = (8 x 4 + 4 x (-2) + 4 x 1) / 16 = 28/16
xCM = 7/4 m
yCM= ( ∑mi yi ) / ( ∑mi ) = (8 x 1 + 4 x 2 + 4 x (-3)) / 16 = 4 / 16
yCM = 1/4 m
Determiniamo adesso la risultante delle forze agenti sul sistema:
Fx =
0 – 6 nt + 14 nt = 8nt
Fy = 16nt + 0
+0
= 16 nt
La risultante delle forze ha pertanto modulo:
F = (Fx2 + Fy2) ½ = (82 + 162) ½
= 18 nt
E forma con l’asse x un angolo θ dato da
θ = arctan (16nt/8 nt) = arctan (2) = 63°
L’accelerazione del centro di massa sarà quindi
a = F / Mtot = 18 nt / 16 kg = 1,1 m/s2
e formerà con l’asse x lo stesso angolo di 63 gradi
Esempio -3
Consideriamo due blocchi A e B, di massa mA e mB, uniti da una molla a riposo,
su un piano orizzontale privo di attrito. Allontaniamo i blocchi, tendendo la molla
e quindi lasciamoli liberi. Descrivere il moto che ne segue.
OK, qualitativamente sappiamo già che tipo di moto ci aspettiamo:
Ma quali considerazioni fisiche possiamo fare ?
a) Il sistema è isolato
b) Non agiscono forze esterne su di esso
c) Le uniche forze presenti sono quelle interne generate dalla molla che si annullano a vicenda
Applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto:
la quantità di moto di un sistema isolato si conserva
Quando abbondoniamo i due blocchi, risulta
P=0
Quindi deve essere P=0 in ogni istante successivo
Questo certamente è possibile anche se i due blocchi si muovono: la quantità di moto è
una grandezza vettoriale. Quindi se in un dato istante uno dei due blocchi avrà una quantità
di moto positiva, l’altro l’avrà negativa.
P = 0 = mAvA + mBvB  mBvB = − mAvA  vA = −(mB / mA) vB
Quindi: le velocità sono sempre di segno opposto e con il rapporto fra i moduli
inverso al rapporto fra le masse
L’energia cinetica di A vale:
KA = ½ mAvA2
che possiamo scrivere come:
(mAvA)2 / 2mA
che possiamo scrivere come:
(mBvB)2 / 2mB
Analogamente:
KB = ½ mBvB2
Da cui, poiché :
(mAvA)2 = (mBvB)2
risulta:
KA / KB = mB / mA
Cioè le energie cinetiche sono inversamente proporzionali alle rispettive masse
Poiché l’energia meccanica si conserva, i blocchi continueranno a oscillare scambiando
continuamente energia cinetica e energia potenziale.
Esempio -4
Consideriamo il caso di una palla lanciata in aria e poi afferrata al rientro a terra.
A scopo esemplificativo, assumeremo che l’agente che lancia la palla, essendo ancorato
a terra faccia parte della terra. Considereremo anche trascurabile l’attrito dell’aria.
Il sistema in esame in sostanza è il sistema terra- palla. Le forze in gioco fra i due elementi
del sistema, e cioè la terra e la palla, sono solo forze interne.
Definiremo un sistema di riferimento in cui la terra è inizialmente ferma, e rispetto al
quale, al momento del lancio, subirà un contraccolpo.
Inizialmente, la quantità di moto del sistema terra-palla pT-P è nulla, e poiché non
vi sono forze esterne che agiscono sul sistema, resterà sempre nulla.
Quindi in qualsiasi istante successivo:
pT-P = 0 = pT + pP
0 = mT vT + mP vP
mT vT = − mP vP
Quindi, quando la palla si allontana la terra retrocede e quando la palla si
riavvicina, la terra va in contro alla palla. Il rapporto dei moduli delle velocità è inverso
rispetto al rapporto fra le masse, il che ci dimostra che trascurare l’effetto del moto della
Terra è lecito, essendo questo rapporto pari a circa 10−24 !
Esempio -5
Il caso della cinghia convettrice, in cui del materiale viene continuamente versato su
una cinghia scorrevole come in figura
TROVARE LA FORZA NECESSARIA PER FARE SCORRERE LA CINGHIA A VELOCITA’ COSTANTE
Indichiamo con
m la massa del materiale sulla cinghia e M la massa della cinghia.
La quantità di moto del sistema (cinghia + materiale sulla cinghia) sarà:
P = (m + M) v
e la forza che cerchiamo è
F = dP/dt
Cioè:
F = d/dt [ (m+M) v ] = (m+M) dv/dt + v d/dt (m+M)
= (m+M) dv/dt + v dm/dt + v dM/dt
Poiché M e v sono costanti l’equazione si riduce a:
F = v dm/dt